平面微分系统的同宿分支及其应用.docx

平面微分系统的同宿分支及其应用(数学与应用数学专业)学生：汪久 指导老师：杜正东摘要：本文主要讨论自治微分方程组有鞍点时，所形成的同宿环的稳定性问 题，当同宿环由于右端函数发生扰动破裂以后，鞍点的稳定流形和不稳定流形之 间相互位置的关系，以及发生同宿分支时产生极限环的条件及极限环的稳定性， 归纳出一些相应的判别法则最后，我们将上述判别法则应用到了一个含参数的 三次多项式微分系统，给出了相应的判别条件关键词：鞍点，同宿轨，同宿分支，极限环 1引言考虑如下的二维系统：dx r 9—= AX+g(X) , XwR? , gwlV (1)dt其中A为2X2阶矩阵,g:R2->R2为充分光滑的函数并且g(0)=0,Dg(0)=0o这里Dg(O)表示g 在原点处的Jacobi矩阵如果A有一对符号相异的实特征根才和厂则系统⑴的奇点为 鞍点假如鞍点的稳定流形s+和不稳定流形S•重合，则这相互重合的稳定流形与不稳定 流形(详细定义见2)就形成了一条特殊的轨线，称为鞍点0的同宿环(详细定义见2) 如果对系统(1)加以扰动，鞍点0的同宿环就有可能破裂，这种现象称为同宿分支众所周知，微分方程组大量存在于描述自然现象的数学模型Z中,而口然界中各种形形 色色的分支现象乂是大虽存在的。

作为描述这一类分支现象的分支理论在自动控制、航天技 术、生态生物、生化反应等方而有着广泛的应用同宿分支是其中重要而困难的分支现象, 也是日前分支理论中成果最为丰硕的领域之一本文简单总结了同宿环的稳定性的判断依 据，及发生同宿分支时解的某些性质从中可以看出同宿分支理论还很不完善，有很多问题 亟待我们的研究，如空间系统同宿环的存在条件，从空问同宿环中分支出所谓的“周期”加 倍同猶环和极限环的解析条件等,这些问题都是非常有趣的2同宿环及其稳定性的概念在木节我们给出同宿环及其稳定性的严格定义首先我们考虑将非线性系统（1）简化由线性代数的知识，总可以通过非线性变换，把 系统（1）化为：[x = /l+x+r（x, y）\ ⑵[y = ^ y + s（x,y）显然（2）的线性化系统有两条不变流形兀=0及>=0它们由奇点0（0,0）和两条进入0的轨 线和两条离开O的轨线组成类似地，对非线性系统（2）,存在两条当fT+oo吋进入O的 不变流形，称为鞍点O的稳定流形，以及两条当/ T -oo时进入O的不变流形，成为鞍点O 的不稳定流形，它们分别在O点与系统（1）的线性化系统的两条不变直线相切见 文献[1]）定义1：（同宿环）对系统（1）,当同一个鞍点0的稳定流形扌和不稳定流形&重合的 时候，我们称这一条重合的轨线S⑴为同宿环。

显然如果P是S⑴上的一点，/（/,〃）是t=0时系统过P点的轨线，那么同宿环的特征 是：J7t+oo （p（t, p） —> 0[t -oo 0（r,p）—>微分方程定性理论的棊木任务是研究系统在相空间上的轨道的分布状况显然我们不可 能逐个单一地研究每一条轨道，事实上我们也没有必要那么做我们要研究一些特殊而重要 的轨道，并研究它们附近的轨道情况，尤其是t — g时的趋势，进而研究在它们Z间的轨 道会发牛•的情况，最终给出全局的轨道结构分布这样的结果可以很好地指导实践应用而 同宿坏就是其中一条特殊而重要的轨线因此，对同宿轨及其附近的轨道结构的研究是十分 重要的为了研究同宿轨及其附近的轨道状况，我们称一个同宿环是内侧稳定的，若它内侧临近 的轨道当时趋近于该同宿环；称一个同宿环是内侧不稳定的，若它内侧临近的轨道 当/T+O0吋远离该同宿环我们的首要任务就是要研究同猶环的内侧稳定性，为此引入如 F概念:定义2：（后继函数）设了是X = /（X）, X e R\ /eCr, r>l ⑶的一条轨线，/p 12是了的两条无切线段(即与了处处不相切的直线段),n{, n2是/[,厶的单 位方向向量了与厶，厶分别交于N、，N?两点，在厶上取定AM,,厶上取定一点M2，则 N、, 可以表示为：N、= M、+ un} N2 = M 2 + v(w)n2函数v(u)称为系统(3)的轨线了从N]到N?点的对应函数。

如果了盘旋一周以后再次与厶 相交，并且人与厶重合这时，我们称函数v = v(w)为了的后继函数要研究同宿环的稳定性，利用上面的定义构造后继函数的后继函数法是一个非常重要的方法在木文以后稳定性判别定理也是通过这样构造后继函数得到的显然有下而的引理成 立：引理1：(同宿环的内侧稳定性的判别)L表示X=f(X)的一个极限环或同宿环了是L内侧距离L充分近的一条轨线在L上任意取一点M,设过点M的无切线段/,其方向指向L 内部，厂从L上N\点、出发，经过时间T后再次与/交于TV?点设：MN{ - u MN2 - vV V当一＜1时，L是内侧稳定的；当一＞1时，L是内侧部稳定的a u在本文以后的定理中，我们将分粗情况和临界情况的同宿环來分别讨论，其定义如下: 定义3：设原点0(0,0)是f = f(X)的非退化鞍点，O有一个与它相连的同宿环S⑴^=TrW(X)dXx=o当心工0时，称为粗鞍点，S⑴成为粗鞍点同宿环；当4=0时，称S⑴为临界情况下的 同宿环3同宿环的稳定性判据要研究同宿环的各种性质，我们就必须首先保证鞍点的4条不变流形的孤立性定理1:在系统(1)中，两条稳定流形和两条不稳定流形都是孤立的，即它们是系统(1)的线性化系统不变流形中唯一的系统(1)的不变流形。

