小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.ppt

小学数学中的基本思想东北师范大学史宁中2014. 9报告目录报告目录n n一、数学的基本思想n n二、小学数学中的抽象n n三、小学数学中的推理n n四、小学数学中的模型一、数学的基本思想一、数学的基本思想1 1 1 1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能、课程目标：由双基到四基、从两能到四能、课程目标：由双基到四基、从两能到四能、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变实现教育理念的转变实现教育理念的转变实现教育理念的转变 过去的教育理念：以知识为本过去的教育理念：以知识为本 教学大纲教学大纲 关心问题是关心问题是：： 应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是考核内容是：： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿教学目标是：教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆记忆记忆记忆）））） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技能（证明技能与运算技能）熟练（基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练训练训练训练））））￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿教学形式是教学形式是：： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）现代的教育理念：以人为本现代的教育理念：以人为本 教育方针：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）教育方针：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）课程标准课程标准 以学生的发展为本以学生的发展为本 人的成功依赖：知识技能、把握机遇、人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法思维方法￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能能能能￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿还要培养学生数学的基本素养（素质教育）还要培养学生数学的基本素养（素质教育）还要培养学生数学的基本素养（素质教育）还要培养学生数学的基本素养（素质教育）￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿感悟数学的基本思想，积累基本活动经感悟数学的基本思想，积累基本活动经验验课程目标：基础知识、基本技能课程目标：基础知识、基本技能 + + 基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿分析问题、解决问题分析问题、解决问题 + + 发现问题、提出问题发现问题、提出问题基本活动经验基本活动经验：思维经验、：思维经验、：思维经验、：思维经验、会会会会想想想想问题问题问题问题；实践经验、；实践经验、；实践经验、；实践经验、会会会会做事情做事情做事情做事情2. 2. 什么是数学的基本思想什么是数学的基本思想 数学是研究数量关系和空间形式的科学数学是研究数量关系和空间形式的科学数学是研究数量关系和空间形式的科学数学是研究数量关系和空间形式的科学 研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：数量、图形数量、图形 研究内容：研究内容：研究内容：研究内容：数量性质与关系、图形性质与关系数量性质与关系、图形性质与关系 数学的基本思想：数学的基本思想：数学的基本思想：数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型抽象、推理、模型 数学教学的责任：数学教学的责任：数学教学的责任：数学教学的责任：会抽象、会推理会抽象、会推理 、会一般性地思考、会一般性地思考 通过抽象：现实通过抽象：现实 → → 数学数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性通过推理：数学通过推理：数学 → → 数学数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学通过模型：数学 → → 现实现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征：得到数学的基本特征： 一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）数学思想：抽象、推理、模型（数学思想：抽象、推理、模型（数学思想：抽象、推理、模型（数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟不是知识，不靠讲解靠感悟））教学要点：创设情境，让学生感悟。

