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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟566一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论错误的是______．A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1，1对应的特征向量正交D.方程组Ax=0的基础解系含有一个线性无关的解向量答案:C[考点] 特征值与特征向量 [解析] 选项A正确．由λ1=-1，λ2=0，λ3=1，得|A|=0，则r(A)＜3，即A不可逆； 选项B正确．因 λ1+λ2+λ3=tr(A)=0 选项C错误．因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，故选C； 选项D正确．因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而Ax=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量．问题:2. 下列命题 ①设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续； ②设f'-(x0)与f'+(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续； ③设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续； ④设与中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0处必不可导正确的个数是______A.1．B.2．C.3．D.4．答案:A[解析] f'-(x0)存在，即f(x)在x=x0处左导数存在，推知f(x)在x=x0处左连续；f'+(x0)存在，推知f(x)在x=x0处右连续．故f(x)在x=x0处连续，②正确． ①与③都不正确，因为这两种情形，f(x0)可能没有定义． ④也不正确，反例： 不存在，但f'(0)却存在．问题:3. 若函数，在x=0处连续，则______ A． B． C．ab=0 D．ab=2 答案:A[解析] ，∵f(x)在x=0处连续，∴，选A．问题:4. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是______．A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价答案:D[考点] 向量 [解析] 选项A，B，C错误．设m=1，n=3，取α1=(1，0，0)T，β1=(1，1，0)T，可同时排除A，B，C选项． 选项D正确．因为α1，α2，…，αm线性无关r(α1，α2，…，αm}=r(A)=m． 同理，向量组β1，β2，…，βm线性无关r(B)=r{β1，β2，…，βm}=m． 注意到A，B为同型矩阵，故A，B等价r(A)=r(B)．问题:5. 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则 A．φ[f(x)]必有间断点． B．[φ(x)]2必有间断点． C．f[φ(x)]必有间断点． D．必有间断点．答案:D[解析] 解法1 反证法．设处处连续，则，从而φ(x)处处连续，与原题设矛盾． 解法2 排除法．举反例f(x)≡1，φ[f(x)]≡1，处处连续，不选A；[φ(x)]2≡1，处处连续，不选B；f[φ(x)]≡1，处处连续，不选C．则应选D． 对于连续函数的复合运算，只有连续函数复合连续函数是连续函数，其余的各种复合都是没有结论的，需要具体考查，于是A，C直接排除． 问题:6. 设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则______A.(A*)*=|A|n-1A．B.(A*)*=|A|n+1A．C.(A*)*=|A|n-2A．D.(A*)*=|A|n+2A．答案:C问题:7. 设若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为______．A.3B.4C.5D.6答案:C[解析] 因为f(x)在x=0处可导，所以k-2=3，即k=5，选C. 问题:8. 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，其中α是比Δx(Δx→0)高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=______ A． B．2π． C．π． D． 答案:A[解析] 本题实质上是解微分方程．首先由增量式舍去高阶无穷小得到微分方程 利用分离变量解得y=Cearctanx．再由y(0)=π得C=π，即y=πearctanx．最后．所以A项是正确的． 还可以在两端同除以Δx，建立微分方程．问题:9. 设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 注意到1-cosh≥0且设u=1-cosh，则 故A只保证了f'+(0)存在，而不是f'(0)存在的充分条件． 由于1-eh～-h(h→0)，故 故左极限边存在保证右边存在，反之亦然，因此B是f'(0)存在的充要条件． 又h-sinh～h3/6，得 则存在不能保证存在，故C不对． 又 左边极限存在不能保证右边拆项后的极限存在，故D不正确，如： 问题:10. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则______ A.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．答案:B[解析] 从图可看出，函数f(x)有3个驻点及1个不可导点，前两个驻点两侧f'(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧f'(x)符号相同，故函数f(x)有2个极值点． 函数f(x)有两个二阶导数等于零的点及一个二阶导数不存在的点，在这些的点两侧曲线y=f'(x)的单调性相反，因而曲线y=f(x)有3个拐点．应选B． 二、填空题问题:1. 设，B是3阶矩阵，则满足AB=O的所有的B=______．答案:，其中k，l，λ是任意常数[解析] 将B按列分块，设B=[β1，β2，β3]，则 AB=A[β1，β2，β3]=[Aβ1，Aβ2，Aβ3]=O， 因此可得Aβ1=0，Aβ2=0，Aβ3=0，因此β1，β2，β3都是齐次性程组Ax=0的解向量． 对于齐次线性方程组AB=0，求出其通解． 对A作初等行变换， 则Ax=0有通解k[-2，-1，1]T，令β1，β2，β3都是齐次线性方程组Ax=0的通解，再合并成矩阵B，即得，其中k，l，λ是任意常数．问题:2. 答案:[解析] 这是对称区间上的定积分．一般都可利用积分性质而化简计算，所以 问题:3. 设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=______．答案:e-2x+2ex[解析] 求y(x)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题． 由特征方程λ2+λ-2=0，即(λ+2)(λ-1)=0得特征根λ1=-2，λ2=1，于是得通解y=C1e-2x+C2ex． 由初值条件得 因此y(x)=e-2x+2ex． 问题:4. 设f'(lnx)=xlnx，则f(n)(x)=______．答案:ex(x+n-1)[解析] 由f'(lnx)=xlnx，则f'(x)=xex．由莱布尼茨高阶导数乘法公式，有 问题:5. ．答案:-1[解析] 由于则 问题:6. 答案:[解析] 这是“1∞”型，， 而，故 三、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)问题:1. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一个ξ∈(a，b)使 答案:证：令，则 ，由拉格朗日中值定理，至少存在一个ξ∈a，b)，使 问题:2. 确定α的值，使得函数 在(0，0)处可微． 答案:解：如果f(x，y)在点(0，0)可微，则f'x(0，0)，f'y(0，0)存在． 由 存在，则2α-1＞0，即，此时f'x(0，0)=0，同理有时，f'y(0，0)=0．则 因此当且仅当． 故当时，f(x，y)在点(0，0)处可微．[考点] 多元函数微分学问题:3. 讨论函数 在x=0处的可导性． 答案:解：f'+(0)=-1，f'-(0)=1，故f(x)在x=0处不可导．[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)问题:4. 计算二重积分，其中 D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}． 答案:解：解法1 区域D的极坐标表示为 所以 解法2 作平移变换，将偏心圆转化为标准圆：令u=x-1，v=y-1，则积分区域D变为D'：u2+v2≤2，v≥u，于是 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A. 求： 5. 二次型xTAx的标准形； 答案:解：因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型xTAx的标准形为．[考点] 二次型6. |E+A+A2+…+An|的值．答案:解：令 B=E+A+A2+…+An 则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故 |E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r[考点] 二次型 7. 证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；答案:证：令f(x)=xn+xn-1+…+x-1(n＞1)，则f(x)在上连续．且 故由闭区间上连续函数的零点定理知，f(x)在区间内至少有一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间内至少有一个实根． 又 故f(x)在内单调增加，可知f(x)在区间内只有一个零点．从而方程f(x)=0，即xn+xn-1+…+x=1在区间内有且仪有一个实根．8. 记上一小题中的实根为xn，证明存在，并求此极限·答案:解：由于，所以数列{xn}有界．又 而，所以 即 显然方括号内各项均为正，于是有 xn≥xn+1，n=2，3，…， 即{xn}单调减少． 由以上讨论知，数列{xn}单调有界，故{xn}收敛，设．由于 令n→∞，并注意到，则有。