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博士教育李老师博士教育李老师- - 一一 - -综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图如图 1 1，已知抛物线的顶点为，已知抛物线的顶点为 A A（（2 2，，1 1），且经过原点），且经过原点 O O，与，与 x x 轴的另一个交点为轴的另一个交点为 B B⑴⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为））xx41y2⑵⑵若点若点 C C 在抛物线的对称轴上，点在抛物线的对称轴上，点 D D 在抛物线上，且以在抛物线上，且以 O O、、C C、、D D、、B B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D D 点的坐标；点的坐标；⑶⑶连接连接 OAOA、、ABAB，如图，如图 2 2，在，在 x x 轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点 P P，使得，使得△OBP△OBP 与与△OAB△OAB 相似？若存在，求出相似？若存在，求出 P P 点的坐标；若点的坐标；若 不存在，说明理由。

不存在，说明理由分析分析:1.:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边边和和对角线对角线来考虑问题来考虑问题以以 O O、、C C、、D D、、B B 四点为顶点的四点为顶点的 四边形为平行四边形要分类讨论四边形为平行四边形要分类讨论: :按按 OBOB 为边和对角线两种情况为边和对角线两种情况2.2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ①① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根 据未知三角形中据未知三角形中已知边已知边与已知三角形的与已知三角形的可能对应边可能对应边分类讨论分类讨论②②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理勾股定理、、三角函数三角函数、、对称对称、、旋转旋转等知识来推导边的大小等知识来推导边的大小 ③③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程，之后利用相似来列方程 求解。

求解练习 1、已知抛物线、已知抛物线经过经过及原点及原点．．2yaxbxc5 3( 33)02PE ，，，(0 0)O ，（（1 1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为））225 3 33yxx （（2 2）过）过点作平行于点作平行于轴的直线轴的直线交交轴于轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点下方的抛物线上，任取一点PxPCyCPC，过点，过点作直线作直线平行于平行于轴交轴交轴于轴于点，交直线点，交直线于于点，直线点，直线与直线与直线及两坐标轴围成矩及两坐标轴围成矩QAyxAPCBQAPC形形．是否存在点．是否存在点，使得，使得与与相似？若存在，求出相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．OABCQOPC△PQB△Q例例 1 1 题图题图图图1 1OAByxOAByx图图2 2博士教育李老师博士教育李老师- - 二二 - -yxEQPCBO A（（3 3）如果符合（）如果符合（2 2）中的）中的点在点在轴的上方，连结轴的上方，连结，矩形，矩形内的四个三角形内的四个三角形QxOQOABC之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？OPCPQBOQPOQA，，，△△△△练习 2、如图，四边形、如图，四边形 OABCOABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A A 在在x x轴上，点轴上，点 C C 在在y y轴上，将边轴上，将边 BCBC 折叠，折叠，使点使点 B B 落在边落在边 OAOA 的点的点 D D 处。

