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机械工程控制基础机械工程控制基础 （第二章）（第二章）第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程2.22.2 系统的传递函数系统的传递函数2.2.3 3 系统的传递函数方框图及其简化系统的传递函数方框图及其简化2.2.4 4 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数考虑扰动的反馈控制系统的传递函数2.2.5 5 相似原理相似原理2.2.6 6 系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.7 2.7 数学模型的数学模型的MATLABMATLAB描述描述第二第二章章 系统的数学模型系统的数学模型 系统的微分方程及线性化方程系统的微分方程及线性化方程系统的微分方程及线性化方程系统的微分方程及线性化方程拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换 系统传递函数及基本环节传递函数系统传递函数及基本环节传递函数系统传递函数及基本环节传递函数系统传递函数及基本环节传递函数 系统传递函数框图及简化系统传递函数框图及简化系统传递函数框图及简化系统传递函数框图及简化* 系统信号流图系统信号流图 本章要熟悉下列内容：本章要熟悉下列内容：1、、建建立立基基本本环环节节（（质质量量-弹弹簧簧-阻阻尼尼系系统统和和电电路网络）的数学模型及模型的线性化路网络）的数学模型及模型的线性化2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换、重要的分析工具：拉氏变换及反变换3、经典控制理论的数学基础：传递函数、经典控制理论的数学基础：传递函数4、控制系统的图形表示：方框图及信号流图、控制系统的图形表示：方框图及信号流图5、受控机械对象的数学模型、受控机械对象的数学模型6、绘制实际机电系统的函数方框图、绘制实际机电系统的函数方框图7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型、现代控制理论的数学基础：状态空间模型与上述相关的应用。

与上述相关的应用§2.1§2.1控制系统的微分方程及线性化控制系统的微分方程及线性化 一、数学模型一、数学模型 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法如果将物理系统在信号传递过程中的动本方法如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型理系统的数学模型 经经典典控控制制理理论论采采用用的的数数学学模模型型主主要要以以传传递递函函数数为为基基础础而而现现代代控控制制理理论论采采用用的的数数学学模模型型主主要要以以状状态态空空间间方方程程为为基基础础而而以以物物理理定定律律及及实实验验规规律律为为依依据据的的微微分分方方程程又又是是最最基基本本的的数数学学模模型型，，是是列写传递函数和状态空间方程的基础列写传递函数和状态空间方程的基础 数学模型是定量地描述系统的动态性能、数学模型是定量地描述系统的动态性能、揭示系统的结构、参数与动态性能之间的数学表揭示系统的结构、参数与动态性能之间的数学表达式。

是描述物理系统的运动规律、特性和输达式是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式）入输出关系的一个或一组方程式） 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型系统的数学模型可分为静态和动态数学模型 静态数学模型：静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关因此静态模型都是去的工作状态（历史）无关因此静态模型都是代数式代数式，数学表达式中不含有时间变量数学表达式中不含有时间变量          动态数学模型动态数学模型：：描述动态系统瞬态与过渡描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型也可定义为描述实际系统各物态特性的模型也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式动态系统的输理量随时间演化的数学表达式动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。

微分方程或差分方程它过去的工作状态有关微分方程或差分方程常用作动态数学模型常用作动态数学模型         对于给定的动态系统，数学模型不是唯一对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的工程上常用的数学模型包括：微分方程，工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程对于线性系统，它们之传递函数和状态方程对于线性系统，它们之间是等价的针对具体问题，选择不同的数学间是等价的针对具体问题，选择不同的数学模型        建立数学模型是控制系统分析与设计中最建立数学模型是控制系统分析与设计中最重要的工作！重要的工作！v二、建立方法二、建立方法    目前工程上采用的方法主要是目前工程上采用的方法主要是    a.分析计算法分析计算法       分析计算法是根据支配系统的内在运动分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型数学模型——适用于简单的系统适用于简单的系统vb.工程实验法工程实验法     工程实验法：它是利用系统的输入工程实验法：它是利用系统的输入--输出信输出信号来建立数学模型的方法。

