弹性力学ppt课件.ppt

第一章第一章 绪论绪论§1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容§1.2 弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念§1.3 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 §1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1. 弹性体力学：弹性体力学：简称简称弹性力学，弹性力学，有称弹性理论有称弹性理论（（Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移研究对象：弹性体研究对象：弹性体研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较对弹性力学、材料力学和结构力学作比较 弹性力学的任务和材料力学弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或并寻求或改进它们的计算方法改进它们的计算方法. (1)研究对象：研究对象： 材料力学材料力学主要研究主要研究杆件杆件在拉压、剪切、弯曲、扭在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移；转作用下的应力、形变和位移； 结构力学结构力学研究研究杆系结构杆系结构，如桁架、钢架或两者混，如桁架、钢架或两者混合的构架等；合的构架等； 弹性力学弹性力学研究研究各种形状各种形状的弹性体，除杆件外（对的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。

体、空间体，板和壳等2)研究方法研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有弹性力学与材料力学有相似，又有一一 定区别 弹性力学：弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答进行求解，得出精确解答材料力学材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格十分严格 一般地说一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论由于材料力学建立的是近似理论, 因此因此得出的是近似的解答但对于细长的杆件结构而言得出的是近似的解答但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力解答的精度是足够的材料力学力解答的精度是足够的, 符合工程的要求符合工程的要求 弹性力学弹性力学:梁的深度并不远小于梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。

分布，而是按曲线变化的例如：例如：材料力学材料力学:研究直梁在横向载荷作研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按设，结果：横截面上的正应力按直线分布直线分布这时，材料力学中给出的最大正这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差应力将具有很大的误差 结构力学：结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在杆件系统，但在20世纪世纪50年代中叶发展起来的有限年代中叶发展起来的有限单元法中单元法中(基于弹性力学的理论基于弹性力学的理论)，把连续体划分成，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果学结合综和应用的良好效果 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位许多非杆件形状的结构必须用弹性占有重要的地位许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。

例如，大坝，桥梁等力学方法进行分析例如，大坝，桥梁等 xzyo§1.2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移外力、应力、形变和位移1. 外力外力：：体积力和表面力，简称体积力和表面力，简称体力体力和和面力面力体力体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力VPfFfxfyfzf : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受体点所受体力的集度方向就是力的集度方向就是F的极限方向的极限方向fx , fy , fz：体力分量：体力分量, 沿坐标正沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负方向为正，沿坐标负方向为负量纲：量纲：N/m3=kg∙m/s2∙m3=kg/m2∙s2即：L-2MT-2 fx , fy , fz：体力分量体力分量xzyofSP面力面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力Ffyfzfx量纲：量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2即：L-1MT-2f : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受面点所受面力的集度。

方向就是力的集度方向就是F的极限方向的极限方向沿坐标正方向为正，沿坐标负方沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负符号规定符号规定: 内力内力：：发生在物体内部的力，发生在物体内部的力，即物体即物体本身不同部分之间相互作用的力本身不同部分之间相互作用的力xzyoPAτpFⅠⅡ2. 应力应力：：单位截面面积的内力单位截面面积的内力.p: 极限矢量极限矢量,即物体在截面即物体在截面mn上的、在的、在P点的应力点的应力方向就是方向就是F的极限方向的极限方向量纲：量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2 即：L-1MT-2应力分量：应力分量：， ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x, PB=y , PC=zx, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：正面：截面上的外法线截面上的外法线沿坐标轴的正方向沿坐标轴的正方向正面上的应力正面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的正方向为正正方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的负方向为负负方向为负。

负面负面：：截面上的外法线截面上的外法线沿坐标轴的负方向沿坐标轴的负方向负面上的应力负面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的负方向为正负方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的正方向为负正方向为负正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同符号规定符号规定:（不考虑位置, 把应力当作均匀应力） ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo 连接前后两面中心的直线连接前后两面中心的直线ab作为矩轴，列出力矩平作为矩轴，列出力矩平衡方程，得衡方程，得得得:同理可得同理可得:切应力互等定理：切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相大小相等等,正符号也相同正符号也相同) 可以证明可以证明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得该点就可求得该点任意截面上的任意截面上的, .因此，此六个应力分量可以完全因此，此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。

确定该点的应力状态zyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOABC ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的长度和角度来表用各部分的长度和角度来表示PA=x, PB=y , PC=z线应变：线应变：单位长度的伸缩或相单位长度的伸缩或相对伸缩对伸缩,亦称正应变亦称正应变. 用用 表示表示切应变切应变：各线段之间的直角的：各线段之间的直角的改变改变.用用 表示表示3. 形变形变：：就是形状的改变就是形状的改变 ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO x: x方向的线段方向的线段PA的线应变的线应变xy: y与与x两方向的线段两方向的线段PB与与PC之间的直角的改变之间的直角的改变 : 伸长为正，伸长为正，缩短为负缩短为负量纲：量纲：1符号规定符号规定: : 直角变小为正直角变小为正，变大为负变大为负 可以证明可以证明,已知已知x,  y,  z, yz,  zx,  xy, 就可求得经过就可求得经过该点任一线段上的线应变该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变。

因此，此六个形变意两个线段之间的角度的改变因此，此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态分量可以完全确定该点的形变状态 4. 位移位移：：就是位置的移动就是位置的移动任意一点的位移用它在任意一点的位移用它在x,y,z三轴上的投影三轴上的投影u,v,w来来表示表示.量纲：量纲：L符号规定符号规定:沿坐标轴正方向为正沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负，沿坐标轴负方向为负， 一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数的位置而变，因而都是位置坐标的函数 §1.3 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设 在弹性力学的问题里在弹性力学的问题里,通常是通常是已知已知物体的物体的边界边界(形形状和大小状和大小), 物体的物体的弹性常数弹性常数, 物体所受的物体所受的体力体力,物物体边界上的体边界上的约束情况或面力约束情况或面力, 而而应力分量应力分量、形变分、形变分量和位移分量量和位移分量则是则是需要求解的未知量需要求解的未知量.一一. 研究方法研究方法1.考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程建立三套方程。

建立微分方程：建立微分方程：根据微分体的平衡条件根据微分体的平衡条件 ；；建立几何方程：建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的根据微分线段上形变与位移之间的 几何关系；几何关系；建立物理方程：建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系根据应力与形变之间的物理关系  2.在弹性体的边界上，建立在弹性体的边界上，建立边界条件边界条件应力边界条件：应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上在给定面力的边界上，根据边界上 的微分体的平衡条件；的微分体的平衡条件；位移边界条件：位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上在给定的约束边界上，根据边界上 的约束条件的约束条件 求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量分量和位移分量 为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。

的次要因素，作出若干基本假定二二. 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定(3)均匀性均匀性 — 假定物体是均匀的假定物体是均匀的.(1)连续性连续性 — 假定物体是连续的假定物体是连续的.(4)各向同性各向同性 — 假定物体是各向同性的假定物体是各向同性的.符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.(2)完全弹性完全弹性 — 假定物体是完全弹性的假定物体是完全弹性的.形变与引起形变与引起 变的应力成正比变的应力成正比,即两者成线性关系即两者成线性关系. (5)小变形假定小变形假定 — 假定位移和形变是微小的假定位移和形变是微小的.它包含两个含义：它包含两个含义：ⅰ 假定应变分量假定应变分量 <<1.例如：普通梁中的正应变例如：普通梁中的正应变  <<10-3 << 1,切应变切应变  << 1;ⅱ 假定物体的位移假定物体的位移<<物体尺寸物体尺寸.例如：梁中例如：梁中挠挠度度 << 梁的梁的高高度度这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；在建立几何方程时，由于在建立几何方程时，由于 << 1，可以在同一方程中可以在同一方程中只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次幂，从而使几何方程成为线性方程。

幂，从而使几何方程成为线性方程 例如：对于微小转角例如：对于微小转角，对于微小正应变对于微小正应变， 这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理可以应用叠加原理 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论§2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题§2.2 平衡微分方程平衡微分方程§2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态§2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移§2.5 物理方程物理方程 §2.6 边界条件边界条件§2.7 圣维南原理圣维南原理§2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题§2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程§2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 §2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。

化为近似的平面问题一一.第一种平面问题第一种平面问题—平面应力问题平面应力问题xyozy/2/2这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体是弹性体是等厚度等厚度()的薄板，体力、面的薄板，体力、面力和约束都只有力和约束都只有xy平面的量平面的量 (fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿都不沿z向变向变化；并且面力和约束只作用于化；并且面力和约束只作用于板边，在板面板边，在板面( )上没有上没有任何面力和约束的作用任何面力和约束的作用 因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续，有续，有由切应力互等定理：由切应力互等定理：只剩下平行于只剩下平行于xy面的面的三个平面应力分量，即三个平面应力分量，即 x, y, xy= yx所以这种问题称为所以这种问题称为平面应力问题平面应力问题xyozy/2/21.设薄板的厚度为设薄板的厚度为, xy 为中面为中面,z轴垂直于轴垂直于xy面面.因为板面上因为板面上 不受力，不受力， 所以所以2.由于物体形状和外力、约束沿由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化向均不变化, 故故x, y, xy 只是只是x,y的函数的函数, x, y, xy 也只是也只是x,y的函数的函数,但位移与但位移与z有关。

有关  二二.第二种平面问题第二种平面问题—平面应变问题平面应变问题oyx这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长的柱体，体弹性体为常截面的很长的柱体，体力、面力和约束条件与平面应力问力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有题相似，只有xy平面的体力平面的体力fx , fy ；面力面力fx , fy 和约束和约束 u, v 的作用，且都的作用，且都不沿不沿z向变化 §2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程物理学三方面条件，分别建立三套方程 首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平平衡微分体方程衡微分体方程—应力分量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式zy/2/2oyxxyo从图示薄板或柱形体中，取出一个微从图示薄板或柱形体中，取出一个微小的正六面体，边长为小的正六面体，边长为dx, dy, 在在z方向方向的尺寸取为的尺寸取为1个单位尺寸个单位尺寸xyodxdy 一般而论一般而论 , 应力分量是位置坐应力分量是位置坐标标x和和y的函数的函数, 因此因此, 作用于左作用于左右两对面或上下两对面的应力右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同分量不完全相同, 有微小的差。

有微小的差oxyx略去二阶及二阶以上的微量后得：略去二阶及二阶以上的微量后得：例：设作用于左面的正应力为例：设作用于左面的正应力为x，则右面的正应力由，则右面的正应力由于于 x 坐标的改变而改变，可坐标的改变而改变，可由泰由泰勒展开得：勒展开得：若若x为常量为常量, 则则 , 左右两面都是左右两面都是x,即为均匀应力即为均匀应力泰泰勒展开式勒展开式 oxyx同理，设左面的切应力为同理，设左面的切应力为xy，则，则右面的切应力为右面的切应力为xyyyxCfxfy设上面的正应力及切应力为设上面的正应力及切应力为x, xy，则下面的正应力其切应力，则下面的正应力其切应力为为 因六面体是微小的因六面体是微小的, 所以所以, 各面的应力可认为是均各面的应力可认为是均匀分布匀分布, 作用在对应面中心作用在对应面中心. 所受体力也可认为是均所受体力也可认为是均匀分布匀分布, 作用在对应面中心作用在对应面中心 oCxyyyxxyxfxfy首先，以过中心首先，以过中心C 并平行于并平行于z轴，列出轴，列出将上式除以将上式除以dxdy, 得得令令dx,dy 趋近于零，得趋近于零，得这正是切应力互等定理。

