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平面几何中的几个重要定理 一．塞瓦定理 塞瓦（GCeva 1647—1743） ，意大利著名数学家 塞瓦定理 设S为ABC∆三边所在直线外一点，连接CSBSAS,,分别和ABC∆的边或三边的延长线交于RQP,,（如图 1） ，则1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理 塞瓦定理逆定理 设RQP,,为ABC∆的边或三边的延长线上的三点（RQP,,都在三边上或只有其中之一在边上） ，如果有 1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP， 则三直线CRBQAP,,交于一点或互相平行 ABCSPQRABCPQR2 图ABCSPQRBACSPQR1 图例1． 如图 3，P是ABC∆内一点，CPBPAP,,分别与边ABCABC,,交于FED,,，过FED,,三点作圆，与三边交于FED′′′,,求证：FCEBDA′′′,,交于一点 例2． 设CBA′′′,,分别为ABC∆三边ABCABC,,的中点，P为CBA′′′∆内一点，PCPBPA′′′,,分别交BAACCB′′′′′′,,于NML,,（如图 4） 求证：CNBMAL,,三线共点 例3． 以ABC∆各边为底边向外作相似的等腰三角形ABGCAFBCD,,（如图 5） 。

求 证CGBFAE,,相交于一点 ABCDM′E E′FF′3 图•B′ABCA′L′M′N′C′MNPK4 图EMNLABCFG5 图二．梅涅劳斯定理 Menelaus（公元 98 年左右） ，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著 作《球论》里 梅涅劳斯定理 设ABC∆的三边ABCABC,,或它们的延长线与一条不经过其顶点的直 线交于RQP,,三点（如图 6） ，则 1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP 梅涅劳斯定理逆定理 设RQP,,分别是ABC∆的三边ABCABC,,上或它们延长线上三点，若有 1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP， 则RQP,,三点在同一直线上 例 4．设ABC∆的∠A 的外角平分线与 BC 的延长线交于 P,∠B 的平分线与 AC 交于 Q,∠C 的平分线和 AB 交于 R.求证： RQP,,三点在同一直线上 ABCPQRSABCSPRQ6 图ABCPQR7 图例5． 图 8，过△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于 P、Q、R，求证：P、Q、R 三点共线。

注： 直线 PQR 叫做△ABC 的莱莫恩（Lemoine）线 例 6（戴沙格定理）设△ABC 和△CBA′′′对应点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于一点S，这时 如果对应边BC和CB′′、CA和AC′′、AB和BA′′（或它们的延长线）相交，则它们的交点 D、E、F 在同一直线上 注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理 例 7． （牛顿定理）设四边形ABCD的一组对边AB和CD的延长线交于点E，另一组对边 AD和BC的延长线交于点F，则AC的中点L、BD的中点M及EF的中点N， 三点共线 ABCPQR8 图ABCA′B′C′SDEF9 图三．斯特瓦尔特定理 Stewart （1753—1828） ，英国数学家、哲学家 斯特瓦尔特定理 如图，设 P 是ABC∆的边BC上一点，且PCBP:=NM :=nm:，则有 2222)(BCnmmnAPnmmACnAB+++=+ 斯特瓦尔特定理另外形式： BCCPBPAPBCACBPABCP⋅⋅+⋅=⋅+⋅222或 PCBPBCCPABBPACAP⋅−⋅+⋅=22 2当nm =时，P 为 BC 的中点，有 ()22222BPAPACAB+=+ （巴布斯定理） ()2222 41 21BCACABAP−+=（中线定理） 当 AP 是△ABC∠A 的平分线是，有 ()apbcpcbAP−+=2。

()cbap++=2 例 8． 在△ABC 中设 AB=c， AC=b， c>b， AD 是∠A 的平分线， E 为 BC 上一点， 且 BE=CD 求证：()222bcADAE−=− 例 9．设G为△ABC 的重心，M 是平面上任意一点，求证： 22222223MGGAGAGAMCMBMA+++=++ 练习练习 1．△ABC 的边 BC 上任意一点 D，设∠ADB 和∠ADC 的角平分线分别交 AB、AC 于 F 和 E，求证：AD、BE、CF 交于一点 2．已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，P 为 AD 上任意一点，直线 BP、CP 分别交 AC、 AB 于 E、F，求证：∠FDA=∠ADE 3．△ABC 中，内切圆⊙O 与各边 BC、CA、AB 相切于 D、E、F，求证：AD、BE、CF 交 于一点 4．在△ABC 中 ，，AM 为 BC 边上的中线，AD 为∠A 的平分线，顶点 B 在 AD 上的射影为 E，BE 交 AM 于 N，求证：DN∥AB 5．设△ABC 的三个旁切圆在 BC、CA、AB 上的切点分别为 D、E、F，则 AD、BE、CF 交于一点。