教学要点：创设情境，让学生感悟 感悟什么？如何感悟？感悟什么？如何感悟？ 数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达 同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少 数关系的本质是大与小数关系的本质是大与小数关系的本质是大与小数关系的本质是大与小抽象有两种方法：对应起名（外延）、述说定义（内涵）抽象有两种方法：对应起名（外延）、述说定义（内涵）对应：三个苹果、三只鸡对应：三个苹果、三只鸡对应：三个苹果、三只鸡对应：三个苹果、三只鸡 → → → → □□□ □□□ □□□ □□□ ←→ ←→ ←→ ←→ 3 3 3 3 （（（（去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性））））述说：一个一个多起来（后继数）：述说：一个一个多起来（后继数）：述说：一个一个多起来（后继数）：述说：一个一个多起来（后继数）： 1 = 0 + 11 = 0 + 11 = 0 + 11 = 0 + 1，，，，2 = 1 + 12 = 1 + 12 = 1 + 12 = 1 + 1，，，，3 = 2 + 13 = 2 + 13 = 2 + 13 = 2 + 1，，，，4 = 3 + 14 = 3 + 14 = 3 + 14 = 3 + 1，，，，………… 二、小学数学中的抽象二、小学数学中的抽象二、小学数学中的抽象二、小学数学中的抽象小学阶段的数学教育：小学阶段的数学教育：小学阶段的数学教育：小学阶段的数学教育： 开始开始开始开始用用用用对应对应对应对应的方法，的方法，的方法，的方法，以后以后以后以后用用用用述说述说述说述说方法方法方法方法比如数的认识比如数的认识比如数的认识比如数的认识 对应：对应：对应：对应：负数负数负数负数 量相等、意义相反量相等、意义相反量相等、意义相反量相等、意义相反 不能用数轴解释、最好不用不能用数轴解释、最好不用不能用数轴解释、最好不用不能用数轴解释、最好不用减法或减法或减法或减法或相反数解释相反数解释相反数解释相反数解释 述说：如何认识述说：如何认识述说：如何认识述说：如何认识 10000100001000010000、、、、比比比比 9999 9999 9999 9999 多多多多 1 1 1 1比如几何概念比如几何概念比如几何概念比如几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角对应：称这样的图形为直线段、角对应：称这样的图形为直线段、角对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题（基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题（基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题（基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿高等教育出版社，高等教育出版社，高等教育出版社，高等教育出版社，20132013年）年）年）年） 读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号读数的关键：十个符号 + + + + 数位数位数位数位 如何读如何读如何读如何读 2002200220022002 符号符号符号符号 0 0 0 0 很重要：很重要：很重要：很重要： 1 1 1 1 ～～～～ 10101010 → → → → 1 1 1 1 ～～～～ 9 9 9 9 → → → → 0 0 0 0 和和和和 10101010 相反数：相反数：相反数：相反数： a + b = 0a + b = 0a + b = 0a + b = 0，，，，b b b b 为相反数，表示为为相反数，表示为为相反数，表示为为相反数，表示为 -a-a-a-a 数位与数不同数位与数不同数位与数不同数位与数不同 数位：个数位：个数位：个数位：个(ones)(ones)(ones)(ones)、十、十、十、十(tens)(tens)(tens)(tens)，，，，““““十十十十””””是十个是十个是十个是十个““““个个个个”””” ““““万万万万””””是十个是十个是十个是十个““““千千千千”””” 数：数：数：数：10 = 9 + 110 = 9 + 110 = 9 + 110 = 9 + 1 10000 = 9999 + 1 10000 = 9999 + 1 10000 = 9999 + 1 10000 = 9999 + 1 数的运算数的运算 与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义。

与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义 定义：定义：定义：定义：□□□□□□□□□□□□←←←←□ □ □ □ 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 ？？？？ 4 = 3 + 1 4 = 3 + 1 4 = 3 + 1 4 = 3 + 1 → → → → 3 + 1 = 43 + 1 = 43 + 1 = 43 + 1 = 4 对应：对应：对应：对应： □□□ □□□□ □□□ □□□□ □□□ □□□□ □□□ □□□□ 哪边多哪边多哪边多哪边多 □□□□□□□□□□□□←←←←□□□□ □□□□ □□□□ □□□□ □□□□ 哪边多？哪边多？哪边多？哪边多？ → → → → 3 + 1 = 43 + 1 = 43 + 1 = 43 + 1 = 4 理解等号的意义：等号两边讲两个故事，理解等号的意义：等号两边讲两个故事， 这两个故事量相等这两个故事量相等 （方程：含有未知数的等式？）（方程：含有未知数的等式？）点、线、面的抽象点、线、面的抽象点、线、面的抽象点、线、面的抽象0 0 0 0 维是点、维是点、维是点、维是点、1 1 1 1 维是线、维是线、维是线、维是线、2 2 2 2 维是面、维是面、维是面、维是面、3 3 3 3 维是体。

维是体日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的角的抽象角的抽象角的抽象角的抽象 角是由两条有公共端点的射线组成的图形角是由两条有公共端点的射线组成的图形角是由两条有公共端点的射线组成的图形角是由两条有公共端点的射线组成的图形→→→→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿称下面的图形为角角由两条线段所夹部分组成，这称下面的图形为角角由两条线段所夹部分组成，这称下面的图形为角角由两条线段所夹部分组成，这称下面的图形为角角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合称这两条线段为角的边，角的大两条线段的一个端点重合称这两条线段为角的边，角的大两条线段的一个端点重合称这两条线段为角的边，角的大两条线段的一个端点重合称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关小与边长无关小与边长无关小与边长无关 几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力抽象的小结抽象的小结抽象的小结抽象的小结￿ ￿抽象出数学研究的对象：抽象出数学研究的对象：抽象出数学研究的对象：抽象出数学研究的对象：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿把外部世界的数量和数量关系、把外部世界的数量和数量关系、把外部世界的数量和数量关系、把外部世界的数量和数量关系、￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿图形与图形关系引导数学内部。