通常在对系统一号来建立数学模型的方法通常在对系统一无所知的无所知的 情况下，采用这种建模方法情况下，采用这种建模方法但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型实际控较准确而方便地建立系统的数学模型实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素况下，常常可以忽略一些影响较小的因素黑盒黑盒输入输入输出输出来简来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂v    如果系统的数学模型是线性微分方程，这样如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统的系统就是线性系统  在建模时将会遇到模型简化与模型精度间的矛在建模时将会遇到模型简化与模型精度间的矛盾问题，所以必须对系统全面了解，有了丰富盾问题，所以必须对系统全面了解，有了丰富的实践经验，才能分析出系统中各部分结构及的实践经验，才能分析出系统中各部分结构及参数作用和影响主次，建立一个既简化又有一参数作用和影响主次，建立一个既简化又有一定准确度的适用模型。

定准确度的适用模型     三、微分方程的建立三、微分方程的建立      微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程一个究系统的运动，必须列写系统的微分方程一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程v例例1.机械平移系统机械平移系统   求在外力求在外力F(t)作用下，作用下，物体的运动轨迹物体的运动轨迹 mkF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧（一）机械系统（一）机械系统1.平移系统平移系统首先确定：输入首先确定：输入F(t),输出输出x(t)其次：理论依据其次：理论依据1.牛顿第二定律牛顿第二定律    物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积    2.牛顿第三定律牛顿第三定律    作用力等于反作用力作用力等于反作用力,现在现在我们单独取出我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力进行分析，这里不考虑重力的影响。

的影响mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列由高到低排列 机械平移系统的微分方程机械平移系统的微分方程为：为：2.齿轮传动系统齿轮传动系统工程实例工程实例分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性解解: 为为了了建建立立微微分分方方程程，，将将各各环环节节转转动动惯惯量量、、质质量量和阻尼系数归算到和阻尼系数归算到ⅠⅠ轴1）每个轴的转动惯量及工作台质量归算）每个轴的转动惯量及工作台质量归算（（2）传动刚度归算）传动刚度归算（（3）粘性阻尼系数归算）粘性阻尼系数归算机械传动系统简化机械传动系统简化为为等效机械等效机械传动传动系统系统（（4）数控机床机械）数控机床机械传动传动系统微分方程系统微分方程（（5））等等效效机机械械传传动动系系统统以以电电机机轴轴转转角角为为输输入入量量，，工工作作台台位移为输出量的微分方程。

位移为输出量的微分方程应用点评应用点评把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方程的一种方法程的一种方法程的一种方法程的一种方法质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统机电控制系统的受控对象是机械系统在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大在刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。

这样受控对象的忽略而视为无质量的弹簧这样受控对象的机械系统可抽象为质量机械系统可抽象为质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统阻尼系统（二）（二）电气系统电气系统 RCRC电路电路电路电路1.无源电路网络列写系统微分方程的步骤列写系统微分方程的步骤列写系统微分方程的步骤列写系统微分方程的步骤（（（（1 1）根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式）根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式）根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式）根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式（（（（2 2）消去中间变量）消去中间变量）消去中间变量）消去中间变量        和和和和        后，得到系统的微分方程后，得到系统的微分方程后，得到系统的微分方程后，得到系统的微分方程注意！注意！注意！注意！负载效应负载效应负载效应负载效应电枢控制电枢控制电枢控制电枢控制式直流电式直流电式直流电式直流电动机动机动机动机解解：：（（1））根据基尔霍夫定律根据基尔霍夫定律建立建立电机电枢回路方程电机电枢回路方程（（2））根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律建立建立电动机转子的运动方程电动机转子的运动方程（（3））电电枢枢电电感感L通通常常较较小小，，若若忽忽略略不不计计，，系系统统的的微微分分方方程程可简化为可简化为（（4））当当电电枢枢电电感感L，，电电阻阻R均均较较小小，，都都忽忽略略不不计计时时，，系系统统的的微分方程进一步简化为微分方程进一步简化为2.有源电路网络四、四、 数学模型的线性化数学模型的线性化1.线性模型：线性模型：满足满足叠加性与齐次性叠加性与齐次性，用来描述线性系统。

用来描述线性系统v定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统是线性系统     线性元件：具有叠加性和齐次性的元件称为线性元件线性元件：具有叠加性和齐次性的元件称为线性元件叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和齐次性指当输入信号于每个激励单独作用所产生的响应之和齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数        即若即若                             为线性系统，则为线性系统，则      2.非线性模型：非线性模型：不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示 用来描述非线性系统用来描述非线性系统    非线性元件：不具有叠加性和齐次性的元件称非线性元件：不具有叠加性和齐次性的元件称为非线性元件为非线性元件    如果元件输入为如果元件输入为r（（t）、）、r1（（t）、）、r2（（t），对），对应的输出为应的输出为c（（t）、）、c1（（t）、）、c2（（t））     如果如果r（（t））=r1（（t））+r2（（t）时，）时，c（（t））=c1（（t））+c2（（t））    满足叠加性满足叠加性    如果如果r（（t））=a·r1（（t）时，）时，c（（t））=a·c1（（t））   满足齐次性满足齐次性    满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件。

