2021课标版理数高考总复习专题6.4数列求和、数列的综合应用（讲解练）理科数学教学讲练.pptx

考点清单方法技巧栏目索引6.4数列求和、数列的综合应用高考理数高考理数考点清单方法技巧栏目索引考点一考点一数列求和数列求和考点考点清单清单考向基础考向基础1.公式法公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解.2.分组求和法分组求和法根据数列或数列通项公式的特征,将其分解为一些可以直接求和的数列(如等差数列、等比数列、常数列等),再分组求和.考点清单方法技巧栏目索引3.错位相减法错位相减法在数列anbn中,an是等差数列,bn是等比数列,可用错位相减法求此数列的前n项和.如等比数列的前n项和公式就是用此方法推导的.4.裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和,分式型数列的求和多用此法.常见的裂项方法:(1)=-;(2)=;(3)=-;考点清单方法技巧栏目索引(4)=-;(5)=;(6)若an为等差数列,公差为d(d0),则=.5.倒序相加法倒序相加法已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写,然后对两个求和的式子进行相加,即可求出该数列的前n项和.如等差数列的前n项和公式就是用此方法推导的.6.并项求和法并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n),可采用并项求和法.考点清单方法技巧栏目索引考向突破考向突破考向考向数列求和数列求和例例(2020届江西临川一中第一次联考,17)已知数列an满足-=0,且a1=.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.考点清单方法技巧栏目索引解析解析(1)因为-=0,所以an+1=an,又a1=,所以数列an为等比数列,且首项为,公比为.故an=.(2)由(1)知=2n,所以+2n=2n+2n.所以Sn=+=2n+1+n2+n-2.考点清单方法技巧栏目索引考点二考点二数列的综合应用数列的综合应用考向基础考向基础1.数列与函数综合问题数列与函数综合问题(1)已知函数解决数列问题时,一般利用函数的性质、图象来解决.(2)已知数列解决函数问题时,一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.考点清单方法技巧栏目索引2.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比较大小;(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题时,可转化为函数的最值问题;(3)考查与数列有关的不等式的证明问题时,常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.考点清单方法技巧栏目索引考向突破考向突破考向一考向一数列与函数的综合应用数列与函数的综合应用例例1(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=,g(x)=f(x-1)+1,an=g+g+g+g,nN*,则数列an的通项公式为.解析解析由题意知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),函数f(x)=为奇函数.g(x)+g(2-x)=f(x-1)+1+f(2-x-1)+1=f(x-1)+f(1-x)+2,由f(x)=为奇函数,知f(x-1)+f(1-x)=0,g(x)+g(2-x)=2.考点清单方法技巧栏目索引an=g+g+g+g,nN*,an=g+g+g+g,nN*,由+得2an=+=(2n-1)2,则数列an的通项公式为an=2n-1.答案答案an=2n-1考点清单方法技巧栏目索引考向二考向二数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合应用例例2(2019河南郑州一模,10)已知数列an满足2an+1+an=3(nN*),且a3=,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是()A.8B.9C.10D.11考点清单方法技巧栏目索引解析解析由2an+1+an=3,得an+1-1=-(an-1),又a3=,a2-1=-2(a3-1)=-,a1-1=-2(a2-1)=9.an-1是首项为9,公比为-的等比数列,则an-1=9,an=1+9,则Sn=n+9=n+6-6,则|Sn-n-6|=3,|Sn-n-6|即39,满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是10.故选C.答案答案C考点清单方法技巧栏目索引方法1错位相减法求和错位相减法求和1.如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.方法技巧方法技巧考点清单方法技巧栏目索引例例1(2018河南、河北两省联考,18)已知数列an的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求证:数列为等差数列;(2)令bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.解题导引解题导引考点清单方法技巧栏目索引解析解析(1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得-=1,又=5,所以数列是首项为5,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(nN*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=52+722+923+(2n+3)2n,2Tn=522+723+924+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,所以-得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.考点清单方法技巧栏目索引方法2裂项相消法求和裂项相消法求和1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式型数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例例2(2019全国卷高三五省优创名校联考,17)设数列an的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求bn的前n项和Tn.考点清单方法技巧栏目索引解析解析(1)当n=1时,a2-a1=2;当n2时,由Sn=nan+1-n2-n得Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1),两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2n,整理得an+1-an=2.综上可知,数列an是首项为3、公差为2的等差数列,从而得an=2n+1.(2)由(1)得bn=,所以Tn=-.。