这正是切应力互等定理 oCxyyyxxyxfxfy其次，以其次，以x轴为投影轴，列出轴为投影轴，列出将上式除以将上式除以dxdy, 得得同样，以同样，以y轴为投影轴，列出轴为投影轴，列出 可得一个可得一个相似的微分方程相似的微分方程 于是得出于是得出应力分量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式—平面问平面问题中的平衡微分方程题中的平衡微分方程 这这2个微分方程中包含个微分方程中包含3个未知函数个未知函数x, y, xy=yx ,因此，决定应力分因此，决定应力分量的问题是超静定问题，必须考虑量的问题是超静定问题，必须考虑几何方程和物理学方面的条件，才几何方程和物理学方面的条件，才能解决问题能解决问题 对于平面应变问题对于平面应变问题, 微分体一般还有作用于前后两微分体一般还有作用于前后两面的正应力面的正应力z, 但不影响上述方程的建立但不影响上述方程的建立, 上述方程对上述方程对于两种平面问题同样适用于两种平面问题同样适用 §2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态OxyyyxxyxPBAnnOxyyyxxyxyyxxxyP应力状态应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。

就是指一点处所有斜截面上的应力的集合假定已知任意点假定已知任意点P处坐标面的应力分量处坐标面的应力分量x, y, xy=yx ,求经过该点且平行于求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力轴的任意斜截面上的应力 pypxpOxyyyxxyxnPBA用用n代表斜截面代表斜截面AB的外法线方的外法线方向，其方向余弦为向，其方向余弦为设设AB=ds, 则则PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2设垂直于平面的尺寸为设垂直于平面的尺寸为1 由由 得得其中其中 fx 为为x方向得体力分量方向得体力分量将上式除以将上式除以ds, 然后命然后命ds 趋于趋于0（AB→0）得得同理由同理由 得得一一.求任意斜截面上的正应力求任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n  nnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截面得正应力为令斜截面得正应力为n, 切应切应力为力为n.由由px, py 投影得投影得可见，已知点可见，已知点P处的应力分量处的应力分量x, y, xy=yx ,就可求得经就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力过该点的任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n 。

 OxyyyxxyxyyxxxyP12121nnOxyyyxxyxPBA二二.求主应力及主应力的方位求主应力及主应力的方位—应力主向应力主向应力主面上应力主面上 = 0， = p投影得投影得代入代入得得pypxp由上两式分别解出由上两式分别解出 m / l , 得得于是，有于是，有解得解得 OxyyyxxyxyyxxxyP12121易得易得下面求主应力方向下面求主应力方向即得即得即得即得设设1与与x轴的夹角为轴的夹角为1设设2与与x轴的夹角为轴的夹角为2 OxyyyxxyxyyxxxyP12121由由得得于是有于是有就是说，就是说，1, 2 的方向互相垂直的方向互相垂直从材料力学知识我们知道从材料力学知识我们知道与应力主向成与应力主向成450的斜面上的斜面上 §2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移xyOPBAuP'A'B'同理同理PB的线应变：的线应变：PA的线应变：的线应变：一一.几何方程：几何方程：任一点的微分线段上的形变分量与任一点的微分线段上的形变分量与 位移位移 分量之间的关系式。

分量之间的关系式v设设 同理同理PB的转角：的转角：PA与与PB之间的转角：之间的转角：xyOPBAuP'A'B'vPA的转角：的转角：几何方程：几何方程：上列几何方程对两种平面问题同样适用上列几何方程对两种平面问题同样适用 二二.形变与位移之间的关系形变与位移之间的关系1. 如果物体的位移确定，则形变完全确定如果物体的位移确定，则形变完全确定从物理概念从物理概念: 当物理变形后各点的位置完全确定当物理变形后各点的位置完全确定, 任任一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定了了.从数学概念从数学概念: 当位移函数确定时，其导数也就确定了当位移函数确定时，其导数也就确定了2. 当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定从物理概念从物理概念: 在物体内形变不变的条件下在物体内形变不变的条件下, 物体还可物体还可以做刚体运动以做刚体运动—平动和转动平动和转动, 即还有刚体运动的人任即还有刚体运动的人任意性意性. 从数学概念从数学概念: 由形变分量求位移分量是一个积分的过由形变分量求位移分量是一个积分的过程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。

这些任中，要出现一个与积分变量无关的任意函数这些任意函数是未定项，意函数是未定项，这些未定项正是刚体平移和刚体转这些未定项正是刚体平移和刚体转动量若假设若假设 求出相应的位移分量求出相应的位移分量代入几何方程：代入几何方程：将前二式对将前二式对x及及y积分，得积分，得F1 及及 f2 为任意函数代入几何方程中的第三式，得为任意函数代入几何方程中的第三式，得 方程左边是方程左边是y的函数，只随的函数，只随y而变；而变；而右边是而右边是x的函数，只随的函数，只随x而变因此，只可能两边都等于同一常数因此，只可能两边都等于同一常数于是得于是得积分得积分得其中其中u0及及v0为任意常数为任意常数代入代入 得得这就是这就是“形变为零形变为零”时的位移，也就是所谓时的位移，也就是所谓“与形变与形变无关的位移无关的位移”，因此必然是，因此必然是刚体位移刚体位移下面根据平面运动的原理加以证明下面根据平面运动的原理加以证明 u0及及v0分别为物体沿分别为物体沿x轴及轴及y轴方向的刚体位移，而轴方向的刚体位移，而为物体绕为物体绕z轴得刚体转动。

轴得刚体转动 PxyxyOzyx当只有当只有u0不为零时，物体内任不为零时，物体内任一点位移分量一点位移分量 .物物体的所有各点只沿体的所有各点只沿x方向移动同方向移动同样距离样距离u0，所以所以u0代表物体沿代表物体沿x方向的刚体位移方向的刚体位移坐标为坐标为(x,y)的任一点的任一点P沿沿y方向移动方向移动x, 沿沿x负方向移动负方向移动y, 合成位移为合成位移为同样同样, v0代表物体沿代表物体沿y方向的刚体位移方向的刚体位移当只有当只有不为零时不为零时, 物体内任一点位移分量物体内任一点位移分量 PxyxyOzyx可见可见, 合成位移的方向与径向线合成位移的方向与径向线段段OP垂直垂直,也就是沿着切向也就是沿着切向. 因因OP线上所有点移动方向都沿着线上所有点移动方向都沿着切线切线, 且移动的距离为且移动的距离为, 可见可见代表物体绕代表物体绕z轴的刚体转动轴的刚体转动 既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有适当的刚体约束条件。

适当的刚体约束条件 §2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程:应力分量和形变分量之间的物理关系式应力分量和形变分量之间的物理关系式.在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡克定律：克定律：物理方程有物理方程有两种形式两种形式：：1.  = f () 此式是用应力表示应变，其中应力取为此式是用应力表示应变，其中应力取为基本未知数，用于基本未知数，用于按应力求解按应力求解2.  = f () 此式是用应变表示应力，其中应变取此式是用应变表示应力，其中应变取为基本未知数，用于为基本未知数，用于按位移求解按位移求解 胡克定律的一般形式：胡克定律的一般形式：E是弹性模量，是弹性模量，G是切变模是切变模量，又称刚度模量，量，又称刚度模量，称为称为泊松系数，或泊松比泊松系数，或泊松比一一.平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程另外：另外：因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独立故不作为独立的未知函数。

的未知函数 二二.平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程另外：另外：因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独故不作为独立的未知函数立的未知函数与平面应力问题的物理方程对比，只需将与平面应力问题的物理方程对比，只需将E 换为换为 ，  换为换为 对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数须变换外须变换外, 其他平衡方程和几何方程是完全相同的其他平衡方程和几何方程是完全相同的. 三套方程中包含三套方程中包含8个未知函数：个未知函数：x, y, xy=yx, x, y, xy及及u, v. 还需考虑边界条件还需考虑边界条件, 才能求出这些未知函数才能求出这些未知函数. §2.6 边界条件边界条件边界条件边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式它分为之间的关系式它分为位移边界条件位移边界条件、、应力边界条件应力边界条件和和混合边界条件混合边界条件。

一一.位移边界条件位移边界条件设在部分边界上给定了约束位移分量设在部分边界上给定了约束位移分量u(s)和和v(s), 则对则对于边界上的每一点，位移函数于边界上的每一点，位移函数u,v应满足条件应满足条件（在（在su上）上）其中其中(u)s和和(v)s是位移的边界值，是位移的边界值，u(s)和和v(s)在边界上在边界上是坐标的已知函数是坐标的已知函数位移边界条件位移边界条件 注意注意1.上式要求上式要求在在s上任一点位移分量必须等于对应的约上任一点位移分量必须等于对应的约束位移分量束位移分量在（在su上）上）2.上式是上式是函数方程函数方程，而不是简单的代数方程或数值，而不是简单的代数方程或数值方程位移边界条件实质上是变形连续条件在约束位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式边界上的表达式 设设n为斜截面的外法线方向，其为斜截面的外法线方向，其方向余弦方向余弦二二.应力边界条件应力边界条件设在设在s部分边界上给定了面力分量部分边界上给定了面力分量fx(s)和和fy(s), 则可则可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。

力之间的关系式 在边界上任一点在边界上任一点P取出一个微分体取出一个微分体,斜面斜面AB就是边界面就是边界面, x, y, xy为为应力分量边界值应力分量边界值oxyyyxxyxPBAfxfy1.边界为斜截面时边界为斜截面时n设设 AB=ds ， z 方向厚度为方向厚度为1 由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上的面力之间的关系：的面力之间的关系：（在（在s 上）上）其中其中 在边界上是坐标的已知函数，在边界上是坐标的已知函数，l, m 是是边界面外法线的方向余弦边界面外法线的方向余弦fx(s) 和和 fy(s),oxyyyxxyxPBAfxfyn除以除以ds， 并令并令ds→0，得得同理：同理：于是，得到于是，得到应应力边界条件力边界条件 3. 在导出应力边界条件时在导出应力边界条件时, 只考虑到面力只考虑到面力(一阶微量一阶微量), 不需考虑二阶微量不需考虑二阶微量—体力4. 应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力边界条件。

属于静力边界条件在（在s 上）上）注意注意1.应力边界条件表示边界应力边界条件表示边界s上任一点的应力和面力之上任一点的应力和面力之间的关系也是函数方程，在间的关系也是函数方程，在s上每一点都应满足上每一点都应满足2.上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上分别作用于通过边界点的不同面上 2.边界为坐标面时边界为坐标面时若若 x=a 为正为正 x 面，则有面，则有若若 x=b 为负为负 x 面，则有面，则有oxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBAfxfyb正负正负 x 面上的面力分量一般面上的面力分量一般为随为随 y 而变化的函数而变化的函数l =－1, m=0l = 1, m=0（在（在s 上）上） 3.应力边界条件的两种表达方式应力边界条件的两种表达方式(1) 在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出出（在（在s 上）上）(2) 在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。

应的面力分量 应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对值，面力分量的方向就是应力分量的方向值，面力分量的方向就是应力分量的方向 即数值相同，方向一致即数值相同，方向一致 例如：若边界面例如：若边界面 y=c, d 分别为正、负坐标面分别为正、负坐标面在斜截面上：在斜截面上：px, py 为斜截面应力为斜截面应力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyxxyxPfxcyxyyoxyyyxxyxPfxfypxpy 三三.混合边界条件混合边界条件物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如界条件，如（在（在su上）上）另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件件（在（在s 上）上）在同一边界上还可能出现混合边界条件在同一边界上还可能出现混合边界条件,即两个边界即两个边界条件中一个是位移边界条件条件中一个是位移边界条件, 另一个则是应力边界条另一个则是应力边界条件件.oxyx方向方向y方向方向x方向方向y方向方向oxy §2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但要使边界条件得到完全满足很困难。