满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件     线性系统重新定义：若组成系统的各元件均线性系统重新定义：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统为线性元件，则系统为线性系统     线性方程不一定满足叠加性和齐次性线性方程不一定满足叠加性和齐次性      例如例如y=kx是线性元件是线性元件       输入输入x1y1输出输出                x2y2          输入输入x1 ＋＋x2  对应输出对应输出y1 ＋＋ y2 满足满足叠叠加加性性       k为常数，为常数， kx1ky1 满足齐次性满足齐次性所表示的元件为所表示的元件为线性元件线性元件    y=kx+b(b为常数为常数 0)线性方程，所表示线性方程，所表示的元件不是线性元件的元件不是线性元件.     为什么呢？为什么呢？      输入输入x1y1输出输出      y1＝＝kx1+b                x2y2                   y2 =kx2+b       输入输入x1 ＋＋x2输出输出y=k(x1 ＋＋x2)+b                   =k x1 +kx2+b  y1 +y2不满足不满足叠叠加性加性       k为常数为常数:kx1输出输出y=k(kx1)+b=k2x1+b       ky1=k(kx1+b)= k2x1+kby ky1不满足齐次方程。

不满足齐次方程所表示的元件不是线性元件所表示的元件不是线性元件又例如：元件的数学模型为：又例如：元件的数学模型为：   元件的数学模型为：元件的数学模型为：    非线性元件：不具有叠加性和齐次性的元件称非线性元件：不具有叠加性和齐次性的元件称为非线性元件为非线性元件    如果元件输入为如果元件输入为r（（t）、）、r1（（t）、）、r2（（t），对），对应的输出为应的输出为c（（t）、）、c1（（t）、）、c2（（t））     如果如果r（（t））=r1（（t））+r2（（t）时，）时，c（（t））=c1（（t））+c2（（t））    满足叠加性满足叠加性    如果如果r（（t））=a·r1（（t）时，）时，c（（t））=a·c1（（t））   满足齐次性满足齐次性    满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件     线性系统重新定义：若组成系统的各元件均线性系统重新定义：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统为线性元件，则系统为线性系统     线性方程不一定满足叠加性和齐次性线性方程不一定满足叠加性和齐次性      例如例如y=kx是线性元件是线性元件       输入输入x1y1输出输出                x2y2          输入输入x1 ＋＋x2  对应输出对应输出y1 ＋＋ y2 满足满足叠叠加加性性       k为常数，为常数， kx1ky1 满足齐次性满足齐次性所表示的元件为所表示的元件为线性元件线性元件    y=kx+b(b为常数为常数 0)线性方程，所表示线性方程，所表示的元件不是线性元件的元件不是线性元件.     为什么呢？为什么呢？      输入输入x1y1输出输出      y1＝＝kx1+b                x2y2                   y2 =kx2+b       输入输入x1 ＋＋x2输出输出y=k(x1 ＋＋x2)+b                   =k x1 +kx2+b  y1 +y2不满足不满足叠叠加性加性       k为常数为常数:kx1输出输出y=k(kx1)+b=k2x1+b       ky1=k(kx1+b)= k2x1+kby ky1不满足齐次方程。

不满足齐次方程所表示的元件不是线性元件所表示的元件不是线性元件又例如：元件的数学模型为：又例如：元件的数学模型为：   元件的数学模型为：元件的数学模型为： 线性化方法：一般可在系统工作平衡线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开点附近，对非线性方程采用台劳级数展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型就可得到近似的线性模型        由于反馈系统不允许出现大的偏差，由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义具有实际意义阀控液压缸例阀控液压缸例线性化方法：线性化方法：假设变量相对于某一工作状态假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小设系统的函数关系为（平衡点）偏差很小设系统的函数关系为简写为简写为                 如果系统的工作平衡点为如果系统的工作平衡点为          ，则方程可以在，则方程可以在    点附近台劳展开点附近台劳展开        如果如果            很小，可以忽略其高阶项，因很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式此上述方程可写成增量方程形式  其中，其中，                                  ，，               ，，    非非线线性微分方程的求解很困性微分方程的求解很困难难。

