最新人教版27.2.1相似三角形的判定3.ppt

2727章章 相似相似27.2.1 27.2.1 相似三角形的判定〔第相似三角形的判定〔第3 3课时〕课时〕 到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你用几何语言表达的方法，请你用几何语言表达2.〔预备〕定理〔预备〕定理: 〔平行法〕〔平行法〕平行于三角形一边的直线和其他两平行于三角形一边的直线和其他两边边(或两边的延长线〕相交，所构成或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似ABCDE几何语言：几何语言：∵∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABCDE∥BC ∴△ADE∽△ABCACBEDF1.定义法定义法:如果两个三角形满足对应角相等，对应如果两个三角形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似边的比相等，那么这两个三角形相似.4.〔〔SAS〕判定定理：〕判定定理：如果两个三角形的两组对应边如果两个三角形的两组对应边的比相等的比相等,并且相应的夹角相等并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似那么这两个三角相似.CBAC′B′A′3. 〔〔SSS〕判定定理〕判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么那么这两个三角形相似。

这两个三角形相似〔一〕探究一〔一〕探究一 观察两副三角尺，其中同样角度〔观察两副三角尺，其中同样角度〔30°与与60°，或，或45°与与45°〕的两个三角尺大小可能不同，但它〕的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的们看起来是相似的3、请你证明：、请你证明：一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理〔如图〕的定理〔如图〕ABCA′B′C′∠∠A=∠∠A′，，∠∠B=∠∠B′△△ABC∽△∽△A′B′C′ ：如图在：如图在⊿⊿ABC和和⊿⊿A′B′C′中，中，∠∠A=∠∠A′，，∠∠B=∠∠B′，，求证：求证：△△ABC和和△△A′B′C′相似相似BACA′B′C′DE证明：在证明：在AB上截取上截取A′D=AB，画，画DE∥∥B′C′交交A′C′与点与点E，， 那么：那么：△△A′DE∽△∽△A′B′C′，，∠∠A′DE=∠∠B′，， ∵∠∵∠B=∠∠B′ ∴∠∴∠B=∠∠A′DE ∵∵A′D=AB，， ∠∠A=∠∠A′ ∴△∴△ABC≌△≌△A′DE ∴△∴△ABC∽△∽△A′B′C′CAA'BB'C'∵∵ ∠∠A=∠∠A'，， ∠∠B=∠∠B'∴∴ ΔABC ∽∽ ΔA'B'C'用数学符号表示：用数学符号表示：判定定理判定定理3：：如果一个三角形的如果一个三角形的两个角两个角与另一个与另一个三角形的三角形的两个角两个角对应相等对应相等，那么这两个三角形，那么这两个三角形相似。

相似可以简单说成可以简单说成：：两角分别两角分别相等相等的两个三角形的两个三角形相似相似ABCA’B’C’根底演练1以下图形中两个三角形是否相似？以下图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCA’C’B’ABCDE(1)(2)(3)(4)2、：、：ΔABC和和ΔDEF中，中， ∠∠A=40°，，∠∠B=80°，，∠∠E=80°，， ∠∠F=60 °求证：求证：ΔABC∽∽ΔDEF AFECBD例例1、如图，、如图，Rt△△ABC中，中，∠∠C=90°AB=10，，AC=8，，E是是AC上一点，上一点，AE=5，，ED⊥⊥AB,垂足为垂足为D求求AD的长解：解： ∵∵ ED⊥⊥AB∴∴ ∠∠ EDA=90 °.又又∴∴ ∠∠ C=90 °, ∠∠ A= ∠∠ A∴∴ △△AED ∽∽ △△ABC注意：注意：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，两组直角边成比例，那么这两个直角三足一个锐角相等，两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似角形相似 对于两个直角三角形，我们可以利用对于两个直角三角形，我们可以利用“HL〞判定它〞判定它们全等们全等.那么那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗角三角形相似吗?已知已知:在在Rt △△ABC和和Rt △△A′B′C′中，中， ∠∠C=90°，， ∠∠ C‘=90 °，，求证求证:Rt △△ABC∽∽Rt △△A′B′C′。