要使边界条件得到完全满足很困难圣维南原理为圣维南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法圣维南原理：圣维南原理：如果把物体的一如果把物体的一小部分边界小部分边界上的面力上的面力, 变换为分布不同但变换为分布不同但静力等效静力等效的面力的面力(主矢量相同，对主矢量相同，对于同一点的主矩也相同于同一点的主矩也相同), 那么那么, 近处的应力分布将近处的应力分布将有明显的改变有明显的改变 , 但是远处所受的影响可以不计但是远处所受的影响可以不计 1. 圣维南原理只能应用于圣维南原理只能应用于一小部分边界上一小部分边界上，又称为，又称为局部边界局部边界，，小边界小边界或或次要边界次要边界一一. 圣维南原理应用的条件圣维南原理应用的条件 所谓所谓“近处近处”, 根据经验根据经验, 一般一般地讲大约是变换面力的地讲大约是变换面力的边界的边界的1~2倍范围内倍范围内, 此范围之外可认此范围之外可认为是为是“远处远处”如果将面力的等效变换范围应用到如果将面力的等效变换范围应用到大边界大边界(又称为又称为主要边界主要边界)上上, 则必然则必然使整个的应力状态都改变了。

因此使整个的应力状态都改变了因此, 不适用圣维南原理不适用圣维南原理FF/2F/2FFFq2.小边界的面力变换为小边界的面力变换为静力等效静力等效的面力的面力.3.经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但远处的应力几乎不受影响远处的应力几乎不受影响FF/2F/2 FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a)(b)(c)例如：例如：如将一端或两端的如将一端或两端的F变换为变换为静力等效静力等效的力的力, 如图如图(b), (c), (d).则只有虚线划出则只有虚线划出的部分应力分布有显著改的部分应力分布有显著改变变, 其余部分所受影响可其余部分所受影响可不计d)F/AF/A图图(d)所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件简单，应力很容易求解并且解答很简单而其他三种简单，应力很容易求解并且解答很简单而其他三种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，应力难以求解根据圣维南原理，应力难以求解根据圣维南原理，可将可将(d)的应力解的应力解答应用于其他三种情况答应用于其他三种情况。

 应用圣维南原理的条件是满足应用圣维南原理的条件是满足静力等效静力等效即使物体即使物体一小部分边界上的一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，仍可位移边界条件不能满足时，仍可以应用圣维南原理以应用圣维南原理F/AF/AF(e)(d)图图(e)右端是固定端，有右端是固定端，有位移边界条件位移边界条件(u)s = u = 0 和和(v)s = v = 0, 把把(d)的解答应的解答应用于这一情况时，位移用于这一情况时，位移 边界条件不能满足边界条件不能满足, 但右端但右端的面力静力等效于过形心的力的面力静力等效于过形心的力F(与左边的力与左边的力F平衡平衡), 满足圣维南原理的条件满足圣维南原理的条件, (d)的解答仍可应用于这一的解答仍可应用于这一情况时情况时, 只是在靠近两端处有显著的误差只是在靠近两端处有显著的误差, 而在较远而在较远处误差可不计处误差可不计  如果物体一小部分边界上的面力是一个如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。

会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是等效的，只在近处产生显著的应力状态是等效的，只在近处产生显著的应力例如：例如：FFFF4.圣维南原理还可以推广到下列情形圣维南原理还可以推广到下列情形 xyh/2h/2llO 在应力边界条件上应用圣维南原理在应力边界条件上应用圣维南原理, 就是就是在边界上在边界上, 将精确的应力边界条件代之以主矢相同将精确的应力边界条件代之以主矢相同, 对同一点的对同一点的主矩也相同的静力等效条件主矩也相同的静力等效条件二二.在局部边界上应用圣维南原理在局部边界上应用圣维南原理例如，厚度例如，厚度 =1 的梁，的梁，h<

分量与对应的面力分量必须处处相等 严格的边界条件要求严格的边界条件要求xyh/2h/2llOx xy fxfyxy ydyx fxfy这种严格的边界条件是很难满足的这种严格的边界条件是很难满足的 但但 h<

以代替右边各项FSFNM 将将 与与相比，可以得出：相比，可以得出：(1) 前式是精确的，而后式是近似的；前式是精确的，而后式是近似的；(2) 前式有两个条件，一般是函数方程；而后式有三前式有两个条件，一般是函数方程；而后式有三 个积分条件，是代数方程个积分条件，是代数方程3) 在求解时，前式难以满足，后式易满足在求解时，前式难以满足，后式易满足 在求解弹性力学平面问题时，常在小边界上用近似在求解弹性力学平面问题时，常在小边界上用近似的三个积分边界条件代替严格的边界条件，使问题的的三个积分边界条件代替严格的边界条件，使问题的求解大大简化求解大大简化 §2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题我们已经建立了弹性力学平面问题的基本方程和我们已经建立了弹性力学平面问题的基本方程和边界条件边界条件 求解弹性力学的平面问题，即求解：求解弹性力学的平面问题，即求解：3个应力分量个应力分量x, y, xy=yx,3个应变分量个应变分量x, y, xy及及2个位移分量个位移分量u, v的未知函数，这些函数在区域内必须满足基本方的未知函数，这些函数在区域内必须满足基本方程，在边界上必须满足边界条件。

程，在边界上必须满足边界条件 由于未知函数及应满足的方程数目较多，问题难以由于未知函数及应满足的方程数目较多，问题难以求解为此，通常采用类似代数方程中的消元法进求解为此，通常采用类似代数方程中的消元法进行求解 按应力求解按应力求解的方法，又称为的方法，又称为应力法应力法它是以x, y, xy=yx 为基本未知函数，从方程和边界条件中消为基本未知函数，从方程和边界条件中消去去u, v和和x, y, xy，导出只含导出只含x, y, xy=yx的方程的方程和相应的边界条件，并求解出和相应的边界条件，并求解出x, y, xy=yx ，再，再求出求出x, y, xy和和u,v此法类似于结构力学中的力法此法类似于结构力学中的力法按位移求解按位移求解的方法，又称为的方法，又称为位移法位移法它是以u, v为为基本未知函数，从方程和边界条件中消去基本未知函数，从方程和边界条件中消去x, y, xy=yx和和x, y, xy，导出只含导出只含u, v 的方程和相应的的方程和相应的边界条件，并求解出边界条件，并求解出u,v，再求出，再求出x, y, xy和和x, y, xy=yx。

此法类似于结构力学中的位移法此法类似于结构力学中的位移法 一一. 按位移求解平面应力问题的方程和边界条件按位移求解平面应力问题的方程和边界条件1. 取取u,v为基本未知函数为基本未知函数由几何方程由几何方程 看出，看出， x, y, xy就是用就是用u,v表示的从物理方程求出从物理方程求出x, y, xy = yx：：2. 用用u,v表示表示 x, y, xy 3. 用用u,v表示表示 x, y, xy = yx 再将几何方程代入，得到再将几何方程代入，得到用用u,v表示的表示的x, y, xy = yx4. 求解位移分量的方程求解位移分量的方程将上式代入平衡微分方程，将上式代入平衡微分方程， 得：得：这是按位移求解平面问题的基本微分方程，也就这是按位移求解平面问题的基本微分方程，也就是用位移表示的平衡微分方程是用位移表示的平衡微分方程 5. 求解位移分量的边界条件求解位移分量的边界条件将将 代入代入化简，得化简，得在S上这是用位移表示的应力边界条件。

这是按位移求解平这是用位移表示的应力边界条件这是按位移求解平面问题时所用的应力边界条件面问题时所用的应力边界条件位移边界条件仍为位移边界条件仍为在在Su上上 总结起来，总结起来，按位移求解平面应力问题时，要使得按位移求解平面应力问题时，要使得位移分量在区域内满足微分方程位移分量在区域内满足微分方程并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件在在S上上求出位移分量后，即可用求出位移分量后，即可用求得形变分量求得形变分量在在Su上上用用 求得应力分量求得应力分量 二二. 按位移求解平面应变问题的方程和边界条件按位移求解平面应变问题的方程和边界条件平面应变问题与平面应力问题相比，除物理方程不平面应变问题与平面应力问题相比，除物理方程不同外，其它方程和边界条件都相同同外，其它方程和边界条件都相同 只要将上述各方程和边界条件中的只要将上述各方程和边界条件中的E 换为换为 ，，  换为换为 ，就可以得出平面应变问题按位移求，就可以得出平面应变问题按位移求 解的方程和边界条件。

解的方程和边界条件如果已求得平面应力问题的解答，只需将如果已求得平面应力问题的解答，只需将 E,  作同作同样的转换，就可得出对应的平面应变问题的解答样的转换，就可得出对应的平面应变问题的解答在位移法中，在位移法中，是求解位移分量是求解位移分量u和和v的必须满足的条件，，这些条件的必须满足的条件，，这些条件也是校核也是校核u和和v是否正确的条件，对已求得的解答，可是否正确的条件，对已求得的解答，可以利用这些条件进行校核以利用这些条件进行校核 三三. 位移法优缺点位移法优缺点1. 优点是能适应各种边界条件问题的求解，它是弹优点是能适应各种边界条件问题的求解，它是弹性力学的一种基本解法，它在是弹性力学的各种近性力学的一种基本解法，它在是弹性力学的各种近似数值解法有着广泛的应用似数值解法有着广泛的应用2.缺点是，从较复杂的方程缺点是，从较复杂的方程在在S上上具体求解位移函数时，往往很困难，已得出的函数具体求解位移函数时，往往很困难，已得出的函数解答很少解答很少 四四.例题例题hoxyg上端固定，下端自由，受自重体上端固定，下端自由，受自重体力力 fx = 0, fy = g，试用位移法求解试用位移法求解此问题。

此问题解：为简化，设解：为简化，设 u = 0, v = v(y), 泊泊松比松比 =0, 代入代入第一式自然满足，第二式成为第一式自然满足，第二式成为由此解出由此解出 将将 代入代入oxyg上下边的边界条件分别要求上下边的边界条件分别要求hoxyg将将 代入代入得得 B = 0,得得由此得由此得再代入再代入 §2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程 按应力求解平面问题时，应力分量按应力求解平面问题时，应力分量x, y, xy取为基取为基本未知函数，其它未知函数中本未知函数，其它未知函数中x, y, xy 可以简单地可以简单地用用x, y, xy表示，即物理方程要将位移分量表示，即物理方程要将位移分量u,v用用应力分量应力分量x, y, xy表示，需将物理方程代入几何方表示，需将物理方程代入几何方程，然后通过积分运算求出位移分量程，然后通过积分运算求出位移分量u,v. 这种表达这种表达较为复杂较为复杂, 且其中包含了待定的积分项且其中包含了待定的积分项. 从而使从而使 用应力分量用应力分量x, y, xy表示十分复杂，且很难求解。