在一定条在一定条件下，可以近似地件下，可以近似地转转化化为线为线性微分方程，性微分方程，可以使系可以使系统统的的动态动态特性的分析大特性的分析大为简为简化实实践践证证明，明，这样这样做能做能够圆满够圆满地解决地解决许许多工多工程程问题问题，有很大的，有很大的实际实际意意义义v线线性化的方法性化的方法  （（1））.忽忽略略弱弱非非线线性性环环节节（（如如果果元元件件的的非非线线性性因因素素较较弱弱或或者者不不在在系系统统线线性性工工作作范范围围以以内内，，则则它它们们对对系系统统的的影影响响很很小小，，就就可可以以忽忽略）略）   （（2））.偏偏微微法法（（小小偏偏差差法法，，切切线线法法，，增增量量线线性化法）性化法）    偏偏微微法法基基于于一一种种假假设设，，就就是是在在控控制制系系统统的的整整个个调调节节过过程程中中，，各各个个元元件件的的输输入入量量和和输输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小变变化化这这一一假假设设是是符符合合许许多多控控制制系系统统实实际际工工作作情情况况的的，，因因为为对对闭闭环环控控制制系系统统而而言言，，一一有有偏偏差差就就产产生生控控制制作作用用，，来来减减小小或或消消除除偏偏差差，，所所以以各各元元件件只只能能工工作在平衡点附近。

作在平衡点附近     A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数         忽略二次以上的各忽略二次以上的各项项，上式可以写成，上式可以写成       这就是非线性元件的线性化数学模型这就是非线性元件的线性化数学模型五、列写系统微分方程的基本步骤将系统或元件划分为若干环节，确定每一环节的输入量和输出量第第1 1步步按照信号的传递顺序，从系统输入端开始，根据各变量遵循的运动规律，列出运动过程中各个环节的动态微分方程第第2 2步步对非线性项应进行线性化处理第第3 3步步消除所建立各微分方程的中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程第第4 4步步一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程右侧，各阶导数项按降幂排列，整理系统或元件的微分方程第第5 5步步§2.2   拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换Laplace（（拉普拉斯）变换是描述、分析拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！连续、线性、时不变系统的重要工具！2.2.1  拉氏变换定义拉氏变换定义          定义定义              拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。

傅氏变换建立了时域和频域间的联系，换傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系    复数和复变函数复数和复变函数复数和复变函数复数和复变函数 拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换 拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换 拉氏变换在控制工程中的应用拉氏变换在控制工程中的应用拉氏变换在控制工程中的应用拉氏变换在控制工程中的应用 复数和复数和复变函数复变函数 复数复数1复数运复数运算规则算规则32复变函数零复变函数零点和极点点和极点复数复数复数复数1虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位2虚数虚数虚数虚数3复数复数复数复数复数复数复数复数5共轭复数共轭复数共轭复数共轭复数4一个复数为零一个复数为零一个复数为零一个复数为零6复数有多种表示形式复数有多种表示形式复数有多种表示形式复数有多种表示形式复数的运算规则复数的运算规则复数的运算规则复数的运算规则两个复数相加（或相减两个复数相加（或相减））1两个复数相乘两个复数相乘2两个复数相除两个复数相除3复数的运算规则复数的运算规则复数的运算规则复数的运算规则用矢量表示复数用矢量表示复数1两个复数相乘两个复数相乘2两个复数相除两个复数相除3复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点 拉氏变换的定义实部实部j虚部虚部+复变函数复变函数=1复变函数复变函数复变函数复变函数2复变函数的零、极点表示复变函数的零、极点表示复变函数的零、极点表示复变函数的零、极点表示3复变函数的零点复变函数的零点复变函数的零点复变函数的零点4复变函数的极点复变函数的极点复变函数的极点复变函数的极点第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点第第一一节节 复复数数和和复复变变函函数数 拉氏变换的定义第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第第二二节节拉拉氏氏变变换换 1拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第第二二节节拉拉氏氏变变换换1拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义f f( (t t) )分段函数分段函数分段函数分段函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第第二二节节拉拉氏氏变变换换2拉氏变换的定义域拉氏变换的定义域拉氏变换的定义域拉氏变换的定义域拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换定义域定义域定义域定义域第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第第二二节节拉拉氏氏变变换换3象函数象函数象函数象函数4原函数原函数原函数原函数1阶跃函数阶跃函数阶跃函数阶跃函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第二二节节拉拉氏氏变变换换拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义单位阶单位阶单位阶单位阶跃函数跃函数跃函数跃函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换第第二二节节拉拉氏氏变变换换 阶跃函数阶跃函数阶跃响应阶跃响应阶跃响应阶跃响应函数实例函数实例函数实例函数实例2单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第二二节节拉拉氏氏变变换换拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换第第二二节节拉拉氏氏变变换换 单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲单位脉冲单位脉冲单位脉冲响应函数响应函数响应函数响应函数3单位斜坡函数单位斜坡函数单位斜坡函数单位斜坡函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第二二节节拉拉氏氏变变换换拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义4指数函数指数函数指数函数指数函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换第第二二节节拉拉氏氏变变换换5正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换第第二二节节拉拉氏氏变变换换第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换第第二二节节拉拉氏氏变变换换6幂函数幂函数幂函数幂函数第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换拉氏变换拉氏变换主要运算定理主要运算定理线性定理线性定理相似定理相似定理时域位移定理时域位移定理微分定理微分定理复域位移定理复域位移定理12345积分定理积分定理6积分定理积分定理8初值定理初值定理7卷积定理卷积定理9第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换 线性定理线性定理相似定理相似定理第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换 时域位移定理时域位移定理复域位移定理复域位移定理第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换 微分定理微分定理第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换积分积分定理定理多重积分的拉氏变换多重积分的拉氏变换当所有初始值均为零时当所有初始值均为零时第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理第第二二节节拉拉氏氏变变换换 初值定理初值定理终值定理终值定理卷积定理卷积定理第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义拉氏逆变换的定义第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 拉拉氏氏逆逆变变换换的的数数学学方方法法有理函数法有理函数法部分分式法部分分式法查表法查表法根据拉氏逆变换公式根据拉氏逆变换公式求解。

