向量组线性相关与线性无关.docx

向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与 行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而 向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与 线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了， 至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用 矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用 行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组a ,a，…,a都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数1 2 mk裁…仝，使k a + k a + k a H H k a = 0则称向量组是线性相关，反之，若数域1 2 m 1 1 2 2 3 3 mmP中没有不全为零的数k ,k •••£，使1 2 mka + k a + k a + •…+ k a = 0，1 1 2 2 3 3 m m称它是线性无关.3向量组线性相关和线性无关的判定方法3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这 个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断命题2 两个n维向量a ,a，…,a ), 0 =(b ,b…b)线性相关的充要条件是a.1 2 n 1 2 n i与b (i = 1,2 — n)对应成比例.i证明假设a -(a1，役，…，an )，卩-(b1，b2 -"线性相关，则存在不全为0的数，k使得k a + k B = 0，即k a—- k p ,不妨设k丰0，令k — — -2则 1 2 1 2 1 ki(a , a，…a )= (kb , kb …kb )1 2 n 1 2 n因此a — kb (i —1,2…n)也就是说a与b (i —1,2…n)成比例.i i i i反过来，若a = kb C = 1,2…n), Q — kP — 0 ,所以a‘卩线性相关.i i3.2多个向量的线性相关与线性无关判别方法命题3若向量组a ,a，…,a线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.1 2 m证明 设a ,a，…,a线性相关，a ,a，…,a ,a ，…,a 是包含a ,a，…,a的1 2 m 1 2 m m+1 m+s 1 2 m一组向量，由于a ,a，…,a线性相关，则存在一组不全为零的数k ,k…k使得1 2 m 1 2 mk a + k a + k a +… + k a — 0此时有1 1 2 2 3 3 m mk a + k a + k a +… + k a + 0a +… + 0a — 0，1 1 2 2 3 3 m m m+1 m+s因此，a ,a，…,a ,a ，…,a 线性相关.证毕.1 2 m m+1 m+s由命题 3 可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例 的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题 4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的 线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相 关.例 1 设 p —a +a , p —a +a ,…, p —a +a ，证明，当 m 为偶数时，1 1 2 2 2 3 m —1 m —1 m卩‘卩‘卩‘…卩线性相关.123m证明令 k P + k P + k P + …k P — 0，即1 1 2 2 3 3 m mk (a + a )+ k (a + a )+ … + k (a + a ) — 01 1 2 2 2 3 m m 1 ，又即(k + k )a + (k + k )a +… + (k + k )a — 01 m 1 2 1 2 m m —1 m第 2 页 共 10 页k = k =…=k = 1, k = k =…=k =一11 3 m-1 2 4 m ,则有k P + k P + k P + ••• + k P 二01 1 2 2 3 3 m m .由线性相关的定义知， P , P ,…, P 线性相关.1 2 m3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题 5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同.若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数， 则该向量组是线性相关的.例 2 设向量组 a =（2,-1,3,1） a =（4,-2,5,4）, a =（2,-1,4,一1）,判断 a, a , a 的线1 2 3 1 2 3性相关性.解k a + k a + k a = Gk + 4k + 2k ,-k - 2k - k ,3k + 5k + 4k , k + 4k - k ）= G,0,0,0）1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3得k = k = k = 0，于是a , a ,a线性无关.1 2 3 1 2 3例3设向量组a ,a，•…,a线性无关，且可由向量组P , P，•…,P线性表示•证明：1 2 m 1 2 mP , P，…,P也线性无关，且与a ,a，…,a等价.1 2 m 1 2 m证明 如果卩，P，…,P线性相关，假设P, P，…,P是它的一个极大无关组，如果1 2 m 1 2 rr = m，就说明了卩，P，…,P就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的，出现矛盾！下1 2 m面考虑r