表示十分复杂，且很难求解 所以，按应力求解函数解答时，通常只求解全部为所以，按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题应力边界条件的问题s=s, su=0) 平衡微分方程中应力分量有平衡微分方程中应力分量有3个个— x, y, xy，而方程而方程只有只有2个，因此需从几何方程和物理方程中消去位个，因此需从几何方程和物理方程中消去位移分量，移分量，导出只含应力分量的补充方程导出只含应力分量的补充方程一一. 推导按应力求解平面问题的方程推导按应力求解平面问题的方程1.取取x, y, xy为基本未知函数为基本未知函数2.导出求解应力的基本方程导出求解应力的基本方程由于位移分量只在几何方程中存在，先从几何方由于位移分量只在几何方程中存在，先从几何方程中消去位移分量程中消去位移分量将将 x 对对y 的二阶导数和的二阶导数和 y 对对x 的二阶导数相加，得的二阶导数相加，得 等式右边等式右边 ，于是，得，于是，得这个关系式称为这个关系式称为形变协调方程形变协调方程或或相容方程相容方程。

从相容方程看出，连续体的形变分量从相容方程看出，连续体的形变分量x, y, xy不是相不是相互独立的，它们必须满足相容方程，才能保证位移分互独立的，它们必须满足相容方程，才能保证位移分量量u,v 的存在 从而得从而得例如：取显然不满足相容方程的形变分量例如：取显然不满足相容方程的形变分量由几何方程中的前两式，得由几何方程中的前两式，得将将 xy =Cxy 代入几何方程的第三式，得代入几何方程的第三式，得显然，式显然，式(a)和式和式(b)不能相容，互相矛盾不能相容，互相矛盾故函数故函数x, y, xy不能任意选取，必须满足相容方程不能任意选取，必须满足相容方程 现在用物理方程将相容方程中的形变分量消去，现在用物理方程将相容方程中的形变分量消去，使相容方程只包含应力分量使相容方程只包含应力分量x, y, xy对于平面应力问题对于平面应力问题将将 代入代入 ，得，得利用平衡微分方程消去利用平衡微分方程消去xy 将平衡微分方程写成将平衡微分方程写成将二式分别对将二式分别对x及及y求导求导, 然后相加然后相加, 并注意并注意xy=yx, 得得代入代入得到得到用应力表示的平面应力问题的相容方程用应力表示的平面应力问题的相容方程将将用用 代替，得代替，得平面应变问题的相容方程平面应变问题的相容方程 现在，我们得到了现在，我们得到了求解应力的基本方程求解应力的基本方程 3.应力边界条件（应力边界条件（s=s, su=0)在在s上上其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。

其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 二二.按应力求解平面问题时，应力分量按应力求解平面问题时，应力分量x, y, xy必必须满足的条件须满足的条件1.在区域在区域A内的平衡方程内的平衡方程2.在区域在区域A内的相容方程内的相容方程3.在边界上的应力边界条件在边界上的应力边界条件其中假设只求解全部为应力边界条件的问题其中假设只求解全部为应力边界条件的问题在在s上上4.对于多连体，还需考虑位移的单值条件（只有一个对于多连体，还需考虑位移的单值条件（只有一个连续边界的物体连续边界的物体—单连体）单连体）此四条件此四条件, 是求解应力、是求解应力、 校核应力是否正确的全部条件校核应力是否正确的全部条件对已有的解答，可以用这些条件进行校核对已有的解答，可以用这些条件进行校核 §2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数很多工程问题中，体力是常量，即体力分量很多工程问题中，体力是常量，即体力分量fx和和fy不不随坐标随坐标x和和y而变例如，重力、常加速度下平动的而变例如，重力、常加速度下平动的惯性力，都是常量的体力惯性力，都是常量的体力常体力下，平面应力问题和平面应变问题的相容方常体力下，平面应力问题和平面应变问题的相容方程的右边都为零程的右边都为零拉普拉斯算子拉普拉斯算子常体力情况下，常体力情况下，x+y应满足拉普拉斯方程，即调和应满足拉普拉斯方程，即调和方程。

方程x+y应当是调和函数应当是调和函数一一.常体力情况下方程的简化常体力情况下方程的简化 注意，注意，体力为常量时体力为常量时，三方程都不含弹性常数，因而，三方程都不含弹性常数，因而得出的应力分量必然与弹性常数无关由此得出：得出的应力分量必然与弹性常数无关由此得出：在在s上上1.对于不同材料对于不同材料，， x, y, xy的理论解答相同的理论解答相同；用；用试验方法求应力时，可用不同的模型材料代替试验方法求应力时，可用不同的模型材料代替2.对两种平面问题对两种平面问题，应力分量，应力分量x, y, xy的解答相同的解答相同，，即理论解可互相通用；用模型试验时，可用平面应即理论解可互相通用；用模型试验时，可用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的制作和加载大大简化制作和加载大大简化 可见，在体力为常量情况下，按应力求解应力边可见，在体力为常量情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量应满足界问题时，应力分量应满足在在s上上1.先考察平衡微分方程先考察平衡微分方程二二. 应力函数应力函数 特解可以取为特解可以取为也可取为也可取为 这是一非齐次微分方程组，它的解答是，任一这是一非齐次微分方程组，它的解答是，任一特解和齐次微分方程的通解之和。

特解和齐次微分方程的通解之和 对应的齐次微分方程为对应的齐次微分方程为现求其通解，根据偏微分方程理论，知现求其通解，根据偏微分方程理论，知若设函数若设函数 f = f (x,y), 则有则有假如函数假如函数 C 和和 D 满足满足那么，一定存在某一函数那么，一定存在某一函数 f , 使得使得将齐次微分方程改为将齐次微分方程改为根据上述微分方程的理论，一定存在某一个函数根据上述微分方程的理论，一定存在某一个函数A，，使得使得也一定存在某一个函数也一定存在某一个函数B，使得，使得 由此得由此得即即因而，有一定存在某一个函数因而，有一定存在某一个函数  (x, y)，使得使得 将将 代入代入 ；； 代入代入 ；； 代入代入 ，得，得将此通解与任一组特解叠加，即得平衡微分方程的将此通解与任一组特解叠加，即得平衡微分方程的全解：全解： 2.应力函数应力函数 应满足的条件应满足的条件 称为称为平面问题的平面问题的应力函数应力函数，又称艾里应力函数。

又称艾里应力函数但它是未知函数但它是未知函数此解答不仅满足了平衡方程，而此解答不仅满足了平衡方程，而且使平面问题的求解大为简化：从求解且使平面问题的求解大为简化：从求解3个应力未知个应力未知函数，变为求解函数，变为求解1个应力函数个应力函数 1)应力函数应力函数 应满足相容方程应满足相容方程上式所表示的应力分量应满足相容方程上式所表示的应力分量应满足相容方程将上式代入相容方程，得将上式代入相容方程，得fx, fy 为常量为常量,于是上式简化为于是上式简化为 将此式展开成为将此式展开成为这就是这就是用应力函数表示的相容方程用应力函数表示的相容方程由此可见，应力由此可见，应力函数应满足重调和方程，也就是它应是重调和函数函数应满足重调和方程，也就是它应是重调和函数此方程可表示成此方程可表示成(2)应力函数应力函数 应满足应力边界条件（应满足应力边界条件（假设全部假设全部为应力边界条件）为应力边界条件）在在s上上一般仍用此式表示一般仍用此式表示 综上所述，在常体力情况下，综上所述，在常体力情况下，按应力求解平面问按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数题，可归纳为求解一个应力函数，它必须满足，它必须满足1.在区域内的相容方程在区域内的相容方程2.在边界上的应力边界条件在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界假设全部为应力边界条件条件)3.在多连体中，还须满足位移单值条件。

在多连体中，还须满足位移单值条件在在s上上求出应力函数后，便可求出应力分量，然后再求应求出应力函数后，便可求出应力分量，然后再求应变分量和位移分量变分量和位移分量 例题例题 例例1：试列出下列问题的边界条件试列出下列问题的边界条件q1FFsMOxylh/2h/2( l >> h, =1 )qF30oOxyb/2hgyb/2( h >> b, =1 )(a)(b)解：解：对对(a)问题，在主要边界问题，在主要边界 y=±h/2，应精确满足，应精确满足下列边界条件下列边界条件 q1FFsMOxylh/2h/2( l >> h, =1 )(a)在小边界在小边界(次要边界次要边界) x=0, 应应用圣维南原理用圣维南原理, 列出三个积分列出三个积分近似边界条件近似边界条件, 当板厚当板厚=1时时, 在小边界在小边界 x=l 处，当平衡微分方程和其它各边界都处，当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核以不必校核 qF30oOxyb/2hgyb/2( h >> b, =1 )(b)对对(b)问题问题,在主要边界在主要边界 y=0, b, 应精确满足下列边界条件应精确满足下列边界条件在小边界在小边界 y=0, 列出三个积分列出三个积分近似边界条件近似边界条件, 当板厚当板厚=1时时, 注意，在列力矩条件时，两边均是对原点注意，在列力矩条件时，两边均是对原点O 的力矩的力矩来计算的。

对于来计算的对于 y=h 的小边界条件可以不必校核的小边界条件可以不必校核 FOxylh/2h/2( l >> h, =1 )A例例2：厚度：厚度=1的悬臂梁，在自由端受集中力的悬臂梁，在自由端受集中力F的作用已求得其位移的解答是已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是该问题的解答试检查此组位移是否是该问题的解答解：此组位移若为此问题的解答，则应满足下列解：此组位移若为此问题的解答，则应满足下列条件条件1. 在区域内，满足用位移表示的平衡微分方程在区域内，满足用位移表示的平衡微分方程 在在Su上上2. 在所有受面力的边界在所有受面力的边界s上上,满足应力边界条件满足应力边界条件3. 在在su满足位移边界条件满足位移边界条件其中在小边界上可以应用圣维南原理，即用三个积分其中在小边界上可以应用圣维南原理，即用三个积分的边界条件来代替的边界条件来代替本题只需校核在本题只需校核在 边界边界x=l 的刚体约束条件的刚体约束条件A点点( x=l 及及y=0 )，， 例例3：试考虑下列平面问题的应变分量是否存在，：试考虑下列平面问题的应变分量是否存在，(a) x=Axy, y=By3, xy=C－Dy3(b) x=Ay2, y=Bx2y, xy=Cxy(c) x=y=0, xy=Cxy解：解： 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件（相容方程）即（相容方程）即(a) 相相容容(b) 须满足须满足 B=0，2A=C(c) 不相容不相容 只有只有C=0， x = y= xy= 0,  例例4：在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否：在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在。

可能在弹性体中存在a) x=Ax + By, y= Cx + Dy, xy= Ex + Fy ；(b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ),, xy=Cxy解：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足弹性体中的应力，在单连体中必须满足在在s上上(a) 此组应力满足相容方程，为满足平衡微分方程，必此组应力满足相容方程，为满足平衡微分方程，必须须 A=－F, D=－E，此外，还须满足应力边界条件此外，还须满足应力边界条件 (b) 为为满足相容方程，其系数必须满足满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0为满足平衡微分方程为满足平衡微分方程,其系数必须满足其系数必须满足 A =B =－C/2上两式是矛盾的，故此组应力不存在上两式是矛盾的，故此组应力不存在b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ),, xy=Cxy例例5：若：若f (x,y) 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程程试证明函数试证明函数f , xf , yf , (x2+y2)f 都满足重调和方程，因都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数而都可以作为应力函数  使用。

