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数学建模实例：人口预报问题数学建模实例：人口预报问题1.问题问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表型，并利用表 1 给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报用它预报 2000 年、年、2010 年美国人口年美国人口.表表 1 美国人口统计数据美国人口统计数据年（公元）年（公元）人口（百万）人口（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）年（公元）人口（百万）人口（百万）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）年（公元）人口（百万）人口（百万）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于）于 1798 年提出年提出.[1] 假设：人口增长率假设：人口增长率 r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）正比）.[2] 建立模型：建立模型： 记时刻记时刻 t=0 时人口数为时人口数为 x0, 时刻时刻 t 的人口为的人口为，由于量大，，由于量大，tx可视为连续、可微函数可视为连续、可微函数.t 到到时间内人口的增量为：时间内人口的增量为：txtttrxttxttx于是于是满足微分方程：满足微分方程：tx（（1）） 00xxrxdtdx[3] 模型求解：模型求解： 解微分方程（解微分方程（1）得）得（（2））rtextx0表明：表明：时，时，（（r>0））.ttx[4] 模型的参数估计：模型的参数估计：要用模型的结果（要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数）来预报人口，必须对其中的参数 r 进行估计，这可进行估计，这可以用表以用表 1 的数据通过拟合得到的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第拟合的具体方法见本书第 16 章或第章或第 18 章章.通过表中通过表中 1790-1980 的数据拟合得：的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：模型检验：将将 x0=3.9，，r=0.307 代入公式（代入公式（2）） ，求出用指数增长模型预测的，求出用指数增长模型预测的 1810-1920的人口数，见表的人口数，见表 2.表表 2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较指数增长模型指数增长模型年年实际人口实际人口（百万）（百万）预测人口（百万）预测人口（百万）误差（误差（%））17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3从表从表 2 可看出，可看出，1810-1870 间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但 1880年以后的误差越来越大年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个下面的模型是在修改的模型中著名的一个. 3. 阻滞增长模型（阻滞增长模型（Logistic 模型）模型）[1]假设：假设：（（a）人口增长率）人口增长率 r 为人口为人口的函数的函数（减函数）（减函数） ，最简单假定，最简单假定tx xr（线性函数）（线性函数） ，，r 叫做固有增长率叫做固有增长率. 0, ,srsxrxr（（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.mx[2]建立模型：建立模型：当当时，增长率应为时，增长率应为 0，即，即=0，于是，于是，代入，代入mxx  mxr mxrs 得：得： sxrxr（（3））    mxxrxr1将（将（3）式代入（）式代入（1）得：）得：模型为：模型为：     001xxxxxrdtdxm（（4）） [3] 模型的求解：模型的求解： 解方程组（解方程组（4）得）得 （（5））rtmmexxxtx    110根据方程（根据方程（4）作出）作出 曲线图，见图曲线图，见图 1-1，由该图可看出人口增长率随，由该图可看出人口增长率随xdtdx~人口数的变化规律人口数的变化规律.根据结果（根据结果（5）作出）作出 x~t 曲线，见图曲线，见图 1-2，由该图可看出人口，由该图可看出人口数随时间的变化规律数随时间的变化规律. [4] 模型的参数估计：模型的参数估计：利用表利用表 1 中中 1790-1980 的数据对的数据对 r 和和 xm拟合得：拟合得：r=0.2072, xm=464.[5] 模型检验：模型检验：将将 r=0.2072, xm=464 代入公式（代入公式（5）） ，求出用指数增长模型预测的，求出用指数增长模型预测的 1800-1990 的人口数，见表的人口数，见表 3 第第 3、、4 列列.也可将方程（也可将方程（4）离散化，得）离散化，得t=0,1,2,… (6))())(1 ()()() 1(txxtxrtxxtxtxm用公式（用公式（6）预测）预测 1800-1990 的人口数，结果见表的人口数，结果见表 3 第第 5、、6 列列.表表 3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较阻滞增长模型阻滞增长模型年年实际人实际人口口公式（公式（5））公式（公式（6））oxmx2mxdtdx图 1-1 曲线图 xdtdx~xmx20x0xto图 1-2 x~t 曲线 图（百万）（百万）预测人口预测人口（百万）（百万）误差（误差（%））预测人口预测人口（百万）（百万）误差（误差（%））17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.2614 0.0085 6.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.9687 0.383143.53290.1328189062.938.09860.394356.1884 0.1067190076.046.86990.383370.1459。