事实上，鞍点的特性就在于它具冇孤立的不变流形通过上面的定理，可以得出同宿环是可能存在的接下来我们将研究同宿环的内侧稳定 性定理2：设L表示X =f(X)的一个极限环了是L内侧距离L充分近的一条轨线因 此厂从L的一条无切线段/出发并经过时间T后再次与/相交P是厂上任意一点p(t,p)是 系统(1 )的在t=0时经过P点的解心)=怯％("))力当/(r)<0时，L是内侧稳定的;当/(r)>0时，L不是内侧稳定的这是判断同宿环内侧稳定性的一个重要判据但它要求2)工0,即研究的是在粗悄况 下的稳定性以下我们将分粗情况和临界悄况分别讨论它们的内侧稳定性其中粗情况的分析是将上 述定理的化简：1) 粗的情况:我们可以化简为:(4)定理3：设S⑴是系统X = /(X), X gR2, /eC1的与鞍点0相连的同宿环，①=dh/(X)|x=o=TrMX)dXX=()则当心<0时，S⑴是稳定的；当心>0时，S⑴是不稳定的2) 临界悄况:在这里，我们首先需要叙述一个非常重要的引理引理(二维C-Hartman定理)设O (0, 0)是系统⑷的非退化鞍点，则存在O点、邻域中的L变量替换:T:Y = h(X)使得系统乂 = 7(X)4匕为系统Y = AY .通过上面的引理，我们可以看到，系统的鞍点的不变流形可以通过一个光滑的非异变换被拉直。

冇了它，我们可以得到：定理4 设系统⑷存在与鞍点0相连的同宿环S⑴^ =]则 WE-oo则当53时，S⑴是稳定的；当5>0时，S⑴是不稳定的在木小节中，讨论了同宿环的稳定性的判据，各个定理的证明参见(Ll])o 4同宿分支这里我们考虑带参数g w R的系统f =/；)(X) + ”(X,刃 ⑸山于同宿环是山S七和S-重合形成的当同宿环破裂后，我们自然地想到O ,的稳定流形S*与不稳定流形S-的相互位置关系现在定义一个函数：= (X；(r)X；(O) (6)其中1) S：的参数方程为X；(/)；2) /?(/)=九丄(X⑴)是指过X⑴e S⑴的长度与办(X⑴)相等的外法向量；3) X=X0(r)是同宿环S⑴的参数方程;由函数(6)的定义，很显然我们得到：如果 M」O)vO,则S；在S】之外；M」0)>0,则S；在S；之内定理 5 设M^) = Mx^M22 +…，I+乍 - Jd/%(Xo ⑷)州则 M}= J(九(X⑴)PM⑴)八 力，其中 g|(X⑴) = /1(X0(r)—00若M|HO,则当充分小的时候，若则S；在S；之外；若刃>0,则S；在S；之内这里的被称为一阶Melnikov函数。

若Myo,则需要用到二阶甚至更高阶的Melnikov函数•……，其定义如下:/M2= Jc/od⑴）AgX⑴,X「（/）） dt+ J（/0（X0（r））A- 0t-JdMo（Xo（C）dgg2（xo（O,x；（Ok0 dt -0%(Xo(G)祐Mk = J(Z)(^oW)A^(Xo(O,X「(/),…,XR/)比 0 dt +-00rJ(/0(X0(r))A^(X0(r),X1+(r),...,X；_1(r)> 0 dt0若M| =M? == Ma._j =0, Mk H 0则当同充分小的时候，若於忆<0,则S；在S；之外;若於他>0,则S；在S；之内最后，我们来讨论同宿分支产生极限坏的问题.仍考虑系统（5），假设系统/（有一个稳定（不稳定）的同宿环，则/（的在S⑴内 侧邻近的轨线都是向外（向内）盘旋的根据解对参数的连续性，当同充分小的时候，/（刃 的=0时通过S⑴内侧充分靠近S⑴上点的轨线仍然是向外（向内）盘旋的这时，如果S； 在S；之外（之内），则S⑴邻域中的所有轨线都是向外（向内）盘旋的因此/（刃在S⑴ 的邻域中不存在任何极限环如果S；在S：之内（之外），则S； （S；）是向内盘旋的。

因 此，根据坏域定理，在S⑴的邻域中必至少存在一条闭轨线上而的论述初步给出了系统/（存在极限环的条件，而下而的定理更进一•步的论证了 极限坏的存在性定理6:考虑系统（5）,当 = 0时有与鞍点O相连的同宿环S⑴：X = X（）⑴-KO

那么当5（）<0（>0 ）时，对充分小的系统/（）的位于S⑴邻域中的闭轨线「（）必是稳定 的（不稳定的）因而如果「（刃存在，那么「（）必是唯一的定理9 （临界情况）设系统（6 ）当 = 0时存在与鞍点O相连的同宿环S⑴:X = x（）（r）设对充分小的％ >0 ,当同<（）时，%（）=如（）爲@）=0其中0@）是/（◎的鞍点8 = JdM；）（X（）（f））d/-则当<0 （ >0 ）, 充分小的时候，系统/（刃的位于S⑴邻域中的闭轨线厂@）必是稳定 的（不稳定的）因而，如果「（）存在，那么「（。