现代控制理论的知识点汇总情况.docx

第一章 控制系统的状态空间表达式1. 状态空间表达式x = Ax + Buu : r x 1 y : m x 1 A: n x n B : n x r C : m x n D : m x r y = Cx + DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；B为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示 输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系2. 状态空间描述的特点① 考虑了“输入一状态一输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出② 状态方程和输出方程都是运动方程③ 状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择④ 状态变量的选择不唯一⑤ 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适⑥ 建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵 形式，即为状态空间描述⑦ 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算3. 模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示 相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

4. 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作x，输入则为X ; c由模拟图写出状态方程和输出方程i i② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量利用KVL和KCL列微分方程，整理③ 由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题实现是非唯一的方法：微分方程T系统函数T模拟结构图T状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作b模拟结构图的等效如前馈点等效移到综合反馈点之前P28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图5. 状态矢量的线性变换也说明了状态空间表达的非唯一性不改变系统的特征值特征多项式的系数也是系统的不变量特征矢量P .的求解：也就是求（九1 - A）x二0的非零解i i状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵a互异根时，各特征矢量按列排b有重根时， 设3阶系统，，］=九2，3为单根，对特征矢量P］，P 3求法与前面相同，P2称作九］的广义特征矢量,应满足（九/ - A） P 2 =一P］。

系统的并联实现：特征根互异；有重根方法：系统函数T部分分式展开T模拟结构图T状态空间表达式6. 由状态空间表达式求传递函数阵W（ s）W（s）二C ©I ― A）-1 + B + D m xr的矩阵函数】W W表示第j个输入对第i个输出的传递关系j j状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W （s）是不变的子系统的并联'串联'反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵“（s）方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示 第二章控制系统状态空间表达式的解一. 线性定常系统齐次状态方程（x = Ax）的解：x（t）二eAtx0二. 矩阵指数函数一一状态转移矩阵1. e（t）二eAt表示x（o）到x（t）的转移5个基本性质2. eAt的计算：a定义；b变换为约旦标准型A（或J）二T-1 AT , eAt = Te-1或TeJtT-1c用拉氏反变换eAt二L-1[（si - A）-1] 记忆常用的拉氏变换对夂 11 1 n! 1^ ① s0 （t） o 1;1（t） o ;t o ;e-at o ;tn o ;te-at o ；sm①t o ;cos①t os s 2 s + a sn+1 （s + a ）2 s 2 + ① 2 s 2 + ① 2d应用凯莱-哈密顿定理三. 线性定常系统非齐次方程（x二Ax+Bu）的解：x（t）=e（t）x（0）+；e（t -T）Bu（T）dT 。

可由拉氏变换法证明（当 然给出拉氏变换法的求解思路）求解步骤：先求（t）二eAt，然后将B和u（t）代入公式即可特殊激励下的解第三章线性控制系统的能控性和能观性一. 能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二. 线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换 x二Ax + Bu T z = T-1 ATz + T-1 Bu1 .若A的特征值互异，线性变换（x = Tz ）为对角线标准型，A = T-1AT，能控性充要条件：T-1B没有全为0的行 变换 矩阵T的求法2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x = Tz ）为约当标准型，J = T-1AT，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分， 每个约当块对应的T-1B中最后一行元素没有全为0的 ②T-1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的变换矩阵T 的求法这种方法能确定具体哪个状态不能控但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、T-1B判别方法（二）：直接从A，B判别x = Ax + Bu能控的充要条件是 能控性判别矩阵M二（B，AB，A2B，…An-1B）的秩为n在单输入系统中，M是一个n X n的方阵；而多输入系统，M是一个n X nr的矩阵，可通过rankM二rank （MMt ）三. 线性定常系统的能观性判别X 二 Ax z 二 T-1 ATz判别方法（一）：通过线性变换、，厂” T ”y = Cx y 二 TCz1. 若A的特征值互异，线性变换（x = Tz ）为对角线标准型，A = T-1AT，能观性充要条件：TC中没有全为o的列。

