导数在f(x)±f(.docx

导数在f(x)f(摘要】本文利用导数这一工具，对任意抽象的可导函数f〔x〕构造出的形如，f〔x〕f〔-x〕=y〔x〕函数进行研究，并通过例题讨论与之相关函数的不等式问题.【关键词】奇函数;偶函数;单调性一、引言、定义与引理奇〔偶〕函数是具有特殊性质的一类重要函数，单调性是也是研究函数性态的重要内容之一.将函数的奇〔偶〕性以及单调性相结合，对研究某些函数或者一些不等式问题会起到事半功倍的效果.尤其是f〔x〕f〔-x〕=y〔x〕型函数，其中函数f〔x〕是定义在〔-∞，+∞〕上的可导函数.因为函数f〔x〕的抽象性使得问题难度加大，在此借助导数讨论相应函数性态〔如单调性，奇偶性〕往往会简单易于求解.定义1【1】设函数f〔x〕定义在区间I上，如果任意x∈I都有f〔-x〕=-f〔x〕〔或f〔x〕〕，那么称函数f〔x〕为区间I上奇函数〔或偶函数〕.引理1【1】如果函数f〔x〕在闭区间I上可导，且满足任意x∈I都有f′〔x〕>0〔或那么函数f〔x〕为区间I上单调增加函数〔或单调减少函数〕.二、f〔x〕f〔-x〕=y〔x〕型函数问题讨论例1设函数f〔x〕在区间〔-∞，+∞〕上存在导函数，且满足f〔x〕+f〔-x〕=2x2，当x∈〔-∞，0]时有f′〔x〕+1解这是含有参数的抽象函数及相关不等式问题，题中出现函数和导函数首先会想到联系函数、导数的桥梁“中值定理〞，但是所给区间不是有限闭区间，所以此法未必可行.于是可以考虑与导数密切相关的函数性态—单调性等进行讨论.具体如下：由于f′〔x〕+1根据条件和函数g〔x〕的定义可有4α+6≥f〔α+3〕-f〔-α〕=[g〔α+3〕+〔α+3〕2-〔α+3〕]-[g〔-α〕+〔-α〕2-〔-α〕]=g〔α+3〕-g〔-α〕+4α+6.上式等价于g〔α+3〕≤g〔-α〕，再注意到函数g〔x〕在〔-∞，+∞〕上是单调减少函数，所以成立α+3≥-α，也就是参数α满足α≥-32.证明完毕.上述证明巧妙构造出函数，并利用其导数判定单调性使问题得证.例2设函数f〔x〕在区间〔-∞，+∞〕上存在导函数，且满足f〔x〕-f〔-x〕=2x3，当x∈[0，+∞〕时有f′〔x〕>3x2.如果f〔β〕-f〔β-1〕>3β2-3β+1，证明β>12.解类似例1，该题是含有参数的抽象函数及相关不等式问题，所以考虑借助导数判定单调性进行讨论.具体如下：由于f′〔x〕>3x2，x∈[0，+∞〕即有〔f〔x〕-x3〕′=f′〔x〕-3x2>0，x∈[0，+∞〕.因此，设g〔x〕=f〔x〕-x3，根据f〔x〕-f〔-x〕=2x3，x∈〔-∞，+∞〕，那么有0=f〔x〕-f〔-x〕-2x3=[f〔x〕-x3]-[f〔-x〕-〔-x〕3]=g〔x〕-g〔-x〕，由此知g〔-x〕=g〔x〕，x∈〔-∞，+∞〕，由定义1即得函数g〔x〕在〔-∞，+∞〕上的偶函数.结合前面讨论知g′〔x〕=〔f〔x〕-x3〕′=f′〔x〕-3x2>0，x∈[0，+∞〕，由引理1可知函数g〔x〕在[0，+∞〕上是单调增加函数，函数g〔x〕在x∈〔-∞，0]上是单调减少函数.根据条件和函数g〔x〕的定义可有3β2-3β+1=[g〔β〕+β3]-[g〔β-1〕+〔β-1〕3]=g〔β〕-g〔β-1〕+3β2-3β+1.上式等价于g〔β-1〕≤g〔β〕.当0≤β-1当β-1当β-1g〔β〕矛盾.综上所述，如果g〔β-1〕≤g〔β〕，那么参数β必须满足β≥12.结论证毕.以上巧妙构造出函数，借助导数判定单调性使问题得证.【参考文献】【1】劉玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.【2】毛羽辉.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2021.【3】刘三阳，于力，李广民.数学分析选讲[M].北京：科学出版社有限责任公司，2021.。