求解Laplace变换表查出相变换表查出相应的原函应的原函通过代数运算将一个复通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简杂的象函数化为数个简单的部分分式之和单的部分分式之和第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 包含多重极点的情况包含多重极点的情况2第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 包含多重极点的情况包含多重极点的情况2第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第三三拉拉氏氏逆逆变变换换 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第第四四拉拉氏氏变变换换在在控控制制工工程程中中的的应应用用 第一步第一步通通过过拉拉氏氏变变换换将将常常微微分分方方程程化化为象函数的代数方程；为象函数的代数方程；解出象函数；解出象函数；第二步第二步由由拉拉氏氏逆逆变变换换求求得得常常微微分分方方程程的解。

的解第三步第三步第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第四四拉拉氏氏变变换换在在控控制制工工程程中中的的应应用用 组合机床组合机床组合机床组合机床动力滑台动力滑台动力滑台动力滑台示意图示意图示意图示意图第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第四四拉拉氏氏变变换换在在控控制制工工程程中中的的应应用用 组合机床动组合机床动组合机床动组合机床动力滑台动力力滑台动力力滑台动力力滑台动力学模型学模型学模型学模型第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第四四拉拉氏氏变变换换在在控控制制工工程程中中的的应应用用 第二章第二章 机械工程控制论的数学基础机械工程控制论的数学基础 第第四四拉拉氏氏变变换换在在控控制制工工程程中中的的应应用用 2.2.2简单函数的拉氏变换简单函数的拉氏变换正弦函数正弦函数sinωtsinωt 1 1（（t t））和和余弦函数余弦函数cosωtcosωt 1 1（（t t））的拉氏变换的拉氏变换  的拉氏变换 证： 周期函数的象函数周期函数的象函数 设函数设函数x(t)x(t)是以是以T T为周期的周期函数，为周期的周期函数，即即x(t+T)=x(t)x(t+T)=x(t)，，则则证：证： 令令 则则 拉氏反变换公式为拉氏反变换公式为 简写为简写为在一般机电控制系统中，通常遇到如下形在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式式的有理分式 其中，使分母为零的其中，使分母为零的s s值称为极点，使分子值称为极点，使分子为零的为零的s s值称为零点。

则有值称为零点则有其中，其中，式中，式中， 是常值，是常值， 为极点处的留数，为极点处的留数，可由下式求得可由下式求得 将式（将式（2.192.19）拉氏反变换，可利用拉氏变换）拉氏反变换，可利用拉氏变换表得表得例例 试求试求 的拉氏反变换的拉氏反变换解：解：含共轭复数极点情况含共轭复数极点情况式中，式中， 是常值，可由以下步骤求得是常值，可由以下步骤求得将上式两边乘将上式两边乘 , , 两边同两边同时令时令 （或同时令（或同时令 ），），得得 （（2.212.21））分别令式（分别令式（2.212.21）两边实部、虚部对应相等，）两边实部、虚部对应相等，即可求得即可求得 。

