复旦大学高等数学《一元函数积分学》练习题.pdf

一元函数积分学练习题一元函数积分学练习题 §§1 1 定积分的概念、性质和微积分基本定理定积分的概念、性质和微积分基本定理 1. 试用定积分表示下列各个极限： （1） nknkn13 41lim； （2） nknknnk n1221lim； （3） nknknk n1221lim； （4）n nnnnn)2()2)(1(1lim  2. 证明下列不等式： （1） 21036121dx xdx； （2）116 2512dxx 3．计算下列导数： （1）xdttdxd2tan021； （2）)1ln(2)1ln(xxdttdxd 4. 求下列极限： （1） 0lim x)1ln(sin202xxtdtx； （2） 0lim xxxdtextsin) 1(22sin02 5. 计算下列定积分： （1）4 02sin xdx； （2）2 0sin1cos dxxx； （3） 1021xxdx； （4）edxx 1)ln1 (。

6. 证明方程 xdtt 04100cos2xtdte 有且只有一个实根 7. 设函数f在 aa,1上非负连续)0( a，且 aadxxxf10)(，证明： aaaadxxfdxxfx112)()( 8. 设 f 在), 0[上连续递增，证明：对于任意给定的0 ab，成立 abbadxxfadxxfbdxxxf 00)()(21)( 9. 设函数 f 在],[ba上连续，且0)(xf证明：2)()()(abxfdxdxxfbaba 10．设函数 f 在],[ba上导数连续，且0)()(bfaf证明： )(max)()(42xfdxxfabbxaba 11．设函数 f 在] 1, 0[上导数连续，且0) 1 ()0( ff证明 102102)]([41)(dxxfdxxf 12．设函数 f 在] 1, 0[上连续，0)(10dxxf，1)(10dxxxf，证明： （1）存在] 1 , 0[a，使得 4)(af； （2）存在] 1 , 0[b，使得 4)(bf。

13. 设函数 f 在],[aa上非负连续)0( a，且1)()(2aaaadxxfxdxxf， 0)(aadxxxf证明：对于任意给定的]0,[ au，成立 211)(udxxfua §§2 2 不定积分的计算不定积分的计算 1．计算下列不定积分： （1）;32dxxx（2）;)(12dxxxx （3） ; 11)1 (223 2 dx xx（4）;1(23 dxxx）（5）;)sec(tantandxxxx （6）dxxx)13 2(cos22 2．计算下列不定积分： （1）;522xxdx（2）;22342dxxxx（3） ; 4) 1(2xdxx（4）dx xx21arcsin； （5）;311dxeexx（6）;12dxxx （7）;2sin2dxxx（8）;cossinxxdx（9） ; 12xedx（10）;1xxxdx（11） ; sin42sin2dx xx（12） ; 1422xxdx（13）;)ln(1dxxxxx（14）;) 1(13dxxx（15）;1xxdx（16）dxxx11。

（17）;11dxxx（18）;1xxdx（19）;)1 (arctan22dxxxx（20）dx xxx221) 1( 3．计算下列不定积分： （1）xdx4sin； （2）dxxx 1tantan2； （3）xdx tan21； （4）dxxx cos1cos； （5）dxxx2sin12cos； （6）2cos3sinxxdx； （7）dxxx3cossin1； （8）dxxx44cossin1； （9）dxxxxx cossincossin； （10）axdx coscos（, 2 , 1,kka） 4．计算下列不定积分： （1）dxxx2； （2）xdxarctan； （3）xdxx ln3； （4）dxxx2arcsin； （5）xdxx22cos； （6）xxdx2tan； （7）dxxx)ln(ln； （8） dx exx2sin12sin； （9） dxxx122； （10）dxxxx22)1 (arcsin； （11） dxxxx1； （12）dxxxx1) 1(2。

5．计算下列不定积分： （1）)3)(1(xxdx； （2）dxxx 14； （3）3424xxxdx； （4）dxxx223) 1() 1(； （5）) 3)(2)(1(xxxxdx； （6）22)52() 1( xxdxx； （7）) 1)(2)(1(22xxxdxx； （8）22) 1)(1() 1(2 xxdxx §§3 3 定积分的计算定积分的计算 1．计算下列定积分： （1）;sin2 02 xdxx （2）;sin 03xdxx （3）;sin2 02dxxex（4）;arcsin10dxxx（5）;arctan10xdxx （6）;)1ln(102dxx （7）;tan4 02 xdxx （8）dxxx10221 2．计算下列定积分： （1）;)ln1 (121dxxx（2） 2222; 1)2(xxdxx（3）;2) 1(112 xdxx（4）;)1 (arctan102/32 xxdx（5）;110dxeexx（6）;cossinsin2 03  dxxxx（7）;sincos14 044 d （8）10231dxxx。