使用证明：证明： 上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）调和方程）例例6：图示梁受到均布载荷的作用，试用下列应力表：图示梁受到均布载荷的作用，试用下列应力表达式求解其应力达式求解其应力qxylh/2h/2( l >> h, =1 )qlO 解：解：在在s上上本题是按应力求解，因而，应力分量必须满足本题是按应力求解，因而，应力分量必须满足将应力分量代入平衡微分方程和相容方将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足程，两者都能满足再校核边界条件，在主要边界上再校核边界条件，在主要边界上qxylh/2h/2( l >> h, =1 )qlO 将将C1,C2代入应力分量，得代入应力分量，得qxylh/2h/2( l >> h, =1 )qlO 再将应力表达式代入次要边界条件：再将应力表达式代入次要边界条件：可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足qxylh/2h/2( l >> h, =1 )qlO 例例7：材料力学中，当矩形截面梁：材料力学中，当矩形截面梁(厚度厚度=1)受任意受任意横向载荷横向载荷q(x)作用而弯曲时，弯曲正应力公式为作用而弯曲时，弯曲正应力公式为q(x)xylh/2h/2( l >> h, =1 )O1.试由平衡微分方程试由平衡微分方程(不计体力不计体力)导导出切应力出切应力xy和挤压应力和挤压应力x的公式的公式2.(提示提示:注意注意积分后得出的任意函数积分后得出的任意函数,可由梁的上下边界条件来确定可由梁的上下边界条件来确定.)解：解：不计体力不计体力, 将将 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式得得 q(x)xylh/2h/2( l >> h, =1 )O两边对两边对y积分，得积分，得再由上下边界条件再由上下边界条件 得得其中其中 将将 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式代入上式代入上式, 得得得得 q(x)xylh/2h/2( l >> h, =1 )O两边对两边对y积分，得积分，得再由上下边界条件再由上下边界条件得得由由同样得同样得代入代入得得 上述解答已满足平衡微分方程及上述解答已满足平衡微分方程及y=±h/2的边界条件的边界条件, 但一般不满足相容方程但一般不满足相容方程, 且尚未校核左右端的小边且尚未校核左右端的小边界条件。

界条件2.当当q为常数时为常数时, 试检验应力分量试检验应力分量是否满足相容方程？试在是否满足相容方程？试在x中中加一项对平衡没有影响的函数加一项对平衡没有影响的函数f (y), 再由相容方程确定再由相容方程确定f (y) , 并校核梁的左右边界条件并校核梁的左右边界条件xylh/2h/2( l >> h, =1 )Oq 若若q=常数，则常数，则xylh/2h/2( l >> h, =1 )Oq于是于是代入相容方程，代入相容方程，为满足相容方程，令为满足相容方程，令此时，此时，和和仍满足平衡微分方程，再代入相容仍满足平衡微分方程，再代入相容方程 xylh/2h/2( l >> h, =1 )Oq积分得积分得由由 x=l 次要边界条件次要边界条件得得 B=0 ；；满足得得由此得由此得经检验，在小边界经检验，在小边界 x=0,l 上剪力边界条件亦满足上剪力边界条件亦满足 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答§3.1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解答多项式解答§3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲§3.3 位移分量的求出位移分量的求出§3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷§3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 §3.1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解答多项式解答在常体力情况下，在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数为求解一个应力函数，它必须满足，它必须满足1.在区域内的相容方程在区域内的相容方程2.在边界上的应力边界条件在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界假设全部为应力边界条件条件)3.在多连体中，还须满足位移单值条件。

在多连体中，还须满足位移单值条件在在s上上求出应力函数求出应力函数 后，便可求出应力分量后，便可求出应力分量.然后再求应变分量和位移分量然后再求应变分量和位移分量 由于相容方程由于相容方程 是偏微分方程，是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解问题只能采取逆解法和半逆解法求解问题只能采取逆解法和半逆解法所谓所谓逆解法逆解法，就是，就是(1)先设定满足先设定满足 的应力函数的应力函数；； (2)根据根据 求出应力分量；求出应力分量； (3)在给定的边界形状下，根据应力在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力，即边界条件，由应力反推出相应的面力，即反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。

可反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题可解决的正是上述面力对应的问题）解决的正是上述面力对应的问题）一一.逆解法逆解法 下面用逆解法求解几个简单问题的解答假定体力下面用逆解法求解几个简单问题的解答假定体力可忽略不计可忽略不计( fx = fy = 0 )，应力函数取为多项式应力函数取为多项式1.取应力函数为一次式取应力函数为一次式  = a + bx + cy应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程由由 得应力分量得应力分量不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由应力边界条件应力边界条件 总是得出总是得出一次式一次式 = a + bx + cy对应对应无体力，无面力，无应力的无体力，无面力，无应力的状态状态把应力函数加上一个线性函数，不影响应力把应力函数加上一个线性函数，不影响应力 2.取应力函数为二次式取应力函数为二次式  = ax2 + bxy + cy2应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程现分别考察每一项所能解决的问题。

现分别考察每一项所能解决的问题对应对应  = ax2，应力分量是，应力分量是(a)2axyO2a如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由应力边界由应力边界条件可知，左右两边没有面力，上下条件可知，左右两边没有面力，上下两边有均布面力两边有均布面力2a可见，应力函数可见，应力函数  = ax2 能解决能解决矩形矩形板在板在 y 方向受均布力的问题方向受均布力的问题 b(b)bxyObb(c)2cxyO2c如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 0, xy=yx =－b, 由应力边界由应力边界条件可知，左右上下两边分别有与面条件可知，左右上下两边分别有与面相切的面力相切的面力 b 可见，应力函数可见，应力函数  = bxy 能解决能解决矩矩形板受均布剪力的问题形板受均布剪力的问题对应对应  = bxy，应力分量是应力分量是对应对应  = cy2，应力分量是，应力分量是 应力函数应力函数  = cy2 能解决能解决矩形板在矩形板在 x方向受均布力的问题方向受均布力的问题。

 = ax2 + bxy + cy2 表示表示常量的正应力和切应力常量的正应力和切应力 4.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件其中的系数必须满足一定的条件应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程对应对应  = ay3，应力分量是应力分量是Oyx对于图示矩形板和坐标轴对于图示矩形板和坐标轴当当 时，上下两边没有面力；时，上下两边没有面力；左右两边没有左右两边没有 y 方向面力方向面力,只有按直线变化的水平面力，而每一边的水平面力只有按直线变化的水平面力，而每一边的水平面力合成为一个力偶合成为一个力偶 可见，应力函数可见，应力函数  = ay3 能解决能解决矩形梁纯弯曲问题矩形梁纯弯曲问题3.取应力函数为三次式取应力函数为三次式  = ay3 Oyxh/2h/2ll>>h5.例题例题例例1：图示矩形长梁：图示矩形长梁, l>>h, 试考察应力函数试考察应力函数 能解决什么样的受力问题。

能解决什么样的受力问题解：解：按逆解法求解按逆解法求解1.将将 代入相容方程，满足相容方程代入相容方程，满足相容方程2.将将 代入代入 得应力分得应力分量量 3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力由边界形状和应力分量反推边界上的面力在主要边界在主要边界 y =± h/2 上上因此，在上下边界上无面力，即因此，在上下边界上无面力，即在次要边界在次要边界 x =0, l 上上x=0 (负负 x 面面),x=l (正正 x 面面),xyxyxFFFl 此应力函数可以解决悬臂梁在此应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力作处受集中力作用的问题用的问题 二二. 半逆解法半逆解法半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下：体步骤如下：逆解法没有针对具体问题进行求解逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相而是找出满足相容方程的应力函数容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题这来考察它们能解决什么问题这种方法可以积累弹性力学的基本解答。

种方法可以积累弹性力学的基本解答1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式；部应力分量的函数形式；2. 根据根据 由应力推出应由应力推出应力函数力函数 的形式；的形式；3.将将 代入相容方程，求出代入相容方程，求出 的具体表达式；的具体表达式； 4. 将将 代入代入 ，求出，求出对应对应的应力分量的应力分量5. 将应力代入边界条件将应力代入边界条件在在s上上考察它们是否满足全部边界条件考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须对于多连体，还须满足位移单值条件满足位移单值条件)如果所有的条件均能满足，上如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答否则，就要修改假设，重述解答就是正确的解答否则，就要修改假设，重新进行求解新进行求解 §3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲Oyxh/2h/2yMMh1xl设有矩形截面的长梁设有矩形截面的长梁(梁的长度梁的长度 l >> 深度深度h )，它的宽，它的宽度远小于深度和长度度远小于深度和长度(近似的平面应力情况近似的平面应力情况)，或远大，或远大于深度和长度于深度和长度(近似的平面应变情况近似的平面应变情况), 两端受相反的两端受相反的力偶而弯曲，体力不计。

取力偶而弯曲，体力不计取=1））相应的应力分量为相应的应力分量为矩形截面梁纯弯曲问题矩形截面梁纯弯曲问题，可借助由，可借助由逆解法逆解法得出的应力得出的应力函数函数  = ay3 显然， 满足相容方程满足相容方程 Oyxh/2h/2yMMh1xl1.考察上下两个主要边界的边界条件考察上下两个主要边界的边界条件上下边都没有面力，上下边都没有面力，要求要求此边界条件满足此边界条件满足2.考察左右端次要边界的边界条件考察左右端次要边界的边界条件左右两端没有左右两端没有 y 向的面力，分别要求向的面力，分别要求此边界条件也满足此边界条件也满足x = 0, l 为小边界，可以用圣维南原理，将关于为小边界，可以用圣维南原理，将关于x 的边的边界条件用主矢量和主矩的条件代替界条件用主矢量和主矩的条件代替这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，a 取取什么值？什么值？ h1yOxh/2h/2yMMxl将将 代入上两式代入上两式前一式总能满足，后一式要求前一式总能满足，后一式要求代入代入 得得注意到注意到得应力分量得应力分量与材力结果相同。

与材力结果相同 §3.3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位移分量求解步骤）移分量求解步骤）h1yOxh/2h/2MMl将将代入代入得形变分量得形变分量1. 将应力分量分量代入物理方程将应力分量分量代入物理方程 2. 将形变分量代入几何方程将形变分量代入几何方程, 再积分求位移再积分求位移将将 代入代入得位移分量得位移分量h1yOxh/2h/2MMl将前二式积分，得将前二式积分，得f1, f2 为待定函数，可通过第三式求出为待定函数，可通过第三式求出 将上式代入将上式代入 ，得，得移项，得移项，得等式左边是等式左边是 y 的函数，而右边是的函数，而右边是 x 的函数，因此，的函数，因此，只可能两边都等于同一常数只可能两边都等于同一常数于是有h1yOxh/2h/2MMl 积分，得积分，得代入代入得位移分量得位移分量其中常数其中常数 , u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得表示刚体位移，由约束条件求得。

h1yOxh/2h/2MMl 3. 由约束条件确定由约束条件确定常数常数 , u0, v0如图简支梁，约束条件是如图简支梁，约束条件是MMyOxlA代入代入求出求出 , u0, v0，就得到简支梁的位移分量就得到简支梁的位移分量有有梁轴的挠度方程为梁轴的挠度方程为与材料力学的结果相同与材料力学的结果相同 MMyOxl如图悬臂梁，如图悬臂梁，x=l 处，对于处，对于 h/2  y  h/2, 要求要求 u = 0, v = 0在多项式解答中这条件是无法满足的在工程实际中在多项式解答中这条件是无法满足的在工程实际中这种完全固定的约束也是不大能实现的这种完全固定的约束也是不大能实现的现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段也不转动这样，约束条件是也不转动这样，约束条件是代入代入有有 求解得求解得得出悬臂梁的位移分量得出悬臂梁的位移分量MMyOxl梁轴的挠度方程为梁轴的挠度方程为与材料力学的结果相同与材料力学的结果相同对于平面应变情况下的梁，须把对于平面应变情况下的梁，须把E换为换为 ，把，把 换为换为 。

 h1yOxh/2h/2MMl由由 可见，可见，不论约束情况如何不论约束情况如何(不论不论 , u0, v0取何值取何值)铅直线段铅直线段的转角都是的转角都是同一横截界面上同一横截界面上x是常数，因而是常数，因而是常量 xyOPBAP'A'B' 于是可见，同一截面上的各于是可见，同一截面上的各铅直线段的转角相同，说明横铅直线段的转角相同，说明横截面保持为平面截面保持为平面4. 对结果的讨论对结果的讨论 由由 可见，梁的各纵向纤可见，梁的各纵向纤维维的曲率为的曲率为这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式 §3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷设有矩形截面梁，深度为设有矩形截面梁，深度为h，长度为，长度为2l,，体力可以不，体力可以不计，受均布载荷计，受均布载荷q，由两端的反力，由两端的反力ql 维持平衡维持平衡=1 )xylh/2h/2Oqlqlql此问题用此问题用半逆解法半逆解法，步骤如下：，步骤如下：1. 假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式由材料力学知：由材料力学知：弯应力弯应力x 主要是由弯矩主要是由弯矩 M 引起的，引起的，切应力切应力xy 主要是由剪力主要是由剪力Fs引起的，引起的，挤压应力挤压应力y 主要是由直接载荷主要是由直接载荷 q 引起的。