可通过配方，化成正弦、余可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其反变换弦象函数的形式，然后求其反变换例例 试求试求 的拉氏反变换的拉氏反变换解：解：将该式两边同乘将该式两边同乘 ，并令，并令 ，，即即 解解 得得 又又故故 则则含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法值得注意的是，此时共轭复根相应两个法值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子分式的分子 和和 是共轭复数，只要求出是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到其中一个值，另一个即可得到例例 求求 的拉氏反变换的拉氏反变换解：解：则则则则含多重极点的情况含多重极点的情况 式中，式中，可由下式求得可由下式求得     利用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程  例例  解方程解方程                                       ，其中，，其中，    解：解：  将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得                         将将                                 代入，并整理，代入，并整理，得得       所以所以        2.2.3 3 传递函数以及典型环节的传递函数传递函数以及典型环节的传递函数       传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本传递函数是在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，而与输入量系式，它表达了系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。

它可以是无量纲的，也可以是有或驱动函数无关它可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所需要的量纲它不能表明系统系输入量与输出量所需要的量纲它不能表明系统的物理特性和物理结构，许多物理性质不同的系统，的物理特性和物理结构，许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样以用相同的微分方程描述一样表表2-2 2-2 等效弹性刚度说明等效弹性刚度说明表表2-2 2-2 复阻抗说明复阻抗说明 比例环节比例环节 （其中（其中k k为常数）为常数） 比例环节 （其中k为常数）一一阶阶惯惯性性环环节节 （（其其中中T T为为时时间常数）间常数）一一阶阶惯惯性性环环节节 （（其其中中T T为为时时间常数）间常数）积分环节积分环节 ( (其中其中k k为常数）为常数）二二阶阶振振荡荡环环节节 （（其其中中 0<0<ζ<1ζ<1））二二阶阶振振荡荡环环节节 （（其其中中 0<0<ζ<1ζ<1））   见光盘课件（第二章第四、五节）见光盘课件（第二章第四、五节） 2.6 2.6 系统信号流图及梅逊公式系统信号流图及梅逊公式信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组成的。

其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，成的其中，节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输出的节点；输出节点也称阱点，混合节点是指既有输入又有输出的节点；定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数；从输入节点到输出节还标明了增益，即支路上的传递函数；从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路从从输输入入变变量量到到输输出出变变量量的的系系统统传传递递函函数数可可由由梅逊公式求得梅逊公式可表示为梅逊公式求得梅逊公式可表示为 ————第第k k条前向通路的传递函数；条前向通路的传递函数； ——第第k k条条前前向向通通路路特特征征式式的的余余因因子子，，即即对对于于流流图图的的特特征征式式Δ,Δ,将将与与第第k k条条前前向向通通路路相相接接触触的的回回路路传传递递函函数数代代以以零零值值，，余余下下的的ΔΔ即为即为 。

例：例： 2.7 2.7 受控机械对象数学模型受控机械对象数学模型 一般整个机械传动系统的特性可以用若干相一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量－弹簧－阻尼系统表示其中每部分互耦合的质量－弹簧－阻尼系统表示其中每部分的动力学特性可表示为如下传递函数的动力学特性可表示为如下传递函数  为了得到良好的闭环机电系统性能，对为了得到良好的闭环机电系统性能，对于受控机械对象，应注意以下方面于受控机械对象，应注意以下方面: : （（1 1）高谐振频率）高谐振频率 一般整个机械传动系统的特性可以用若一般整个机械传动系统的特性可以用若干相互耦合的质量－弹簧－阻尼系统表示干相互耦合的质量－弹簧－阻尼系统表示 为了满足机电系统的高动态特性，机械传动为了满足机电系统的高动态特性，机械传动的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系的各个分系统的谐振频率均应远高于机电系统的设计截止频率各机械传动分系统谐振统的设计截止频率各机械传动分系统谐振频率最好相互错开另外，对于可控硅驱动频率最好相互错开另外，对于可控硅驱动装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与装置，应注意机械传动系统谐振频率不能与控制装置的脉冲频率接近，否则将产生机械控制装置的脉冲频率接近，否则将产生机械噪声并加速机械部件的磨损。

