一元一次方程根与系数的关系(韦达定理).doc

一元一次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程 ，如果方程有两个实数根20()axbca，那么12,x1212,bcx说明：（1）定理成立的条件 （2）注意公式重 的负号与 b 的符号的区012xa别2. 韦达定理的重要推论：推论 1：如果方程 的两个实数根是 ，那么2xpq12,x1212,xpxq推论 2：以两个实数 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是方程：12,10xx3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程 有如下重要结论20()axbca1．若两互为相反数，则 12,x2.若两根互为倒数，则 ，得到120xaac3 若有一根是 0，则 12cx，4.若有一根为 1，则 ab5. 若有一根为-1，则 0c根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若 12,x是方程 207x的两个根，试求下列各式的值：(1) 21； (2) 12x； (3) 12(5)x； (4) 12||x．：【课堂练习】1．设 x1，x 2是方程 2x2－6x＋3＝0 的两根，则 x12＋x 22的值为_________2．已知 x1，x 2是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x 2＝ ，x 1·x2＝ ，（x 1－x 2） 2＝ 3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;124．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a= ;5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m 2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;6． 设 x1,x2是方程 2x2－6x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) －1x1 1x27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2（3）定性判断字母系数的取值范围【典型例题】例 1 已知关于 x的方程 221()04kx，根据下列条件，分别求出 k的值．(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 12,x满足 12|x．例 2 已知 12,x是一元二次方程 2410kx的两个实数根．(1) 是否存在实数 ，使 1223()()x成立？若存在，求出 k的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使 12x的值为整数的实数 k的整数值．A 组1．一元二次方程 2(1)10kx有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( )A． kB． ,k且C． 2kD． 2,1k且2．若 12,x是方程 2630x的两个根，则 12x的值为( )A． B． C． D． 923．已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 x的方程 22(1)30xmx的根，则 m等于( )A． 3 B． 5 C． 3且 D．5且4．若 t是一元二次方程 2 (0)axbca的根，则判别式 24bac和完全平方式 2()Mb的关系是( )A． M B．  C． M D．大小关系不能确定5．若实数 a，且 ,满足 22850,850ab，则代数式 1ba的值为( )A． 20B． C． 且D． 2且6．如果方程 ()()()bcx的两根相等，则 ,abc之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2870x的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程 2(1)30xk的两根之差为 1，则 k的值是 _____ ．9．设 12,是方程 pxq的两实根， 2,x是关于 x的方程20xq的两实根，则 = _____ ， q= _____ ．10．已知实数 ,abc满足 26,9bca，则 = _____ ， b= _____ ， c= _____ ．11．对于二次三项式 2103x，小明得出如下结论：无论 x取什么实数，其值都不可能等于 10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若 0n，关于 x的方程 21()04mnx有两个相等的的正实数根，求m的值．13．已知关于 x的一元二次方程 2(41)20xx．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 12,，且满足 12x，求 m的值．14．已知关于 x的方程 221()04kx的两根是一个矩形两边的长．(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是 5时，求 的值．B 组1．已知关于 x的方程 2(1)(3)10kxkx有两个不相等的实数根 12,x．(1) 求 的取值范围；(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于 x的方程 230xm的两个实数根的平方和等于 11．求证：关于 x的方程 2(3)64k有实数根．3．若 12,x是关于 x的方程 22(1)0kx的两个实数根，且 12,x都大于 1．(1) 求实数 k的取值范围；(2) 若 12x，求 的值．。