证明证明:由勾股定理，得由勾股定理，得∴∴Rt △△ABC∽∽Rt △△A'B'C'.ABCA′B′C′〔二〕探究二〔二〕探究二即：即：如果如果 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似知识要点知识要点判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四HLABC△△ABC∽△∽△A1B1C1.那么那么√A1B1C1Rt△△ABC 和和 Rt△△A1B1C1.AD⊥⊥BC于点于点D，， CE⊥⊥AB于点于点 E ，且交，且交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF根底演练根底演练根底演练根底演练2 2思思 考考 (1)如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它 们是否一定相似们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢有一对顶角对应相等呢?(2)有一个角等于有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似的两个等腰三角形是否相似? 等于等于1200呢呢?1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．BACB'A'C'：等腰：等腰△△ABC AB = AC 和等腰和等腰△△A'B'C' ，，A'B'=A'C' 且有且有∠∠B=∠∠B',求证求证:△△ABC∽△∽△A'B'C'证明证明：：∵∵等腰三角形等腰三角形 AB=AC ∴∠∴∠B=∠∠C∴△∴△ABC∽△∽△A'B'C' ∵∵等腰三角形等腰三角形 A'B'=A'C' ∴∠∴∠B'=∠∠C'∵∠∵∠B=∠∠B',∴∠∴∠C=∠∠C'课后练习课后练习课后练习课后练习2. 如图，如图，Rt△△ABC中中,CD是斜边上的高，求证：是斜边上的高，求证：〔〔1〕〕△△ACD∽△∽△ABC；；〔〔2〕〕 △△ CBD∽△∽△ABC。

证明：证明：∴∴ ∠∠ACB=∠∠ADC=90°又又∠∠ A = ∠∠ A∴∴ △△ACD∽△∽△ABC∴∴ ∠∠CDB=∠∠ACB=90°∠∠B = ∠∠B ∴∴ △△CBD∽△∽△ABC∵∵CD AB∴∴ ∠∠ADC=90 °∵∵CD AB∴∴ ∠∠CDB =90 °4.：：Rt △△ ABC中，中，CD是斜边是斜边AB的高 求证：求证： AC2=AD·ABCADB1证明证明:∵∵ ∠∠A+∠∠ACD= 90° ∠∠1+∠∠ACD= 90° ∴∴ ∠∠A= ∠∠1 ∵∵ ∠∠ACB= ∠∠ADC = 90° ∴∴ △△ABC∽△∽△ACD AC AD AB AC ∴∴ AC2=AD·AB3.如果如果Rt△△ABC的两条直角边分别为的两条直角边分别为3和和4，那，那么以么以3k和和4k〔〔k是正整数〕为直角边的直角三角是正整数〕为直角边的直角三角形一定与形一定与Rt△△ABC相似吗？为什么？相似吗？为什么？1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o根底演练根底演练根底演练根底演练3 32. 如下图：如下图： ∠∠ 1= ∠∠ 2 = ∠∠ 3 图中相似三角形有图中相似三角形有ABCDE321 3. 判断并说理判断并说理〔〔1〕顶角相等的两个等腰三角形相似。