噪声并加速机械部件的磨损 （（2 2）高刚度）高刚度 在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性在闭环系统中，低刚度往往造成稳定性下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系下降，与摩擦一起，造成反转误差，引起系统在被控位置附近振荡统在被控位置附近振荡 在刚度的计算中，需要注意机械传动部在刚度的计算中，需要注意机械传动部件的串并联关系对于串联部件（例如在同件的串并联关系对于串联部件（例如在同一根轴上），总刚度一根轴上），总刚度k k为为 (2.36) (2.36)式中，式中， — — 各分部件刚度各分部件刚度对于并联部件（例如同一支承上有几个轴承）对于并联部件（例如同一支承上有几个轴承），总刚度，总刚度k k为为 (2.37) (2.37)式中，式中， — — 各分部件刚度。

各分部件刚度 从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，从低速轴上的刚度折算到高速轴上时，等效的刚度等效的刚度k k为为 (2.38) (2.38)式中，式中，i — i — 升速比 （（3 3）适当阻尼）适当阻尼 机械传动分系统的阻尼比为机械传动分系统的阻尼比为 (2.39) (2.39) 一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速一般电机驱动装置从驱动电压到输出转速的数学模型是二阶振荡环节的数学模型是二阶振荡环节, ,存在所需要的机存在所需要的机械传动环节较合适的阻尼比。

增加机械传动械传动环节较合适的阻尼比增加机械传动阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦阻尼比往往引起摩擦力增加，进而产生摩擦反转误差的不利影响另一方面，为了衰减反转误差的不利影响另一方面，为了衰减机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动机械振动和颤振现象，又需要增加机械传动阻尼比针对以上矛盾的要求，根据经验，阻尼比针对以上矛盾的要求，根据经验，适当的机械传动阻尼比可选为适当的机械传动阻尼比可选为0.10.1 0.20.2 （（4 4）低转动惯量）低转动惯量 快速性是现代机电一体化系统的显著特快速性是现代机电一体化系统的显著特点在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越点在驱动力矩一定的前提下，转动惯量越小，加速性能越好小，加速性能越好 机械传动部件对于电动机等驱动装置是机械传动部件对于电动机等驱动装置是负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动负载，通常将其折算成电动机转轴上的转动惯量来评价它对快速性的影响惯量来评价它对快速性的影响如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，如图齿轮传动机构，主动轮由电动机驱动，从动轮通过轴带动负载转动假设电动机轴从动轮通过轴带动负载转动。

假设电动机轴上的转矩为上的转矩为 ，转角为，转角为 ，转动惯量为，转动惯量为 ；从动轴上的负载转矩为；从动轴上的负载转矩为 ，转角为，转角为 ，转，转动惯量为动惯量为 ，阻尼系数为，阻尼系数为 ；主动轮和从动；主动轮和从动轮的齿数分别为轮的齿数分别为 和和 ，速比，速比 , 依题意，有依题意，有消去中间变量，可得消去中间变量，可得 (2.45) (2.45) （（2.462.46））其中，方程（其中，方程（2.452.45）是折合到主动轴的关系）是折合到主动轴的关系式，方程（式，方程（2.462.46）是折合到从动轴的关系式是折合到从动轴的关系式当当折折合合到到主主动动轴轴上上时时，，从从动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数都都要要除除以以传传动动比比的的平平方方，，负负载载转转矩矩除除以以传传动动比比。

因因此此，，减减速速传传动动时时，，相相当当于于电电动动机机带带的的负负载载变变小小了了，，也也可可以以说说电电动动机机带带负负载载的的力力矩矩增增大大了了反反之之，，当当折折合合到到从从动动轴轴上上时时，，主主动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数都都要要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比将将方方程程（（2.452.45））和和（（2.462.46））进进行行拉拉氏氏变变换换后后，，可得可得当当从从动动轴轴弹弹性性刚刚度度为为时时，，可可列列写写主主动动轴轴和和从从动轴的动力学方程为动轴的动力学方程为可可见见，，当当折折合合到到主主动动轴轴上上时时，，从从动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数以以及及刚刚度度都都要要除除以以传传动动比比的的平平方方，，负负载载转转矩矩除除以以传传动动比比，，从从动动轴轴的的转转角角则则乘乘以以传传动动比比反反之之，，当当折折合合到到从从动动轴轴上上时时，，主主动动轴轴上上的的转转动动惯惯量量和和阻阻尼尼系系数数以以及及刚刚度度都都要要乘乘以以传传动动比比的的平平方方，，输输入入转转矩矩乘乘以以传传动比，主动轴的转角则除以传动比。