引起的因因q不随不随x变，因而可以假设变，因而可以假设y不随不随 x 变，也就是假变，也就是假设设 y 只是只是 y 的函数：的函数：y = f (y) 3. 由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数将将 y = f (y) 代入代入对对 x 积分，得积分，得其中其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的都是待定的 y 的函数2. 推求应力函数的形式推求应力函数的形式将将 代入代入 得得有有 这是这是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的全梁的 x 都应该满足它都应该满足它), 可见它的系数和自由项都可见它的系数和自由项都必须等于零，即必须等于零，即前两个方程要求前两个方程要求这里这里 f1(y) 的常数项被略去，这是因为这一项在的常数项被略去，这是因为这一项在 的表的表达式中成为达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量的一次项，不影响应力分量第三个方程要求第三个方程要求即即其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应力分量。

力分量 将将 代入代入得应力函数得应力函数4. 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量将将 代入代入 xylh/2h/2Oqlqlql注意到注意到yz面是梁和载荷的对称面面是梁和载荷的对称面, 所以所以, 应力分布应应力分布应对称于对称于yz面这样, x, y应该是应该是 x 的偶函数的偶函数, 而而  xy 应应该是该是 x 的奇函数的奇函数E = F = G = 0于是，有于是，有 5. 考察边界条件（确定待定系数考察边界条件（确定待定系数)通常梁的跨度远大于梁的深度，通常梁的跨度远大于梁的深度，梁的上下两个边界是主要边界梁的上下两个边界是主要边界在主要边界上应力边界条件必须在主要边界上应力边界条件必须完全满足；次要边界上如果边界完全满足；次要边界上如果边界条件不能完全满足，可引用圣维条件不能完全满足，可引用圣维南原理用三个积分条件来代替南原理用三个积分条件来代替xylh/2h/2Oqlqlql先来考虑上下两个主要边界条件：先来考虑上下两个主要边界条件：将将y, xy代入主要边界条件，得代入主要边界条件，得 xylh/2h/2Oqlqlql联立求解，得联立求解，得将上述结果代入右边三式，得将上述结果代入右边三式，得 xylh/2h/2Oqlqlql现在考虑左右两边的次要边界条件；现在考虑左右两边的次要边界条件；由于问题的对称性，只需考虑其由于问题的对称性，只需考虑其中一边，如右边。

边界条件：中一边，如右边边界条件：当当 x=l 时，时，h/2  y  h/2, x=0,这是不可能满足的，除非这是不可能满足的，除非 q=H=K=0 xylh/2h/2Oqlqlql应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件将右边将右边x, xy 代入上式代入上式由前两式得：由前两式得：第三式自然满足第三式自然满足 xylh/2h/2Oqlqlql 代入并整理，得代入并整理，得各应力沿各应力沿y方向分布方向分布h/2h/2xyxy 6. 比较弹性力学和材料力学比较弹性力学和材料力学关于简支梁受均布载荷的解答关于简支梁受均布载荷的解答取梁宽取梁宽 =1 时，时，I = h3/12, S = h2/8  y2/2xylh/2h/2Oqlqlql代入右式：代入右式： xylh/2h/2Oqlqlql长度远大于深度长度远大于深度( l>>h )的长梁，的长梁，应力各项的数量级：应力各项的数量级：弯应力弯应力x 的第一项与的第一项与 同阶大小同阶大小,为主要应力为主要应力与材料力学解答相同。

第二项是材料力学没有的，是与材料力学解答相同第二项是材料力学没有的，是修正项，但只是修正项，但只是 q 级切应力切应力xy 与与 同阶大小同阶大小, 为次要应力为次要应力与材料力学解答完全相同与材料力学解答完全相同挤压应力挤压应力y 的第一项与的第一项与 q 同阶大小同阶大小,为更次要应力材为更次要应力材料力学中不考虑料力学中不考虑 xylh/2h/2Oqlqlql由此可见，由此可见，弹性力学与材料力学弹性力学与材料力学解答解答的区别，只反映在最小的的区别，只反映在最小的q量量级上，而级上，而 , ,量级的值完量级的值完全相同 因此因此, 对于长梁对于长梁( 长度长度 ：深度：深度 > 4 ), 材料力学的解材料力学的解答虽是近似的答虽是近似的, 但已足够精确但已足够精确, 符合工程上的要求符合工程上的要求7. 弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边界条件界条件(小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局部区域部区域)。

 材料力学的解方法材料力学的解方法: 在许多方面都作了近似处理，只在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解答能得到近似解答例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分的物体的物体( h  dx  b)的平衡条件，而不是微分体的平的平衡条件，而不是微分体的平衡条件；材料力学中忽略了衡条件；材料力学中忽略了y 的影响，并且在主要的影响，并且在主要边界上没有严格考虑边界条件这些都使得材料力边界上没有严格考虑边界条件这些都使得材料力学的解答成为近似解答学的解答成为近似解答 一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解的解法来求解 §3.5 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyO1g2g设有楔形体设有楔形体, 下端无限长下端无限长, 受到重力和液体压力受到重力和液体压力, 楔楔形体密度为形体密度为1, 液体密度为液体密度为2 , 试求应力分量。

试求应力分量解：解：采用半逆解法采用半逆解法1.应用量纲分析方法假设应力分量的应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式函数形式(1)因应力与因应力与1g 和和2g 成正比，而应力量纲成正比，而应力量纲（（L-1MT-2) 只比只比1g和和2g量纲量纲(L-2MT-2)高一高一次幂的长度量纲，因此，应力只能是次幂的长度量纲，因此，应力只能是1g和和2g与与x,y 的一次式相乘的一次式相乘, 1gx, 2gx, 1gy, 2gy的组合的组合, 应力只能是应力只能是x,y的纯一次式的纯一次式 2.此应力函数此应力函数 自然满足相容方程自然满足相容方程(2)由应力函数与应力分量的关系式由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次, 应是应是x,y的纯三次式因此，假设的纯三次式因此，假设3.将此应力函数将此应力函数 代入代入fx = 0, fy = 1g 4.考察边界条件考察边界条件xyO1g2g(1) x=0 时，应力边界条件：时，应力边界条件：xyO1g2g将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：解出解出 d ,c, 得得代入右式，得代入右式，得(2)右面是斜边界，它的边界线方程是右面是斜边界，它的边界线方程是斜面上无面力斜面上无面力 右面斜边界应力边界条件：右面斜边界应力边界条件：将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：由图可见由图可见xyO1g2gn将上式代入式将上式代入式(a), 解得解得 将上式代入右式，得李维解答：将上式代入右式，得李维解答：xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化: xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化:x沿沿 x 轴没有变化轴没有变化, 此结果不能由材料力学公式求得。

此结果不能由材料力学公式求得y沿沿 x 轴按直线变化轴按直线变化, 在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同xy沿沿 x 轴也按直线变化轴也按直线变化, 在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与等截面梁的切应力变化规律不同与等截面梁的切应力变化规律不同 例题例题 例例2：单位厚度的悬臂梁：单位厚度的悬臂梁, 受力如图受力如图, 体力不计体力不计, l>>h, 试用应力函数试用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量求解应力分量MyOxlFNFSh/2h/2解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入得应力分量得应力分量3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 y=±h/2上，应精确满足：上，应精确满足：满足；满足；得得 MyOxlFNFSh/2h/2在次要边界在次要边界 x=0上，应用圣维上，应用圣维南原理，用三个积分条件代南原理，用三个积分条件代替注意 x=0 为负为负 x 面面解解(a),(b), 得得次要边界次要边界 x=l上，平衡方程和上述边界条件均已满足的上，平衡方程和上述边界条件均已满足的条件下，必然满足。

条件下，必然满足 代入右式，得代入右式，得MyOxlFNFSh/2h/2 xyO1g2gb/2b/2例例3：挡水墙的密度为：挡水墙的密度为1，厚度为厚度为b，密度为密度为2，求解应力分量求解应力分量提示：可假设提示：可假设 y=x f (y)解：解：用半逆解法用半逆解法1.假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式y = x f ( y )2.推求应力函数的形式推求应力函数的形式其中其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的都是待定的 y 的函数 3. 由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数将将 代入代入 得得要使上式在任意的要使上式在任意的x处都成立，必须处都成立，必须xyO1g2gb/2b/2 4. 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量xyO1g2gb/2b/2 fx=1g, fy=0 5.考察边界条件考察边界条件xyO1g2gb/2b/2主要边界主要边界 y=±b/2 上上,应精确满足应精确满足代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得 xyO1g2gb/2b/2对任意对任意 x 此方程都成立，所以此方程都成立，所以联立联立 a, b, c, d 求解求解, 得得联立联立 e, f, 求解求解, 得得 主要边界主要边界 x=0 上上, 用三个积分条件代替：用三个积分条件代替：xyO1g2gb/2b/2将将 联联立立求解，得求解，得 将全部系数代入右式，得应力解答将全部系数代入右式，得应力解答:xyO1g2gb/2b/2 例例4: 已知已知(a) =Ay2 (a2  x2 ) + Bxy + C( x2+y2 ), (b) =Ax4 + Bx3y + Cx2y2+Dxy2+Ey4试问它们能否能成为平面应力问题的应力函数。

试问它们能否能成为平面应力问题的应力函数解：解：作为应力函数，必须满足相容方程作为应力函数，必须满足相容方程将将 代入代入(a)只有当只有当 A=0 时，时， 才能成为应力函数才能成为应力函数b)只有满足只有满足 3( A+E )+ C = 0 时，时， 才能成为应力函数才能成为应力函数 例例5: 矩形截面柱体，顶部受有集中力矩形截面柱体，顶部受有集中力F和力矩和力矩M=Fb/2的作用，试用应力函数的作用，试用应力函数 =Ax3+Bx2 求解应力及位求解应力及位移设在A点的位移和转角为零点的位移和转角为零xybbhFFb/2Ah>>b, =1解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 x=±b 上上,应精确满足应精确满足满足满足 次要边界次要边界 y=0 上上, 需满足三个积分条件需满足三个积分条件满足；xybbhFFb/2Ah>>b, =1代入代入得应力解答得应力解答 上述上述 和应力已满足相容方程和全部边界条件，因和应力已满足相容方程和全部边界条件，因而是该问题的解。