3．计算下列定积分： （1）;),max(202dxxx （2）;120dxexx（3）;211111 dxx（4）;coscos223dxxx （5）;cossin 032xdxx （6） 202dxxx 4．计算定积分02sinsindxxnxIn 5．设f是),(上的连续函数，xdttftxxF 0)()2()(，证明： （1）若f为偶函数，则)(xF也是偶函数； （2）若f为递减函数，则)(xF是递增函数 6．设. 0,, 0,1)(2xexxxfx，计算30) 1(dxxfI 7. 设], 0[上的连续函数f满足0)(2sin)(dxxfxxf，求)(xf 8. 设函数f在), 1 (上连续且单调减少，证明 11)(ndxxfnkkf1)(ndxxff 1)() 1 ( 9．设函数f，g在],[ba上连续，且0)(xg证明：存在),(ba，使得 )()()()( gfdxxgdxxfbaba  10．设函数 f 在] 1, 0[上具有二阶连续导数，且0) 1 ()0( ff。

证明： （1） 1010)() 1(21)(dxxfxxdxxf； （2）| )(|max121)( 1010xfdxxf x   11．设函数f在] 1, 0[上二阶导数连续，且0) 1 ()0(ff，证明存在) 1 , 0(0x， 使得  100 6)( 2) 1 ()0()(xfffdxxf 12．设函数f在], 0[上连续，证明： 00)(2)(|sin|limdxxfdxxfnx x 13. 设函数 f 在],[ba上二阶可导，0)(  xf，0)()(bfaf，且有),(0bax ，使0)(00xfy，0)(0 xf证明： （1）存在),(01xax 和),(02bxx ，使得2)()(0 21yxfxf； （2）baxxydxxf)()(120 §§4 4 定积分的应用定积分的应用 1．求抛物线2xy 与直线32  xy所围图形的面积 2．求由曲线2xy ，2 41xy 和直线 y = 1 所围图形的面积 3．求旋轮线)sin(ttax，)cos1 (tay（0a，2t0）与x轴所围图 形的面积。

4．求2cosr与sin2r所围公共部分图形的面积 5. 求cos1r与cos3r所围公共部分图形的面积 6．求由圆盘1) 3()2(22yx分别绕x轴和y轴旋转一周，所得旋转体的体 积 7. 求旋轮线)sin(ttax，)cos1 (tay（0a，πt20）与x轴所围图 形绕x轴旋转所成旋转体的体积 8．求cos1r所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积 9．求抛物线)0(42aaxy与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这 时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 10．求下列曲线段的弧长： （1）xey  )20( x； （2）)(21xxeey（11x） ；22x （3）)sin(costttax，)cos(sintttay（0a，20t） ； （4）ar （20, 0a） 11. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径： （1）2xy ，在点) 1, 1 (； （2）322,3tytx，在1t对应的点 12. 求下列曲线的曲率和曲率半径： （1） xxy1（0x） ； （2） xxy33； （3） ar （0a） ； （4） )sin(ttax，)cos1 (tay（0a） 。

13. 求曲线xyln上曲率最大的点，并求出该点的曲率圆方程 14．求下列旋转曲面的面积： （1）xysin（ x0）绕 x 轴旋转一周生成的曲面； （2） 旋轮线)sin(ttax，)cos1 (tay（0a，πt20）绕 x 轴一周生 成的曲面； （3）双扭线2cos22ar 绕极轴产生的曲面 15. 过点)0, 1 (作曲线2xy的切线，求曲线2xy与该切线，以及x轴 所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 16．有一等腰三角形薄板，底边长为 a，高为h米，薄板垂直倒立于水中，底边 与水平面相齐求水对薄板的侧压力 17．设有一半径为R、高为 H 的均匀圆柱体平放在水深为R2的水池中（即圆柱 体的侧面与水面相切） ， 圆柱体的密度为， 现将圆柱体抬出水面， 需作多少功？ （设水的密度为 1） 18．设有一均匀的半径为r的圆形薄片，其面积为S在圆心的正上方有一个单 位质点，质点到圆心的距离为a （1）求薄片的边界对该质点的引力； （2）求薄片对该质点的引力； （3）如果圆心的正上方有一条长为 l、质量为m的均匀细杆垂直于薄片，下端 距圆心为a，求薄片对细杆的引力。

§§5 5 反常积分反常积分 1．计算下列无穷限的反常积分： （1） dxxx2)2)(1(1； （2）02) 1)(1(1dxxxx； （3）0 2。