高数积分总结.pdf

第四章一元函数的积分及其应用第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念定义 1. 设)( xf是定义在某区间的已知函数，若存在函数)( xF， 使得)()(xfxF或dxxfxdF)()(, 则称)( xF为)( xf的一个原函数定义 2. 函数)( xf的全体原函数CxF)(叫做)(xf的不定积分， ，记为 : CxFxxf)(d)(其中)( xf叫做被积函数xxfd)(叫做被积表达式C叫做积分常数“”叫做积分号二、不定积分的性质和基本积分公式性质 1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即xxfxxfxfxxfd)(d)(d)(d)(；. 性质 2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即CxfxfCxfxxf)()(d,)(d)(或性质 3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即)0(d)(d)(kxxfkxxkf. 性质 4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(基本积分公式(1)Ckxxkd(k为常数 ) (2)Cxxx111d(1) (3)Cxx xlnd1(4)Cedxexx(5)C aaxax xlnd(6)Cxxxsindcos(7)Cxxxcosdsin(8)Cxxxtandsec2(9)Cxxxcotdcsc2(10)Cxxxxsecdtansec(11)Cxxxxcscdcotcsc(12)Cxxxxtanseclndsec(13)Cxxxxcotcsclndcsc(14)Cxx xarctand 112(15)Cxx xarcsind 112(16)Cxx xarcsind 112三、换元积分法和分部积分法定理 1.设)(x可导，并且.)(d)(CuFuuf则有CxFxuCuFuufxuxxfxxxf))(()()(d)()()(d)]([d)()]([代回令凑微分该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．定理 2. 设)(tx是可微函数且0)(t，若)())((ttf具有原函数)(tF，则dxt fxx 换 元11d.tx ftttFtCFxC积 分回 代该方法叫第二 换元积分法:)d(的原则或及选取vvu1) v 容易求得; xvuxvudd)2比解题技巧 ::的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序 ,前者为 u 后者为.v第二节定积分概念一、原函数与不定积分的概念二、 定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质1．定积分的几何意义 2. 定积分的性质性质 1.dxxgxfba)]()([badxxf)(badxxg)(.性质 2. badxxkf)(kbadxxf)((k是常数 ). 性质 3. badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(. 性质 4.badxxf)(abdxba. 推论 1. 如果在],[ba上，则),()(xgxfbadxxf)(badxxg)((a