变换 矩阵T的求法2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x = Tz ）为约当标准型，J = T一1 AT，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分， 每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为0的 ②对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为0的变换矩阵T 的求法这种方法能确定具体哪个状态不能观但线性变换比较复杂，关键是求T、T一1、TC判别方法（二）：直接从A，C判别〔C 1 CA 能观性的充要条件是 能观性判别矩阵N = : 的秩为nCAn-1 /在单输入系统中，N是一个n x n的方阵；而多输入系统，N是一个nm x n的矩阵，可通过rankM = rank （MM T）六.能控性与能观性的对偶原理1 •若 A2 二 AT，B 2 =C1T，C 2 二 B1T，则 Z1( A1，B1，C1)与 2 2( A2, B2, C 2)对偶对偶系统的传递函数阵是互为转置的且他们的特征方程式是相同的2. 与Y 2对偶，则E1能控性等价于Y 2能观性，E1能观性等价于Y 2能控性时变系统的对偶原理？？ ？？七.能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。

1. 能控标准丨型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性②计算特征多项式1 XI 一 A "n + an-1Xn-1 +…a0，即可写出A③求变换矩阵T0c1 =P1p A1P An-11p = [0,0,…,1][b, Ab,…An-1B]-1④求 T -1，计算b = T -1b =1 c1 c1"cTc1，也可以验证是否有A =仃1 ATc12. 能控标准II型① 判别系统的能控性②计算特征多项式1 XI — A .九+ a九n-1n-1a 0，即可写出Ac二cT2，也可以验证是否有A = t2-1AT2c2 c2 c2③求变换矩阵T广[b, Ab,…，An-1b]④求T2-1，计算b = T2-1b =c 2 c 2 c 23. 能观标准丨型①判别系统的能观性②计算特征多项式1 A〔=儿+ an-1儿-1 +…a1X + a 0，即可写出A③求变换矩阵T④求 T ]，计算 b = T 1 -1b, c = cT 1 =1 01 o1 o1… 0],也可以验证是否有A = T1-1AT 11 o14.能观标准II型①判别系统的能观性②计算特征多项式I 九I — A 1= + a -1 + •…a 九 +n-1 1cAo1-1 =cAn-1即可写出A。

③求变换矩阵T , AT，…,An-1T ] T =ccA-1o01 1 1 ' 1cAn-11④求 T02,计算 b = T02-1b=cT02=b 0…』，也可以验证是否有A = T -1AT2 o25.如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准丨型和能观标准II型的状态空间表达B Sn-1 + B Sn-2 + •…+ R S + BW ( s) = i i 1 0——+ …+ a s + aSn-1 + a Sn-1 + a Sn-2n-1010 …0 -O001 …00••・・・•b =000 …10a—a—a •…—a1012n-1」1— —1n - 210能控标准丨型：A =0卩 n-1]能观标准I型：A =—a1—a2b =r b ]0B1Bn-2B匚 n-1」c = [0 0 …1]八.线性系统的结构分解1按能控性分解(状态不完全能控,艮卩 rankM = n< n),通过非奇异变换X = RX完成CR =(R Rc 1 2Rn1叮,前n1个列矢量是M中n1个线性无关的列，其他列矢量保证R非奇异的条件下是任意的2.按能观性分解(状态不完全能观,即rankN =匕< n ),通过非奇异变换X = RoX完成。

/、Ri,R2R -i =oRn1，前 ni个行矢量是N中ni个线性无关的行，其他行矢量保证Ro-1非奇异的条件下是任意的3. 按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观co步骤：①首先按能控性分解（x能控状态，xc不能控状态）②对不能控子系统按能观性分解（x-不能控能观状态，x—不能控不c C co …能观状态）③将能控子系统按能观性分解（x能控能观状态，x-能控不能观状态）④综合各步变换结果，写出最后的表达式co co另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列九.传递函数阵的实现问题1实现的定义：由。