图形与图形关系引导数学内部图形与图形关系引导数学内部图形与图形关系引导数学内部￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿概念：自然数、负数、点、线、面、体、角概念：自然数、负数、点、线、面、体、角概念：自然数、负数、点、线、面、体、角概念：自然数、负数、点、线、面、体、角￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿关系关系关系关系：（代数）：（代数）：（代数）：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线数的大小关系，（几何）两点决定一条直线数的大小关系，（几何）两点决定一条直线数的大小关系，（几何）两点决定一条直线￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿法则：加法法则：加法法则：加法法则：加法￿→￿￿→￿￿→￿￿→￿减法、乘法、除法减法、乘法、除法减法、乘法、除法减法、乘法、除法抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有抽象的东西不存在：现实中没有￿ ￿ ￿ ￿2 2，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛，只有具体的两匹马、两头牛抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在抽象的东西是理念的存在￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿郑板桥：郑板桥：郑板桥：郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之我画的不是我眼中之竹，而是我心中之我画的不是我眼中之竹，而是我心中之我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。

竹三、小学数学中的推理三、小学数学中的推理推理：推理：推理：推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理数学内部的发展依赖的是逻辑推理数学的结论都是命题数学的结论都是命题￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿数学命题：可供正确或者错误判断的陈述数学命题：可供正确或者错误判断的陈述￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿可供判断可供判断可供判断可供判断，下面陈述不是数学，下面陈述不是数学命题命题￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿这个三角形是美的这个三角形是美的￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿仅供判断仅供判断仅供判断仅供判断，下面两个陈述都是，下面两个陈述都是数学命题数学命题 三角形内角和三角形内角和三角形内角和三角形内角和180180180180度度度度 三角形内角和三角形内角和三角形内角和三角形内角和120120120120度度度度直接推理：对命题的直接判断直接推理：对命题的直接判断直接推理：对命题的直接判断直接推理：对命题的直接判断一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程逻辑推理：逻辑推理：逻辑推理：逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。

命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性 A A A A → → → → P P P P，，，，x x x x ∈ A∈ A∈ A∈ A，，，， x x x x → → → → P P P P x x x x → → → → P P P P，，，，x x x x ∈ A∈ A∈ A∈ A，，，， A A A A → → → → P P P P 前者：前者：前者：前者：凡人都有死苏格拉底是人凡人都有死苏格拉底是人凡人都有死苏格拉底是人凡人都有死苏格拉底是人/ / / / 苏格拉底有死苏格拉底有死苏格拉底有死苏格拉底有死 后者：后者：后者：后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死苏格拉底是人，苏格拉底有死苏格拉底是人，苏格拉底有死苏格拉底是人，苏格拉底有死 柏拉图是人，柏拉图有死。

柏拉图是人，柏拉图有死柏拉图是人，柏拉图有死柏拉图是人，柏拉图有死/ / / / 凡人都有死凡人都有死凡人都有死凡人都有死非逻辑推理：非逻辑推理：非逻辑推理：非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性 苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道两种逻辑推理两种逻辑推理两种逻辑推理两种逻辑推理 演绎推理：命题内涵由大到小从一般到特殊演绎推理：命题内涵由大到小从一般到特殊演绎推理：命题内涵由大到小从一般到特殊演绎推理：命题内涵由大到小从一般到特殊 归纳推理：命题内涵由小到大从特殊到一般归纳推理：命题内涵由小到大从特殊到一般归纳推理：命题内涵由小到大从特殊到一般归纳推理：命题内涵由小到大从特殊到一般演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理需要前提：公理或者假设。

演绎推理需要前提：公理或者假设演绎推理需要前提：公理或者假设演绎推理需要前提：公理或者假设数与代数数与代数数与代数数与代数””””演绎推理的前提演绎推理的前提演绎推理的前提演绎推理的前提命题命题命题命题1 1 1 1 等式（不等式）关系具有传递性等式（不等式）关系具有传递性等式（不等式）关系具有传递性等式（不等式）关系具有传递性 a = b (a a = b (a a = b (a a = b (a ﹥﹥﹥﹥ b b），），），），b = c b = c (a (a (a (a ﹥﹥﹥﹥ b b））））￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿a = c (a a = c (a a = c (a a = c (a ﹥﹥﹥﹥ c c））））命题命题命题命题2 2 2 2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。

等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变 a = b (a a = b (a a = b (a a = b (a ﹥﹥﹥﹥ b b））））￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→￿￿￿￿a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c ﹥﹥﹥﹥ b + c b + c）））） a - c = b - c (a - c a - c = b - c (a - c a - c = b - c (a - c a - c = b - c (a - c ﹥﹥﹥﹥ b - c b - c））））演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理加上一个正数比原来的数大。

