第3讲等比数列 1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母 q 表示．公比2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1·qn－1. 3．等比中项若 G2＝a·b(ab≠0)，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (4)已知等比数列{an}，①若首项 a1>0，公比 q>1 或首项 a1<0，公比 00，公比 01，则数列{an}单调________；递减③若公比 q＝1，则数列{an}为常数列；④若公比 q<0，则数列{an}为摆动数列． 5．等比数列的前 n 项和公式设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn.当 q＝1 时，Sn＝________；6．等比数列前 n 项和的性质若公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍是等比数列．na1 1．在等比数列{an}中，a4＝4，则 a2·a6＝(A．4B．8C．163．首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4＝____.4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝6，S4＝30，则S6＝________.)CD．32C15126 考点 1 等比数列的基本运算例 1：(1)(2014 年江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则 a6＝________.解析：由 a8＝a6＋2a4，得 a1q7＝a1q5＋2a1q3，即q4－q2－2＝0，q2＝2 或 q2＝－1(舍)．a6＝a2q4＝1×22＝4.答案：4 (2)(2013 年北京)若等比数列{an}满足 a2 ＋a4 ＝20，a3 ＋a5＝40，则公比 q＝________，前 n 项和 Sn＝__________.答案：22n＋1－2【规律方法】在解决等比数列问题时，已知 a1，an，q，n，Sn 中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得 a1和 q 是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法. 【互动探究】1．(2013 年广东)设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.15解析：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15. 考点 2 求等比数列的前 n 项和例 2：(2014 年重庆)已知{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，Sn 表示{an}的前 n 项和．(1)求 an 及 Sn；(2)设{bn}是首项为 2 的等比数列，公比 q 满足 q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 【互动探究】2．(广西百所示范性中学 2015 届高三第一次大联考)已知数列{an}为等差数列，且 a1＝3，{bn}为等比数列，数列{an＋bn}的前三项依次为 5,9,15，求：(1)数列{an}，{bn}的通项公式；(2)数列{an＋bn}的前 n 项和． 考点 3 等比数列的性质例 3：(1)(2014 年广东)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝_________. 答案：5 (2)(2014 年大纲)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S2＝3，S4＝15，则 S6＝()A．31B．32C．63D．64答案：C 【规律方法】(1)解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质“若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap·aq”，再考虑基本量法. (2)等比数列前 n 项和的性质：若公比不为－1的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍是等比数列. 【互动探究】 ●易错、易混、易漏●⊙在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规律例题：在等比数列{an}中，a2，a10 是方程 x2＋8x＋4＝0 的两根，则 a6＝()A．－2B．±2C．2D．4答案：A 。
