&amp#167;33多项式的对称性.docx

§3.3 多项式的对称性定义3.1 设fW X2…T是一个几元多项式，"是(x x .…12Ji上的一个置换，将f("1 X2 ••…Xn )作置换a后，所得的多项式记为a ( f W x2••…x ))若an i( f(x1 x2 xn))= f (x x12 xn) 即 a 不改 变 f (x1 x 2 xn) 即 称 a 是f(x x ...12-"n )的一个对称变换定义 3.2f(x x 12Xn )的全体对称变换对于置换的合成构成了一个群称为f W X2 .•…T的对称群例如：f W X2 Si牛+ 3 — %3的对称群为 f W X2 3)= Xl+ 3 — %3 的对称群为'，©)} f W X2 X3 )= X! + 3 + X3 的对称群为 S3例 3.3：(1)试求f W x2 x3 x4)=2xi+ 2x2 -2x3 — 2x4的对称群b, (12)(34)(12)34)}定义3.4 若任意几元置换却不改变f (X1 X2 ••…Xn )，也就是说f (Xi %2 .•…Xn )的对换群为Sn就称f (X1 X2 .•…""I为几元的对称 多项式例：—x2)2,x2+xx +x 2,x2+x 2+x2+x 21 1 2 2 1 2 3 4验证x1 x2 + x2 x3 + x3 x1是三元多项式解：设 S3 的元素为巴=1，Q2 =⑹Q3 =⑴Q4 = ^3)Q5 = "23)Q6 = %af ("1，X 2, X3 )就是三元的对称多项式。

例：求列三元多项式的对称群，并指出它是否是对称多项式：(1 ) f (x , x , x ) = (x - x )(x - x )(x - x )；1 2 3 1 2 1 3 2 3(2) g(x ,x ,x ) =(x -x )2(x -x )2(x -x )21 2 3 1 2 1 3 2 3解：(1)(x2 -x])(x3 -x])(x3 -x2)不是",(123),(132)｝,(x -x )2(x -x )2(x -x )2是S =b,(123),(132),(23),(13),(12)｝2 1 3 1 3 2 3分析：用訂中6个元素逐一比对变换多项式，可得到/，g的对称群分 别为af =b,(123),(132)｝，ag = S 3，以f W，x2, x3)不是三元对称多项式， g q, x2, x3)是三元对称多项式。