2三角形辅助线总结及口诀.doc

三角形作辅助性措施大全口诀：总则：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边{4}2、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三角，大外小内找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以{3}3、两线做比较，截长补短可求证特殊角求三边，带平方都要用直角三角形三角形内构四边，四边周长不不小于三角形周长；{3}4、角分线，到边距离相等常常用，也可两边截等段；三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等，三角形内角平分线交予一点，且到三边距离相等平行线间角分线的交点一定是中点(见后){2}5、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线运用对顶和相等线段；{1}6垂分线上点连线段端点有协助；{3} 7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点；如图，AE\AD是角分线，AB//DC.E一定是bc中点Bc为任意线段一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，运用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

1、三线合一例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D为BC中点，∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE = DF例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵AB = AC，∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC ∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）引入：如图是一种等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到此外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是( )A、d＞hB、d＜hC、d＝hD、无法拟定三种措施1.过点P做底边的平行线 运用等边三角形三条高相等2.连接B、P，将大三角形转换为两个小三角形，并运用三角形面积公式。

3.考试中规范画图量出答案注意取整值3、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o∴∠ACE = (180o－∠EAC)= 80o∵∠ACB= (180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o∵EB = EC∴E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上∴EA所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥BC∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB由解法一知：∠ABC = 50o∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o二、角比较1、在运用三角形的外角不小于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再运用外角定理证题.例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法（一）：延长BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC 的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC1.有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，求证：AB＋BD = AC证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE则∠BED = ∠BDE∵∠ABD =∠E＋∠BDE∴∠ABC =2∠E∵∠ABC = 2∠C∴∠E = ∠C 在△AED和△ACD中∠E = ∠C∠1 = ∠2AD = AD∴△AED≌△ACD∴AC = AE∵AE = AB＋BE∴AC = AB＋BE即AB＋BD = AC⑵平分二倍角例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC求证：∠ABC = ∠ACB证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC∵BD⊥AC∴∠CBD ＋∠C = 90o∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o∴AE⊥BC∴∠ABC＋∠BAE = 90o∵∠CAE＋∠C= 90o∠BAE = ∠CAE∴∠ABC = ∠ACB例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（措施一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = ∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC（措施二）过A作AE⊥BC于E（过程略）（措施三）取BC中点E，连结AE（过程略）⑶加倍小角例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC求证：∠ABC = ∠ACB证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略）三、两线做比较1、截长补短作辅助线的措施截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种措施统称截长补短法.当已知或求证中波及到线段a、b、c、d有下列状况之一时用此种措施：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN在△APN和△APC中，AN = AC∠1 = ∠2AP = AP∴△APN≌△APC∴PC = PN∵△BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在△ABP和△AMP中AB = AM ∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP≌△AMP∴PB = PM又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC2、运用三角形三边关系。

n3、当波及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，运用勾股定理证题.例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为BC的垂直平分线求证：BE2－AE2 = AC2证明：连结CE，则BE = CE∵∠A = 90o ∴AE2＋AC2 = EC2∴AE2＋AC2= BE2∴BE2－AE2 = AC2练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2＋PC2= 2PA24条件中浮现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D∴∠B＋∠BAD = 90o，∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o，∴AD = BD∵AB2 = AD2＋BD2，AB =∴AD = 1∵∠C = 30o，AD⊥BC∴AC = 2AD = 2四、角平分线1、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC 在△BDE和△NDE中，DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF2、 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，运用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例 已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD求证：∠B+∠ADC=180°有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，运用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求证：∠BAP＋∠BCP = 180o证明：过P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD在Rt△BPE和Rt△BPD中BP = BPPE = PD∴Rt△BPE≌Rt△BPD∴BE = BD∵AB＋BC = 2BD，BC。