向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广资料.docx

精品文档向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图 1如图 1，已知 P 为 DABC 内一点，则PA × SDBPC+ PB × SDAPC+ PC × SDAPB= 0 奔驰定理证明：若 PA' + PB' + PC ' = 0 ，则 P为DA' B'C '重心 ，不妨设 xPA = PA' , yPB = PB ' , zPC = PC '0=\ x P A× + y P B+ z P C (1)SPBC1                    1 | PB' | | PC ' | S xS=  | PB | × | PC | sin ÐBPC =       ×     sin ÐB' PC ' =  PB'C ' = PB C'  '2                    2  y     z               yz     xyzPAC  =  ySPAB  =  zS同理可得 SPA'C'xyz， SPA'B'xyz又 S= S= S' 'P B CP 'A 'C'P A B\ x : y : z= SP B C: S: SP A C      P B C)\ ( 1式可化为 P A × SDB P C+ P B× SD A P C× 0+ P C S =  奔驰定理得证D A P B最简单的一个就是面积法。

用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位精品文档精品文档向量的关系，将它们放入单位圆中图 2、如图 2，已知 P为单位圆，A，B，C在圆上， AP 、BP CP 所对的角分别为 a ，b，g 则AP sin a + BP sin b + CP sin g = 0 真奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真奔驰定理】 奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了于是整个定理就得到了证明二、奔驰定理在向量中应用精品文档精品文档例 1、若 ABC 内接于以 O 为圆心，以 1 为半径的圆，且 3OA + 4OB + 5OC = 0 ,则该 ABC 的面积为 答案： 56答案解析：由奔驰定理得：设Sx x= 3 ， S = 4 ， S = 5 xDO B C D O A C D   O A B【例 2、 2016 年清华领军】若O为DABC内一点，满足 SDAOB: SDBOC: SDCOA= 4 : 3: 2，设 AO = l AB + m AC ，则 l+m=答案： 23精品文档精品文档3 4例 3、P为 ABC内部一点，且满足|PB|=2，|PA|=2，ÐAPB = 5p ，且 2 AP + PB +PC =0 ，则 ABC6的面积为（ ）A、        B、         C、1       D、9 4 68 3 5答案： 98三、奔驰定理推广推广 1、如果 P 不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。

因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号在三角函数定义时，三角函数线是有向线段，x 轴上方为正，下方为负图 3如图 3，已知 P 为平面内一点，则精品文档精品文档PA × SDBPC+ PB × SDAPC+ PC × SDAPB= 0    EX奔驰定理这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX奔驰定理】 那么最后我们对它做进一步推广，大家可以来思考一下推广 2、【EX奔驰定理 -A】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？推广 3、【EX奔驰定理 -B】将三角形改为棱锥，P 为顶点，结论是否依旧成立？若不成立，需要如何修改？精品文档。