动比，主动轴的转角则除以传动比联立求解代数方程组（联立求解代数方程组（2-512-51）和（）和（2-522-52），），可得可得 若若 ，变为刚性传动，前面推导的完，变为刚性传动，前面推导的完全刚性情况全刚性情况丝丝杠杠螺螺母母副副传传动动有有类类似似的的结结果果如如下下图图，，设设电电动动机机驱驱动动转转矩矩为为 ，，转转角角为为 ，，电电动动机机转转子子与与丝丝杠杠一一起起的的转转动动惯惯量量为为 ；；设设工工作作台台连连同同工工件件一一起起的的质质量量为为m m，，位位移移为为x x，，负负载载阻阻力力为为f f，，工工作作台台与与导导轨轨之之间间的的粘粘性性阻阻尼尼系系数数为为D D，，基本导程为基本导程为 mx D f m根据上图，可得根据上图，可得 （（2.552.55）） （（2.562.56））式中，丝杠螺母副传动比定义为式中，丝杠螺母副传动比定义为若丝杠弹性刚度为，则有若丝杠弹性刚度为，则有上上述述结结果果可可以以推推广广到到更更加加复复杂杂的的机机械械传传动动系系统统。

任任何何机机械械传传动动系系统统，，经经过过简简化化，，都都可可以以得得到到类类似似上上述述方方程程所所描描写写的的动动态态数数学学模模型型由由这这些些方方程程可可以以看看出出，，若若阻阻尼尼系系数数D D比比较较小小，，分分母母方方括括号号中中将将有有一一对对共共轭轭复复根根不不考考虑虑负负载载力力（（或或转转矩矩）），，由由输输入入转转矩矩到到主主动动轴轴转转角角的的传传递递函函数数，，由由于于分分子子和和分分母母多多项项式式都都有有一一对对数数值值相相近近的的共共轭轭复复根根，，可可以以作作为为一一对对偶偶极极子子相相消消，，因因而而，，可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统；；而而由由输输入入转转矩矩到到工工作作台台位位移移的的传传递递函函数数，，由由于于分分子子为为常常数数项项，，因因而而是是一一个个四四阶阶系系统统，，且且有有一一对共轭复根对共轭复根进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例进给传动链例 状态空间方程状态空间方程 伴随计算机的发展，以状态空间理论为伴随计算机的发展，以状态空间理论为基础的现代控制理论的数学模型采用状态空基础的现代控制理论的数学模型采用状态空间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状间方程，以时域分析为主，着眼于系统的状态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展态及其内部联系，研究的机电控制系统扩展为多输入为多输入- -多输出的时变系统。

多输出的时变系统 所谓状态方程是由系统状态变量构成的一所谓状态方程是由系统状态变量构成的一阶微分方程组阶微分方程组; ;状态变量是足以完全表征系统状态变量是足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量状态变量运动状态的最小个数的一组变量状态变量相互独立但不唯一相互独立但不唯一状态空间方程可表示成状态空间方程可表示成 （状态方程）（状态方程） （（2.632.63）） （输出方程）（输出方程） (2.64) (2.64)式中，式中， n n维状态矢量；维状态矢量； n×nn×n维系统状态系数矩阵；维系统状态系数矩阵； r r维维控控制制矢矢量量；； n×rn×r维维系系统统控控制制系系数数矩矩阵阵；； m m维维输输出出矢矢量量；； m×nm×n维维输输出出状状态态系系数数矩矩阵阵；； m×rm×r维维输输出出控控制制系系数数矩矩阵阵；； 例例 如下图所示系统如下图所示系统, , 和和 分别为输入分别为输入和输出电压。

和输出电压 该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组即即 也可表示为也可表示为 例：如下图所示系统，例：如下图所示系统， 为输入力，为输入力， 为为输出位移输出位移   该系统可表示为如下微分方程组该系统可表示为如下微分方程组 例：例：设设 , , , , 之间的位移为之间的位移为 , , 则则整理整理, ,得得   本章作业本章作业（（p67-p75)    2-1,   2-2,   2-6(b),  2-8,2-9(b),  2-10(a),  2-11(c),2-12(b),  2-19选做选做: 2-3,  2-26(b)。