加上一个正数比原来的数大加上一个正数比原来的数大加上一个正数比原来的数大符号表示：符号表示：符号表示：符号表示：对于任意的数对于任意的数对于任意的数对于任意的数 a a a a 和正数和正数和正数和正数 b b b b，有，有，有，有 a + b a + b a + b a + b ＞＞＞＞ a a a a 因为因为因为因为 b b b b 为正数，所以为正数，所以为正数，所以为正数，所以 b b b b ＞＞＞＞ 0 0 0 0 在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上 a a a a，由命题，由命题，由命题，由命题 2 2 2 2 得到得到得到得到 a + b a + b a + b a + b ＞＞＞＞ a a a a 结论成立结论成立结论成立结论成立利用类似的方法可以证明对称命题：利用类似的方法可以证明对称命题：利用类似的方法可以证明对称命题：利用类似的方法可以证明对称命题： 加上一个负数比原来的数小。

加上一个负数比原来的数小加上一个负数比原来的数小加上一个负数比原来的数小 演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 减去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小减去一个正数比原来的数小用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题： a - b = a + (-b) a - b = a + (-b) a - b = a + (-b) a - b = a + (-b)其中其中其中其中b b b b ＞＞＞＞ 0 0 0 0因为““““减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算””””：：：： a - b = x ←→ a = b + x a - b = x ←→ a = b + x a - b = x ←→ a = b + x a - b = x ←→ a = b + x由命题由命题由命题由命题2 2 2 2，在右边等式的两边分别加上（，在右边等式的两边分别加上（，在右边等式的两边分别加上（，在右边等式的两边分别加上（-b-b-b-b）等式不变：）等式不变：）等式不变：）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x a + (-b) = b + (-b) + x a + (-b) = b + (-b) + x a + (-b) = b + (-b) + x。

根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：根据相反数的定义：a + (-b) = xa + (-b) = xa + (-b) = xa + (-b) = x由命题 1 1 1 1：：：： a - b = x = a + (-b) a - b = x = a + (-b) a - b = x = a + (-b) a - b = x = a + (-b) 演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上这个负数的相反数 减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数 减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大减去一个负数比原来的数大用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b令令 x = a + bx = a + b。

等式分别两边加上等式分别两边加上b b的相反数（的相反数（-b-b），由命题），由命题2 2 x + (-b) = a + b + (-b) = a x + (-b) = a + b + (-b) = a上面等式的两边同时减去上面等式的两边同时减去(-b)(-b)，再由命题，再由命题2 2：： x + (-b) x + (-b) – – (-b) = a (-b) = a – – (-b) (-b)因为同样的数相减为因为同样的数相减为 0 0：：x = a x = a – – (-b) (-b)由命题1 1：： a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b 演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识论证问题的形式是：论证问题的形式是：论证问题的形式是：论证问题的形式是：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿已知已知已知已知 A A A A 求证求证求证求证 B B B B其中其中其中其中 A A A A 和和和和 B B B B 都是确定性命题，没有新的知识都是确定性命题，没有新的知识都是确定性命题，没有新的知识都是确定性命题，没有新的知识发现知识需要下面两个能力：发现知识需要下面两个能力：发现知识需要下面两个能力：发现知识需要下面两个能力： 从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力因此，需要归纳推理：因此，需要归纳推理：因此，需要归纳推理：因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西从经验过的东西推断未曾经验的东西归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象经验：从个别到一般，从具体到符号经验：从个别到一般，从具体到符号经验：从个别到一般，从具体到符号经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律 3 + 5 = 83 + 5 = 83 + 5 = 83 + 5 = 8，，，，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 35 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 35 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 35 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15 6 + 9 = 15 6 + 9 = 15 6 + 9 = 15，，，，9 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 69 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 69 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 69 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1 3 + (-2) = 1 3 + (-2) = 1 3 + (-2) = 1，，，，(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3 → → → → a + b = b + a a + b = b + a a + b = b + a a + b = b + a结论的正确与否需要演绎证明结论的正确与否需要演绎证明结论的正确与否需要演绎证明结论的正确与否需要演绎证明归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理探究成因探究成因探究成因探究成因￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿混合运算：先算括号、先乘除后加减混合运算：先算括号、先乘除后加减混合运算：先算括号、先乘除后加减混合运算：先算括号、先乘除后加减为什么？举例说明为什么？举例说明为什么？举例说明为什么？举例说明￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿(3 + 2)(3 + 2)(3 + 2)(3 + 2)××6 = 56 = 5××6 = 306 = 30 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2××6 = 3 + 12 = 186 = 3 + 12 = 18上：上：上：上：￿ ￿ ￿ ￿一队同学，每排一队同学，每排一队同学，每排一队同学，每排3 3 3 3名女生名女生名女生名女生2 2 2 2名男生，共名男生，共名男生，共名男生，共6 6 6 6排，问有多少同学。