而是该问题的解 4.求应变分量求应变分量xybbhFFb/2Ah>>b, =1将应变分量代入几何方程将应变分量代入几何方程5.求位移分量求位移分量将应力分量代入物理方程将应力分量代入物理方程 xybbhFFb/2Ah>>b, =1方程方程 两边对两边对x积分，得积分，得方程方程 两边对两边对x积分，得积分，得将解出的将解出的u,v 代入代入 , 得得 xybbhFFb/2Ah>>b, =1显然，要使等式成立，等式两边只能显然，要使等式成立，等式两边只能为常数，设等式两边都等于为常数，设等式两边都等于，将解出的将解出的 f1(y), f2(x), 代入代入u, v, 得得 xybbhFFb/2Ah>>b, =1由刚体约束条件：由刚体约束条件：代入代入u, v, 得位移分量解答得位移分量解答 例例6：矩形截面柱体，顶部受有集中力：矩形截面柱体，顶部受有集中力 F和力矩和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数的作用，不计体力，试用应力函数 =Ay2+Bxy+cxy3+Dy3 求解应力分量。

求解应力分量xyb/2b/2hAh>>b, =1M45oq解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 y=±b/2 上上,应精确满足应精确满足满足满足得得 xyb/2b/2hAh>>b, =1M45oq次要边界次要边界 x=0 上上, 三个积分条件三个积分条件:联立求解联立求解 (a), (b), 得得代入右式，得应力分量代入右式，得应力分量 第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答§4.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程§4.2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程 §4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式§4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移§4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力§4.7压力隧洞压力隧洞 §4.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 对于有径向线和圆弧线围成的圆形、环形、楔形、对于有径向线和圆弧线围成的圆形、环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。

因为用极坐标表扇形等的弹性体，宜用极坐标求解因为用极坐标表示其边界非常方便，从而使边界条件的表示和方程的示其边界非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化求解得到很大的简化 在极坐标中，平面内任一点在极坐标中，平面内任一点P 的位置，用径向坐标的位置，用径向坐标及环向坐标及环向坐标 来表示，来表示， 坐标线坐标线(=常数常数)和和 坐标线坐标线(=常数常数)在不同的点有不同的方向；在不同的点有不同的方向；  坐标线是直线，坐标线是直线，  坐标线为圆弧曲坐标线为圆弧曲线，线， 坐标的量纲是坐标的量纲是L，， 坐标的量坐标的量纲为纲为1xyOP一一.用极坐标表示点的位置用极坐标表示点的位置 xyOddPABCxyOdffdPABC二二.用极坐标表示应力分量用极坐标表示应力分量取厚度为取厚度为1的薄板或长柱体的薄板或长柱体的微分体的微分体PABC, 在在xy平面内平面内, 此微分体是由两条径向此微分体是由两条径向线线(夹角为夹角为d)和环向线和环向线(距离为距离为d)所围成 : 径向正应力径向正应力 : 环向正应力或切向正应力环向正应力或切向正应力 = : 切应力切应力符号规定：符号规定：与直角坐标系同与直角坐标系同(代替代替x, 代替代替y)，即，即正正面上的应力以沿正坐标的方向为正，负面上的应力面上的应力以沿正坐标的方向为正，负面上的应力以沿负坐标的方向为正以沿负坐标的方向为正, 反之为负反之为负。

f : 径向体力；径向体力；f : 环向体力环向体力以沿正坐标的方向为正以沿正坐标的方向为正 xyOdffdPABC应力随坐标变化，如图应力随坐标变化，如图列平衡方程之前，先计算列平衡方程之前，先计算PB, AC, BC及及PA的面积的面积:SPB = d · 1, SAC = +d d · 1,SBC = SAC = d · 1微分体的体积：微分体的体积： d d ·1列出径向的平衡方程，得列出径向的平衡方程，得由于由于d微小，微小，可可把把 取为取为 把把 取为取为1三三.极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 xyOdffdPABC用用代替代替，并注意一阶微并注意一阶微量互相抵消，三阶微量可略量互相抵消，三阶微量可略去，再除以去，再除以dd，得，得列出切向的平衡方程，得列出切向的平衡方程，得 用用代替代替，进行同样简化，得进行同样简化，得xyOdffdPABC如果列出微分体的力矩方如果列出微分体的力矩方程，将得出程，将得出 ，又，又一次证明了切应力互等定一次证明了切应力互等定理。

理 = 这样，我们得到这样，我们得到极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程方程中包含方程中包含3个未知函数个未知函数 ,  ,  =  §4.2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程 : 径向线应变，径向线应变， : 环向线应变，环向线应变， : 切应变，即径向与环向两线段之间的直角的改变切应变，即径向与环向两线段之间的直角的改变在极坐标中在极坐标中u : 径向位移，径向位移，u : 环向位移环向位移xyOPdAA'BB'P'uCdxyOPdABd过任一点过任一点P(,), 分别沿正方分别沿正方向作径向和环向的微分线段，向作径向和环向的微分线段，PA=d, PB=d一一. 形变分量和位移分量之间形变分量和位移分量之间的几何关系的几何关系1. 假定只有径向位移而没有环向位移假定只有径向位移而没有环向位移径向线段径向线段PA移到移到P'A'，环向线段环向线段PB移到移到P'B'，而而P, A, B 三点的位移分别为三点的位移分别为 xyOPdAA'BB'P'uCd可见，径向线段可见，径向线段PA的线应变为的线应变为环向线段环向线段PB移到移到P'B'，过过P'点的夹角作圆弧线点的夹角作圆弧线P'C, P'B'与与P'C的夹角的夹角是微小的，因此，略去高阶微量后，是微小的，因此，略去高阶微量后，得到得到P'B'≈P'C，由此，环向线段的线应变为，由此，环向线段的线应变为此项可解释为：由于径向位移引起环向线段的伸长此项可解释为：由于径向位移引起环向线段的伸长应变。

这一项是极坐标中才有的这一项是极坐标中才有的 它表示，半径为它表示，半径为 的环向线段的环向线段PB=d，由于径向位由于径向位移移u 而移到而移到P'C时，它的半径成为时，它的半径成为(+u), 长度成为长度成为P'C=( +u )d，伸长值与原来只比，便是环向线应变伸长值与原来只比，便是环向线应变xyOPdAA'BB'P'uCd径向线段径向线段PA的转角为的转角为 =0环向线段环向线段PB的转角为的转角为可见，切应变为可见，切应变为 dxyOPdAA"BB"uDP"2. 假定只有环向位移而没有径向位移假定只有环向位移而没有径向位移径向线段径向线段PA移到移到P"A"，环向线段环向线段PB移到移到P"B"，而而P, A, B 三点的位移分别为三点的位移分别为作作 P"D //PA ，则则PA的转角为的转角为，由由于于 是微小的，故略去高阶微量是微小的，故略去高阶微量后得到后得到 P"A"≈PA，由此得出径向线由此得出径向线段段PA的线应变为的线应变为 = 0环向线段环向线段PB的线应变为的线应变为 dxyOPdAA"BB"uDP"径向线段径向线段PA的转角为的转角为环向线段环向线段PB的转角为的转角为这是因为这是因为, 变形前环向线切线垂直于变形前环向线切线垂直于OP, 而变形后的而变形后的环向线切线垂直于环向线切线垂直于OP“, 两切线间的夹角等于圆心角两切线间的夹角等于圆心角∠∠POP”, 并且这个转角使原直角扩大并且这个转角使原直角扩大, 故切应变为负。

故切应变为负这项也是极坐标中才有的这项也是极坐标中才有的可见，切应变为可见，切应变为 3. 径向和环向都有位移径向和环向都有位移 将分别得到的只有径向位移而没有环向位移的结将分别得到的只有径向位移而没有环向位移的结果果, 和只有环向位移而没有径向位移的结果叠加和只有环向位移而没有径向位移的结果叠加, 得得极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程dxyOPdAA"BB"uDP"xyOPdAA'BB'P'uCd 二二. 极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程在直角坐标中物理方程是代数方程，且其中在直角坐标中物理方程是代数方程，且其中x, y 的方的方向是正交的在极坐标中，坐标向是正交的在极坐标中，坐标 和和 的方程也是正的方程也是正交的，因此极坐标中的的物理方程与直角坐标中的交的，因此极坐标中的的物理方程与直角坐标中的物理方程具有同样的形式物理方程具有同样的形式极坐标中的平面应极坐标中的平面应力问题的物理方程力问题的物理方程极坐标中的平面应极坐标中的平面应变问题的物理方程变问题的物理方程 §4.3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程一一. 直角坐标中与极坐标变换关系直角坐标中与极坐标变换关系1.坐标变量的变换关系坐标变量的变换关系2.一阶导数的变换关系一阶导数的变换关系 设有函数设有函数(x,y)，我们可将我们可将 看成是看成是,  的函数，的函数，即即(,)；而而,  又是又是x, y 的函数。

因此，可以认为的函数因此，可以认为是通过中间变量是通过中间变量,  的关于的关于x,y 的复合函数，按照复的复合函数，按照复合函数的求导公式，得合函数的求导公式，得 其中其中,  对对x, y 的导数的导数得得一阶导数的变换公式一阶导数的变换公式将其写成算子形式将其写成算子形式 3. 二阶导数的变换关系二阶导数的变换关系 二二. 极坐标中的相容方程极坐标中的相容方程将左边两项相加，得将左边两项相加，得由直角坐标中的相容方程由直角坐标中的相容方程得得 极坐标中的相容方程极坐标中的相容方程得拉普拉斯算子变换式得拉普拉斯算子变换式即即 xyOdffdPABC三三. 用用 (, ) 表示应力分量表示应力分量 ， ， .如图，如把如图，如把x 轴和轴和y 轴分别转到轴分别转到 和和 的方向，使该微的方向，使该微分体的分体的 坐标成为坐标成为0，则，则x, y, xy 分别成为分别成为 ,  ,  (不计体力不计体力) 在极坐标系中在极坐标系中, 按按应力函数应力函数 求解时求解时,  应满足应满足(1)在区域内的在区域内的相容方程相容方程▽▽4=0；； (2)在边界上的在边界上的应力边界应力边界条件条件(假设全部为应力边界条件假设全部为应力边界条件) ；；(3)如为多连体，如为多连体，还需满足还需满足位移单值条件位移单值条件。

用用 (, ) 表示应力分量表示应力分量 ， ， . §4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式OxyyyxxxybacA在一定的应力状态下，由已知的直角坐标中的应力分在一定的应力状态下，由已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中的应力关系式，即应力分量的坐标变换式坐标系中的应力关系式，即应力分量的坐标变换式一一.已知已知x, y, xy求求 ,  ,  在弹性体中取出一个包在弹性体中取出一个包含含x面、面、y面和面和面且厚度面且厚度为为1的微小三角板的微小三角板A，，ab为为x面面, ac为为y面面, bc为为面面 设设bc=ds, 则则ab=dscos, ac=dssin由三角板由三角板A平衡条件平衡条件 ∑F= 0, 得得用用xy 代替代替yx，进行简化，得进行简化，得OxyyyxxxybacA同样，由三角板同样，由三角板A平衡条件平衡条件 ∑F= 0, 得得 OxyyxxyyxB类似地取出一个包含类似地取出一个包含x面、面、y面和面和 面且厚度为面且厚度为1的微的微小三角板小三角板B。