〕顶角相等的两个等腰三角形相似 )〔〔2〕有一个角为〕有一个角为120 °的两个等腰三角形相似的两个等腰三角形相似 )〔〔3〕有一个角为〕有一个角为40°的两个等腰三角形相似的两个等腰三角形相似 (4)两个等腰三角形相似两个等腰三角形相似 ) 4. Rt △△ ABC中，中，CD是是 斜边斜边AB的高，图中相似的的高，图中相似的三角形有三角形有CADB4321△△ ∽∽ △△ ∽∽ △△ABC ACD CBD△△ AED∽△∽△ ADB∽△∽△ ABC ×√√×5.如下图：如下图：AB⊥⊥ BD、、ED⊥⊥BD、、C为为BD中点，且中点，且AC⊥⊥CE 、、ED=1、、BD=4 ,那么那么AB=( )B BE ED DA AC C122？？46. 如下图如下图:假设假设△△ABO ∽∽ △△CDO，， 那么应添加的条件为〔那么应添加的条件为〔 〕〕ABCDO7 7如图：已如图：已 知知:DE∥BC,EF∥AB,:DE∥BC,EF∥AB,那么那么图中共有〔图中共有〔 〕对三角〕对三角形相似形相似. .ABCDEF3ABCDE例例4.D、、E分别是分别是△△ABC的边的边AB,AC上的点，假设上的点，假设∠∠A=35°, ∠∠C=85°,∠∠AED=60 °求证：求证：AD·AB= AE·AC 4. 过过△△ABC(∠∠C>∠∠B)的边的边AB上一点上一点D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边AC相交，截得的小三相交，截得的小三角形与角形与△△ABC相似，这样的直线有几条？相似，这样的直线有几条？CD ●ＡＡＢＢBCADEEBCAD△△ ADE∽∽ △△ABC△△ AED∽∽ △△ABC∠∠A=∠∠A∠∠AED=∠∠C∠∠A=∠∠A∠∠AED=∠∠B作作DE，使，使∠∠AED=∠∠C作作DE，使，使∠∠AED=∠∠B这样的直线有两条：这样的直线有两条：8.如图直线如图直线BE、、DC交于交于A, AD·AC=AE·BA，，求证：求证：∠∠E=∠∠CEDBCAABCED将将△△DAE绕绕A点旋转点旋转如何证明如何证明∠∠DEA＝＝∠∠C？？EABDC C解：解： ∵∵ ∠∠ A= ∠∠ A ∠∠ABD=∠∠C ∴∴ △△ABD ∽∽ △△ACB ∴∴ AB : AC=AD : AB ∴∴ AB2 = AD · AC ∵∵ AD=2 AC=8 ∴∴ AB =43.如图，如图， ∠∠ABD=∠∠C AD=2 ，， AC=8，求，求AB ABC CDABDC CABDC C4、如图：在、如图：在Rt △△ ABC中，中， ∠∠ABC=900，，BD⊥⊥AC于于D 问〔问〔1〕图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？〕图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解：解： 图中有三个直角三角形，分别是：图中有三个直角三角形，分别是： △△ ABC、、 △△ ADB、、 △△ BDC △△ ABC ∽∽ △△ ADB ∽∽ △△ BDC 求证〔求证〔2〕〕AB2=AD · AC BD2=AD · DCABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE根本图形的形成、变化及开展过程：根本图形的形成、变化及开展过程：∽∽ 平行型平行型 斜交型斜交型. . . . . . . . . . 旋转旋转平移平移垂直型垂直型特特殊殊特特殊殊平移平移相似三角形的识别方法有那些？相似三角形的识别方法有那些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：两角对应相等：两角对应相等课课 堂堂 小小 结结方法方法2：平行于三角形一边的直线与其：平行于三角形一边的直线与其它它两边两边 相交，所相交，所得得三角形与三角形与原原三角形相似三角形相似方法方法3：三边对应比相等：三边对应比相等方法方法4：两边对应比相等且夹角相等：两边对应比相等且夹角相等方法方法6：：HL(直角三角形直角三角形)例例2 如图，弦如图，弦AB和和CD相交于相交于⊙ ⊙O内一点内一点P，，求证求证: PA·PB＝＝PC·PD证明证明：连接：连接AC、、BD．．∵∵ ∠∠A和和∠∠D都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，∴∴ ∠∠A＝＝∠∠D同理同理 ∠∠C＝＝∠∠B∴∴ △△PAC∽△∽△PDB即即 PA·PB＝＝PC·PD·ABCDOP引申１：如果弦引申１：如果弦AB和和CD相交于圆相交于圆O外一点外一点P，结论还成立吗，结论还成立吗？？引申２：上题中Ａ，Ｂ重引申２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什么合为一点时，又会有什么结论？结论？知识回忆知识回忆Knowledge Knowledge ReviewReview祝您成功！祝您成功！。