新编北师大版高三数学理复习学案：学案45 空间向量及其运算含答案.doc

学案45　空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________．推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝___________________或＝(1－t)＋t.(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O有，＝__________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝____________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________，__________，________________，a⊥b⇔________⇔_________________________________ (a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝_____________________________________________________________，cos〈a，b〉＝＝_________________________________________________________ .若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则||＝__________________________________________________________________.自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　)A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝2．(20xx·青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋c D．－a－b＋c3．(20xx·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则||＝________.4．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．45．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．探究点一　空间基向量的应用例1　已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1　如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二　利用向量法判断平行或垂直例2　(20xx·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2　如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三　利用向量法解探索性问题例3　(20xx·泉州月考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3　已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中假命题的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．42.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM(　　)A．既垂直于AC，又垂直于MNB．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC、MN都不垂直3．(20xx·绍兴月考)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)A．45° B．60°C．90° D．120°4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a等于(　　)A．16 B．4 C．2 D．85．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为(　　)A. B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题4分，共12分)6.(20xx·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.7．(20xx·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；　　②(＋)－；③(－)－2；　　④(＋)＋.其中能够化简为向量的是________．(填所有正确的序号)8．(20xx·丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10．(12分)(20xx·福建)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11．(14分)(20xx·汕头月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．学案45　空间向量及其运算自主梳理1．(1)大小　方向　(2)相同　相等　(3)存在实数λ，使得a＝λb　＋t　(4)＋x＋y　1　2.xa＋yb＋zc　3.(1)①∠AOB　〈a，b〉　0≤〈a，b〉≤π　互相垂直　②|a||b|cos〈a，b〉　a·b　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①λ(a·b)　②b·a　③a·b＋a·c　4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3　(2)a＝λb　a1＝λb1　a2＝λb2　a3＝λb3 (λ∈R)　a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(3)　自我检测1．C　[∵a∥b，∴＝＝，∴x＝，y＝－.]2．A　[＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.]3.解析　∵＝＋＋＝＋＋，∴||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴||＝.4．B　[①正确．②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确。