2024届上海徐汇区高三一模数学试卷和答案.pdf

高中高中12023-2024 学年第一学期上海徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2023.12考生注意：1本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分.2每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知全集U R，集合2Mx x，则M _2.不等式11x的解集是_.3.已知直线:2l ykx经过点(1,1)，则直线l倾斜角的大小为_4.若实数,x y满足2xy，则22xy的最小值为_.5.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100，若该校的学生总人数为 1000，则成绩低于 60 分的学生人数为_.6.函数lg(21)lgyxx的零点是_.7.已知1021001210(1)xaa xa xa x，则57139aaaaa_.8.要排出高一某班一天上午 5 节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是_.9.在ABC中，ACBC，123,P P P,为边AB上的点，且1238428PBP BPBAB ，设(1,2,3)kkkIP B PC k，则123III=_.高中高中210.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB不超过_米11.已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，则实数的最大值为_.12.已知函数()yf x，其中12()122xxxf xa，存在实数12,nx xx使得11()()ninif xf x成立，若正整数n的最大值为 8，则实数a的取值范围是_二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 18 分，第分，第 13-14 题每题题每题 4 分，第分，第 15-16 题每题题每题 5 分）每分）每题有且只有一个正确选项题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.设12zz C、，则“12zz、中至少有一个虚数”是“12zz为虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.跳水比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分,得到 5 个有效评分.5 个有效评分与 7 个原始评分相比,一定不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差15.已知集合(,)|()Mx y y=f x，若对于任意(,)x yM，总存在与之相应的(,)xyM，（其中xx，），使得2222|xxyyxyxy，成立，则称集合M是“集合”.下列选项为“集合”的是()A1(,)|0 Mx y y=xx，B(,)|-2xMx y y=eC(,)|cos Mx y y=xD3(,)|Mx y y=x16.已知数列 na为无穷数列若存在正整数l，使得对任意的正整数n，均有n lnaa，则高中高中3称数列 na为“l阶弱减数列”有以下两个命题：数列 nb为无穷数列且cos2nnbn（n为正整数），则数列 nb是“l阶弱减数列”的充要条件是4l；数列 nc为无穷数列且11nnqcanq（n为正整数），若存在aR，使得数列 nc是“2阶弱减数列”，则11q 那么()A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题题，满分满分 78 分分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤的步骤.17.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知等差数列 na的前n项和为nS，12a，520=S.（1）求数列 na的通项公式；（2）若等比数列 nb的公比为12q，且满足449ab，求数列nnab的前n项和nT.18.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）如图，某多面体的底面ABCD为正方形，MAPB，MABC，ABPB，1MA，2ABPB.（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）求二面角BPMD的平面角的正弦值.19.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分）2023 年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图高中高中4所示，在某项运动赛事扇形场地OAB中，2AOB，500OA 米，点Q是弧AB的中点，P为线段OQ上一点（不与点O，Q重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO，PA，PB.记APQ，三条轨道的总长度为y米（1）将y表示成的函数，并写出的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO的长20.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）已知双曲线2222:10,0 xyEabab的离心率为e.（1）若2e，且双曲线E经过点(2,1)，求双曲线E的方程；（2）若2a，双曲线E的左、右焦点分别为12FF、，焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，点M在第一象限且在双曲线E上，若1MF=8，求12cosF MF的值；（3）设圆22:4O xy，,k mR.若动直线:l ykxm与圆O相切，且l与双曲线E交于AB、时，总有2AOB，求双曲线E离心率e的取值范围21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）若函数(),yf x xR的导函数(),yfx xR是以(0)T T 为周期的函数，则称函数(),yf x xR具有“T性质”.高中高中5（1）试判断函数2yx和sinyx是否具有“2性质”，并说明理由；（2）已知函数()yh x，其中2()2sin(03)h xaxbxbxb具有“性质”，求函数()yh x在0,上的极小值点；（3）若函数(),yf x xR具有“T性质”，且存在实数0M 使得对任意xR都有|()|f xM成立，求证：(),yf x xR为周期函数.（可用结论：若函数(),yf x xR的导函数满足()=0,fxxR，则()()常数f xC.）高中高中6参考答案及评分标准2023.12一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果应在答题纸的相应位置直接填写结果12,22.0,13.344.25.3006.27.5128.249.110.6 2211.212.499 4377 3，二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 18 分，第分，第 13-14 题每题题每题 4 分，第分，第 15-16 题每题题每题 5 分）每分）每题有且只有一个正确选项题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.B14.A15.D16.C三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题题，满分满分 78 分分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤的步骤.17.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）设等差数列 na的公差为d，又因为1(1)2nn nSnad，且12a，所以5101020Sd，故1d.所以1nan.（2）由（1）可知，45a，又449ab，所以44b.因为12q，可得41332bbq，所以，1122()()()nnnTababab1212()()nnaaabbb高中高中711()(1)21nnn aab6(3)2642nn n.18.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）因为MABC，MA/PB，所以PBBC，因为ABPB，ABBCB，所以PB 平面ABCD.1182 2 2333P ABCDABCDVSPB .（2）因为四边形ABCD为正方形，所以ABBC，又PBAB，PBBC.所以如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则(0 0 2)P,，(2 0 1)M,，(2 2 0)D,，(2 22)PD ,，(2 01)PM,.设平面PDM的法向量为()x y zm,，则00PDPMmm ,即222020 xyzxz,.令2z，则1x，1y.于是(11 2)m,.所以，平面PDM的一个法向量为(11 2)m,.平面PBAM的一个法向量为(0 1 0)n,，设二面角BPMD的平面角为，所以coscos66m nm nm n ,.所以，二面角BPMD的平面角的正弦值为306.19.（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）因为点Q是弧AB的中点，由对称性，知PAPB，4AOPBOP，高中高中8又APO，4OAP，500OA 由正弦定理，得sinsinsin44APOAOP，500sin250 24,sinsinAPOP所以，.500 2500sin2sincos42250 2sinsinyAPBPOPAPOP所以，因为APQAOP，所以4，13248AQOOAQ，所以5,48.（2）法一：由（1）得：2cos250 2250 2siny，5,48记2cossint，则sincos2t，由辅助角公式可得：2221sin()2sin()11tt，解 得3t，当3t 时，可 有5sin()1,6348，等号可以取得故当3时，三条轨道的总长度最小，此时2503 263OP 法二：由（1）得：2cos250 2250 2siny，5,48高中高中9记2cossint，tantan,tan2816x，则由万能置换公式可得：2222123111113332221xxxtxxxxxxx，当且仅当33x 即3时等号成立故当3，三条轨道的总长度最小，此时2503 263OP 法三：令 2sincossinf，5,48.由 21 2cos0sinf，解得3，则有433538 f000 f严格减极小值严格增所以当3，即2503 263OP 米时，f有唯一的极小值，即是最小值，则 min31f，三条轨道的最小值为250 6250 2.故当3时，三条轨道的总长度最小，此时2503 263OP 20.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）由2e，得2ca，又222cab得22ab,又双曲线E经过点(2,1)，有22211ab，。