由三角板由三角板B平衡条件平衡条件 ∑F= 0, 得得同样，由三角板同样，由三角板B平衡条件平衡条件 ∑F= 0, 得得得到：得到：综合以上结果，得到应力分量由直角坐标向极坐标综合以上结果，得到应力分量由直角坐标向极坐标的变换式：的变换式： 已知已知x, y, xy求求 ,  ,  二二. 已已知知 ,  ,  求求x, y, xy §4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移轴对称：轴对称：指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面凡通过对称轴的任何面都是对称面 若应力是绕若应力是绕 z 轴对称的，则在任一环向线上的各轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称与点，应力分量的数值相同，方向对称与 z 轴由此可见，可见，绕绕 z 轴对称的应力，在极坐标平面内应力分轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量仅为量仅为  的函数，不随的函数，不随  而变；切应力而变；切应力  为零为零 应力函数是标量函数，在轴对称应力状态下，应力函数是标量函数，在轴对称应力状态下，它只是它只是 的函数，即的函数，即  =  (  )在此特殊情况下，应力公式在此特殊情况下，应力公式一一.轴对称应力的一般解答轴对称应力的一般解答 简化为简化为相容方程相容方程简化为简化为轴对称问题的拉普拉斯算子可以写为轴对称问题的拉普拉斯算子可以写为代入相容方程成为代入相容方程成为这是一个四阶常微分方程。

这是一个四阶常微分方程 对上式积分四次，就得到对上式积分四次，就得到轴对称应力状态下应力函数轴对称应力状态下应力函数的通解的通解其中其中A，B，C，D是待定常数是待定常数将此式代入将此式代入得得轴对称应力的一般解答轴对称应力的一般解答 二二. 与轴对称应力相对应的形变和位移与轴对称应力相对应的形变和位移对于平面应力的情况，将应力分量对于平面应力的情况，将应力分量代入物理方程代入物理方程得对应的得对应的形变分量形变分量可见，形变也是轴对称的可见，形变也是轴对称的 将形变分量的表达式代入几何方程将形变分量的表达式代入几何方程得得经积分整理得经积分整理得轴对称应力状态下对应的位移分量轴对称应力状态下对应的位移分量式中的式中的A, B, C, H, I, K都是待定系数，其都是待定系数，其中中H, I, K 代表刚体代表刚体位移分量位移分量 以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般性解答，适用于任何轴对称应力问题其中的待定般性解答，适用于任何轴对称应力问题其中的待定系数，可以通过应力边界条件和位移边界条件（在多系数，可以通过应力边界条件和位移边界条件（在多连体中还须考虑位移单值条件）来确定。

连体中还须考虑位移单值条件）来确定对于平面应变问题，只需将上述结论中的对于平面应变问题，只需将上述结论中的 E 换为换为  换为换为 一般而言，产生一般而言，产生轴对称应力状态的条件是，弹性体的轴对称应力状态的条件是，弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的如果位移边界形状和应力边界条件必须是轴对称的如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的 §4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 设有圆环或圆筒，内半径为设有圆环或圆筒，内半径为r，外半径为，外半径为R，受内压，受内压力力q1及外压力及外压力q2 显然，应力分布应是轴对称的显然，应力分布应是轴对称的应当可求出其中的任意常数应当可求出其中的任意常数 A, B, C1. 取应力分量表达式取应力分量表达式q1q2一一.圆环或圆筒受均布压力的应力解答圆环或圆筒受均布压力的应力解答 2.内外的边界条件要求内外的边界条件要求q1q2 可见，前两个条件是满足的，而可见，前两个条件是满足的，而后两个条件要求后两个条件要求 现在现在, 边界条件都已满足边界条件都已满足, 但上面但上面2个方程不能确定个方程不能确定3个常数个常数 A, B, C。

注意，我们现在讨论的是注意，我们现在讨论的是多连体多连体，所以，，所以，须考察位须考察位移单值条件移单值条件 q1q2这是上节得到的位移分量表达式这是上节得到的位移分量表达式在环向位移在环向位移 u 的表达式中，的表达式中， 项是多值的：项是多值的：例如例如  = 1 ，在在  = 1 时与时与  =1+2 时，时，环向位移相差环向位移相差 在圆环或圆筒中，这是不可能的于是在圆环或圆筒中，这是不可能的于是由位移单值由位移单值条件可见必须条件可见必须 B = 03. 位移单值条件位移单值条件 这样，如果这样，如果弹性体的形状和应力边界条件弹性体的形状和应力边界条件是轴对是轴对称的，称的，位移边界条件位移边界条件也是也是轴对称轴对称的，那么，轴对的，那么，轴对称应力的一般解答称应力的一般解答令令 B = 0 代入式代入式 求得求得 q1q2得圆筒受均布压力的得圆筒受均布压力的拉梅解答拉梅解答代入代入 整理后，整理后，二二.分别讨论内压力或外压力单独作用时的情况分别讨论内压力或外压力单独作用时的情况 q11. 只有内压力只有内压力q1作用作用显然，显然， 总是压应力，总是压应力， 总是拉应力。

总是拉应力当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时 (R→∞) ，得，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，而上列解答成为限大弹性体，而上列解答成为 当当 远大于远大于r 处，应力很小，可以不计这个实例也处，应力很小，可以不计这个实例也证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道的内压力是证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道的内压力是平衡力系平衡力系 q22. 只有外压力只有外压力q2作用作用显然，显然， ， 都总是压应力都总是压应力对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的单值条件单值条件实际是物体连续性条件的表现形式即在实际是物体连续性条件的表现形式即在连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能有位移唯一值，即应为单值有位移唯一值，即应为单值三三. 关于位移单值条件关于位移单值条件 按位移求解时按位移求解时，通常取位移分量的解答为单值，，通常取位移分量的解答为单值，然后带入几何方程，通过对为求导，得出的形变分然后带入几何方程，通过对为求导，得出的形变分量必然也是单值；再由物理方程量必然也是单值；再由物理方程(代数方程代数方程)求应力，求应力，应力必然也是单值的。

故按位移求解时，应力必然也是单值的故按位移求解时，位移单值位移单值条件通常是满足的条件通常是满足的 按应力求解时按应力求解时，先取应力解答为单值，再代入物，先取应力解答为单值，再代入物理方程理方程(代数方程代数方程)，由应力求应变必然也为单值由应力求应变必然也为单值但代入几何方程后通过积分求位移，这时，但代入几何方程后通过积分求位移，这时，在多连在多连体中常常会出现多值项因此，须校核位移单值条体中常常会出现多值项因此，须校核位移单值条件而在单连体中，通过校核边界条件等以后，位而在单连体中，通过校核边界条件等以后，位移单值条件往往已经自然满足移单值条件往往已经自然满足 所以，所以， 按应力求解时，对于多连体须校核位移的按应力求解时，对于多连体须校核位移的单值条件单值条件 §4.7 压力隧洞压力隧洞设有圆筒，埋在无限大的弹性体中，受均布压力设有圆筒，埋在无限大的弹性体中，受均布压力q，，例如，压力隧洞例如，压力隧洞OqE, E', 'rR 设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为别为E,  和和E', ' 由于两者的材料性质不同由于两者的材料性质不同, 不符合均不符合均匀性假定匀性假定, 因此因此, 不能用同一个函数表不能用同一个函数表示其解答。

这类问题称为示其解答这类问题称为接触问题接触问题, 即即两个弹性体在边界上互相接触的问题两个弹性体在边界上互相接触的问题, 必须考虑交界面上的接触条件必须考虑交界面上的接触条件 无限大弹性体，可以看作是内半径为无限大弹性体，可以看作是内半径为R而外半径为无而外半径为无限大的圆筒限大的圆筒 显然，圆筒和无限大的弹性体的应力分布都是轴对显然，圆筒和无限大的弹性体的应力分布都是轴对称的可以分别引用轴对称应力解答和位移解答可以分别引用轴对称应力解答和位移解答OqE, E', 'rR1.考虑位移单值条件考虑位移单值条件 ( B=0 )取无限大弹性体的应力表达为取无限大弹性体的应力表达为2. 考虑边界条件和接触条件来求解考虑边界条件和接触条件来求解A, C, A' ,C'.取圆筒的应力表达为取圆筒的应力表达为在圆筒内面，有边界条件在圆筒内面，有边界条件 ( )  =r =  q一一. 圆圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式筒及无限大的弹性体的应力分量表达式 在远离圆筒处，按圣维南原理，应当几在远离圆筒处，按圣维南原理，应当几乎没有应力，于是有乎没有应力，于是有OqE, E', 'rR ( ' )  →=  q ，，( ' )  → = 0.由此得由此得 2C '= 0在圆在圆筒和无限大的弹性体的接触面上筒和无限大的弹性体的接触面上 ( )  =R = ( ' )  =R 代入右式，得代入右式，得我们得到了我们得到了3个关于个关于A, C, A' ,C'.的方的方程，不能确定程，不能确定4个常数。

个常数由此得由此得 OqE, E', 'rR注意到这是个平面应变问题，且注意到这是个平面应变问题，且 B = 0写出圆筒和无限大的弹性体的写出圆筒和无限大的弹性体的将此二式简化，得将此二式简化，得3. 考虑位移考虑位移 OqE, E', 'rR在在接触面上接触面上, 圆圆筒和无限大的弹性体应筒和无限大的弹性体应有相同的位移，即有相同的位移，即 因这一方程在接触面的任意一点都应成立，也就是因这一方程在接触面的任意一点都应成立，也就是在在 取任何值是都应成立，故方程两边的自由项必须取任何值是都应成立，故方程两边的自由项必须相等（相等（cos, sin 的系数也必须相等）于是有的系数也必须相等）于是有 OqE, E', 'rR经简化经简化, 并注意到并注意到 ，得，得 2C '= 0 2C '= 0求出求出A, C, A' ,C'，代入右边表达式，得代入右边表达式，得圆圆筒及无限大的弹性体的应力分量表筒及无限大的弹性体的应力分量表达式达式 圆圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式筒及无限大的弹性体的应力分量表达式 ' 'OqE, E', 'rRn < 1 时，应力分布图时，应力分布图 由于本题是轴对称问题，因此，关于由于本题是轴对称问题，因此，关于 = r 面上且应面上且应力等于力等于 0 的边界条件、的边界条件、 = R 边界上环向应力和位移边界上环向应力和位移的接触条件都是自然满足的。

的接触条件都是自然满足的 二二. 一般的接触问题一般的接触问题 当两个弹性体当两个弹性体Ⅰ,Ⅱ变形前在某一边界变形前在某一边界s 上为互相接触，上为互相接触，变形后的接触可分为几种情形：变形后的接触可分为几种情形：1. 完全接触完全接触变形后两弹性体在变形后两弹性体在s上仍保持连续这时的接触条件上仍保持连续这时的接触条件为：在为：在s上上变形后两弹性体在变形后两弹性体在s上法向仍保持连续，而切向产生上法向仍保持连续，而切向产生有摩擦阻力的相对滑移，则在有摩擦阻力的相对滑移，则在s上的接触条件为：上的接触条件为：其中：其中：f 为摩擦因素为摩擦因素 c 为凝聚力为凝聚力2. 有摩擦阻力的滑移接触有摩擦阻力的滑移接触 3. 光滑接触光滑接触变形后在变形后在s上法向保持连续，但切向产生无摩擦阻力上法向保持连续，但切向产生无摩擦阻力的光滑移动，则在的光滑移动，则在s上的接触条件为：上的接触条件为：4. 局部脱离局部脱离变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面在此部分脱开的边界上，有了自由面在此部分脱开的边界上，有 。