排，问有多少同学排，问有多少同学排，问有多少同学下：操场上有下：操场上有下：操场上有下：操场上有3 3 3 3名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，2 2 2 2人一排共人一排共人一排共人一排共6 6 6 6排，问现排，问现排，问现排，问现 在操场上有多少同学在操场上有多少同学在操场上有多少同学在操场上有多少同学 现在同学数现在同学数现在同学数现在同学数 = = = = 原来同学数原来同学数原来同学数原来同学数 + + + + 后来同学数后来同学数后来同学数后来同学数 = 3 + 2= 3 + 2= 3 + 2= 3 + 2××6 6 混合运算讲两个以上的故事混合运算讲两个以上的故事混合运算讲两个以上的故事混合运算讲两个以上的故事除分数等于乘这个分数的除分数等于乘这个分数的除分数等于乘这个分数的除分数等于乘这个分数的倒数倒数倒数倒数归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理类比的方法：几何类比的方法：几何类比的方法：几何类比的方法：几何￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿一个点把直线分为两个部分。

如何表达？一个点把直线分为两个部分如何表达？一个点把直线分为两个部分如何表达？一个点把直线分为两个部分如何表达？ 一条直线把平面分为两个部分如何表达？两条直线呢？一条直线把平面分为两个部分如何表达？两条直线呢？一条直线把平面分为两个部分如何表达？两条直线呢？一条直线把平面分为两个部分如何表达？两条直线呢？ 一个平面把空间分为两个部分如何表达？两个平面呢？一个平面把空间分为两个部分如何表达？两个平面呢？一个平面把空间分为两个部分如何表达？两个平面呢？一个平面把空间分为两个部分如何表达？两个平面呢？数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。

因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性四、四、四、四、小学数学中小学数学中小学数学中小学数学中的模型的模型的模型的模型抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实模型：是沟通数学与现实世界的桥梁模型：是沟通数学与现实世界的桥梁模型：是沟通数学与现实世界的桥梁模型：是沟通数学与现实世界的桥梁 用数学的语言讲述现实世界的故事用数学的语言讲述现实世界的故事用数学的语言讲述现实世界的故事用数学的语言讲述现实世界的故事 力是什么？力是什么？力是什么？力是什么？ F F F F = = = = mmmm××××a a a a重力是什么？重力是什么？重力是什么？重力是什么？ s = gts = gts = gts = gt2 2 2 2/2/2/2/2课标中主要要求两个课标中主要要求两个课标中主要要求两个课标中主要要求两个模型模型模型模型￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿总量模型（加法模型）：总量总量模型（加法模型）：总量总量模型（加法模型）：总量总量模型（加法模型）：总量￿ ￿ ￿ ￿= = 部分部分部分部分￿ ￿ ￿ ￿+ + 部分部分部分部分￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿部分部分部分部分￿ ￿ ￿ ￿= = 总量总量总量总量––––部分部分部分部分￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿→ → 顺序模型：现在顺序模型：现在 = = 过去过去 + + 变化变化￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿路程模型（乘法模型）：路程路程模型（乘法模型）：路程路程模型（乘法模型）：路程路程模型（乘法模型）：路程￿ ￿ ￿ ￿= = 速度速度速度速度￿ ￿ ￿ ￿× ×时间时间时间时间￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿速度速度速度速度￿ ￿ ￿ ￿= = 路程路程路程路程￿ ￿ ￿ ￿/ / 时间时间时间时间植树模型、工程模型植树模型、工程模型植树模型、工程模型植树模型、工程模型如果在我国的中小学数学教育中如果在我国的中小学数学教育中如果在我国的中小学数学教育中如果在我国的中小学数学教育中￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿一方面保持一方面保持一方面保持一方面保持““““数学双基教学数学双基教学数学双基教学数学双基教学””””合理的内核，一方合理的内核，一方合理的内核，一方合理的内核，一方面又添加了面又添加了面又添加了面又添加了““““基本思想基本思想基本思想基本思想””””和和和和““““基本活动经验基本活动经验基本活动经验基本活动经验””””，必将会出现，必将会出现，必将会出现，必将会出现既有既有既有既有““““演绎能力演绎能力演绎能力演绎能力””””又有又有又有又有““““归纳能力归纳能力归纳能力归纳能力””””的培养模式。

的培养模式的培养模式的培养模式就必将会出现就必将会出现就必将会出现就必将会出现““““外国没有的我们有，外国有的我们也有外国没有的我们有，外国有的我们也有外国没有的我们有，外国有的我们也有外国没有的我们有，外国有的我们也有””””的局的局的局的局面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于世界 谢谢！。