已知折叠处已知折叠，且，且5 5CE 3tan4EDA（（1 1）判断）判断与与是否相似？请说明理由；是否相似？请说明理由；OCD△ADE△（（2 2）求直线）求直线 CECE 与与x x轴交点轴交点 P P 的坐标；的坐标；（（3 3）是否存在过点）是否存在过点 D D 的直线的直线l l，使直线，使直线l l、直线、直线 CECE 与与x x轴所围成的三角形和直线轴所围成的三角形和直线l l、直线、直线 CECE 与与y y轴所围成的三角形相轴所围成的三角形相 似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由O Ox xy y练习练习 2 2图图C CB BE ED DA博士教育李老师博士教育李老师- - 三三 - -练习 3、在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，已知二次函数中，已知二次函数的图象与的图象与轴交于轴交于两点（点两点（点在点在点xOy2(0)yaxbxc axAB，A的左边），与的左边），与轴交于点轴交于点，其顶点的横坐标为，其顶点的横坐标为 1 1，且过点，且过点和和．．ByC(2 3)，( 312)，（（1 1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为））223yxx （（2 2）若直线）若直线与线段与线段交于点交于点（不与点（不与点重合），则是否存在这样的直线重合），则是否存在这样的直线 ，使得以，使得以:(0)l ykx kBCDBC，l为顶点的三角形与为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；BOD，，BAC△D( 10)(3 0),(0 3)ABC ，，，，（（3 3）若点）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与与的大小（不的大小（不PPCOACO必证明），并写出此时点必证明），并写出此时点的横坐标的横坐标的取值范围．的取值范围．PpxO Oy yC Clx xB BA A1x 练习练习 3图图C CB BA Ax练习练习 4 4图图P Py y博士教育李老师博士教育李老师- - 四四 - -练习 4 ( (广东湛江市广东湛江市) ) 如图所示，已知抛物线如图所示，已知抛物线与与轴交于轴交于A A、、B B两点，与两点，与轴交于点轴交于点C C．．21yxxy（（1 1）求）求A A、、B B、、C C三点的坐标．三点的坐标．（（2 2）过点）过点A A作作APAP∥∥CBCB交抛物线于点交抛物线于点P P，求四边形，求四边形ACBPACBP的面积．的面积．（（3 3）在）在轴上方的抛物线上是否存在一点轴上方的抛物线上是否存在一点M M，过，过M M作作MGMG轴于点轴于点G G，使以，使以A A、、M M、、G G三点为顶点的三角形与三点为顶点的三角形与PCAPCA相相xx 似．若存在，请求出似．若存在，请求出M M点的坐标；否则，请说明理由．点的坐标；否则，请说明理由．练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，是直角三角形，，点，点的坐标分别为的坐标分别为，，ABC△90ACBoAC，( 3 0)A  ，，，．．(10)C ，3tan4BAC（（1 1）求过点）求过点的直线的函数表达式；点的直线的函数表达式；点，，，，，，AB，( 3 0)A  ，(10)C ，B(13)，39 44yx（（2 2）在）在轴上找一点轴上找一点，连接，连接，使得，使得与与相似（不包括全等），并求点相似（不包括全等），并求点的坐标；的坐标；xDDBADB△ABC△D（（3 3）在（）在（2 2）的条件下，如）的条件下，如分别是分别是和和上的动点，连接上的动点，连接，设，设，问是否存在这样的，问是否存在这样的使使PQ，ABADPQAPDQmm得得与与相似，如存在，请求出相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．的值；如不存在，请说明理由．APQ△ADB△mA AC CO OB Bx xy y博士教育李老师博士教育李老师- - 五五 - -参考答案例题、解、解:⑴:⑴由题意可设抛物线的解析式为由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2∵∵抛物线过原点，抛物线过原点，∴∴1)20(a02∴∴. .41a抛物线的解析式为抛物线的解析式为, ,即即 1)2x(41y2xx41y2⑵⑵如图如图 1,1,当当 OBOB 为边即四边形为边即四边形 OCDBOCDB 是平行四边形时是平行四边形时,CD,CD OB,OB,∥∥＝＝由由得得, ,1)2x(41024x, 0x21∴B(4,0),OB∴B(4,0),OB＝＝4.4. ∴D∴D 点的横坐标为点的横坐标为 6 6 将将 x x＝＝6 6 代入代入, ,得得 y y＝－＝－3,3,1)2x(41y2∴D(6,∴D(6,－－3);3); 根据抛物线的对称性可知根据抛物线的对称性可知, ,在对称轴的左侧抛物线上存在点在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,D,使得四边形使得四边形 ODCBODCB 是平行四边形是平行四边形, ,此时此时 D D 点的坐标为点的坐标为 ( (－－2,2,－－3),3), 当当 OBOB 为对角线即四边形为对角线即四边形 OCBDOCBD 是平行四边形时是平行四边形时,D,D 点即为点即为 A A 点点, ,此时此时 D D 点的坐标为点的坐标为(2,1)(2,1) ⑶⑶如图如图 2 2，由抛物线的对称性可知，由抛物线的对称性可知:AO:AO＝＝AB,∠AOBAB,∠AOB＝＝∠ABO.∠ABO. 若若△BOP△BOP 与与△AOB△AOB 相似相似, ,必须有必须有∠POB∠POB＝＝∠BOA∠BOA＝＝∠BPO∠BPO 设设 OPOP 交抛物线的对称轴于交抛物线的对称轴于 A′A′点点, ,显然显然 A′(2,A′(2,－－1)1)∴∴直线直线 OPOP 的解析式为的解析式为 x21y由由, ,xx41x212得得6x, 0x21.∴P(6,.∴P(6,－－3)3) 过过 P P 作作 PE⊥xPE⊥x 轴轴, ,在在 Rt△BEPRt△BEP 中中,BE,BE＝＝2,PE2,PE＝＝3,3,∴PB∴PB＝＝≠4.≠4.13∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO∴△PBO 与与△BAO△BAO 不相似不相似, , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P P 点点. . 所以在该抛物线上不存在点所以在该抛物线上不存在点 P,P,使得使得△BOP△BOP 与与△AOB△AOB 相似相似. . EA'OABPyx图图2 2COABDyx图图1 1博士教育李老师博士教育李老师- - 六六 - -练习 1、解：（、解：（1 1）由已知可得：）由已知可得：解之得，解之得，．．333755 3042 0ababc   25 3033abc ，。