6．设平行四边形 ABCD 内一点 E，过 E 引 AB 的平行线与 AD、BC 交于 K、G，过 E 引 AD 的平行线与 AB，CD 交于 F、H，则 FK、BD、GH 互相平行或交于一点 7．一条直线与三角形三边或其延长线交于 L、M、N，若点NML′′′,,与 L、M、N 关于三边的中点对称，求证NML′′′,,三点共线 8．设四边形 ABCD 外切于⊙O，切点分别为HGFE,,,，则GFDBHE,,相交于一点 （或EFCAGH,,相交于一点） 9．设 D、E 为ABC∆的边BC上两点，且ECDEBD==，则 2222362ADDEACAB+=+ 10．设正三角形 ABC 边长为 a，P 为平面上任意一点，证明：2222aPCPBPA≥++ M三．托勒密定理 Ptolemy（约公元 85—165 年） ，希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟 大的数学书” 托勒密定理 设四边形 ABCD 内接于圆，则有 BDACBCADCDAB⋅=⋅+⋅ 例1． 如图，设QP,为平行四边形ABCD的边ADAB,上的两点，APQ∆的外接圆交对角线AC于R求证：ACARADAQABAP⋅=⋅+⋅。

例 2．设ABCD为圆内接正方形，P为弧DC上一点，求证： )()(PDPBPBPCPAPA+=+ 例 3如图，已知圆内接正五边形ABCDE，若P为弧AB上一点，则 PCPEPBPDPA+=++ 例 4．设21,CC为同心圆，2C的半径是1C的半径的 2 倍，四边形4321AAAA内接于圆1C，分别延长43322114,,,AAAAAAAA交圆2C于4321,,,BBBB，求证：四边形4321BBBB的周长L′不小于四边形4321AAAA的周长的 2 倍 三．西姆松定理 R．Simson（1867—1768） ，英国数学家，曾于 1756 年校订了欧几里德的《几何原本》 西姆松定理 从ABC∆的外接圆上任意一点P向ABCABC,,或它们的延长线引垂线，垂足分别为FED,,，则FED,,三点共线 过点FED,,的直线叫做ABC∆关于点P的西姆松线 西姆松定理的逆定理也成立，即： 从ABC∆的三边或它们的延长线引垂线， 垂足分别为FED,,在同一直线上， 则点在ABC∆的外接圆上 西姆松定理还可以推广为： （卡诺定理）过ABC∆的外接圆上一点P，引与三边ABCABC,,分别成同向的等角直线PFPEPD,,，与三边交点分别为FED,,，则FED,,三点共线。

例 5．设ABC∆的三条高为CFBEAD,,，过D作ACCFBEAB,,,的垂线，垂足分别为SRQP,,,，则SRQP,,,在同一直线上 例 6． （史坦纳定理）设ABC∆垂心为H，其外接圆上任意一点P，则ABC∆关于点P的 西姆松线过线段PH的中点 例 7．如图，设QP,为ABC∆外接圆上的两点，若ABC∆关于QP,的西姆松线DE和FG交于M，则PCQFME∠=∠ 四．欧拉定理 L．Euler（1707—1783） ，瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献 欧拉定理 设ABC∆的外心、重心、垂心分别为HGO,,，则HGO,,三点共线，且GHOG21= 我们称HGO,,的连线为欧拉线 例 8．如图，设NML,,为ABC∆三边的中点，求证：LMN∆的外心在ABC∆的欧拉线上 例 9．三角形三边中点、三垂线足、三顶点、和垂心所连线的中点，此九点在同一圆周上， 此圆称为九点圆，或欧拉圆九点圆的圆心在三角形的欧拉线上，即三角形的外心、重心和 九点圆的圆心在同一直线上 例 10．设4321AAAA为⊙O 的内接四边形，4321,,,HHHH依次为432AAA∆、143AAA∆、 214AAA∆、321AAA∆的垂心。

求证：4321,,,HHHH四点在同一圆上，并定出该圆圆心的位置 殴拉公式 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r，则两圆的圆心距 )2(rRRd−= 练习 1．若圆内接四边形的对角线互相垂直，则两对边乘积的和等于四边形的面积的两倍 2．已知BA,为⊙o上两点，C为弧AB的中点，P为圆上任意一点，求证： PCPBPA+或PCPBPA−为定值 3 ． 设 圆 内 接 四 边 形ABCD的 四 边aAB =，dDAcCDbBC===,,两 对 角 线fBDeAC== ,求证：bcadbdaccdabfcdabbcadbdace+++=+++=))((,))((224．设AB为⊙o的一条弦，C为弧AB的中点，过C作弦CD和CE分别交AB于GF,，求证：EFDGFGDEGEFD⋅=⋅+⋅ 5．利用西姆松定理证明托勒密定理 6．P为等边ABC∆的外接圆O上的弧BC上任意一点，P点的西姆松线为DE（D在BC上，E在CA上 ），OP与DE交于Q求证：QPOQ = 7．圆内接四边形ABCD中，90=∠D，过B作ADAC,的垂线，垂足分别为FE,求证：EF平分BD 8． 设P为ABC∆所在平面上一点， 过P向ABC∆三边作垂线， 垂足为111,,CBA， 设ABC∆的外心为O，外接圆的半径为R，dOP =。

求证：ABCCBASRdRS∆∆−=22241119．设ABC∆外接圆的半径为R，某旁切圆的半径为r，d为两圆的圆心距求证： RrRd222+= 10．设cba,,为ABC∆三边的长，R为外接圆的半径，HO,分别为ABC∆的外心、垂心求证：222229cbaROH−−−=。