导数常见题型与解题方法总结.doc

导数题型总结1、 分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)2、 变更主元——已知谁的范围就把谁作为主元3、 根分布4 、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x) 0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元(即关于某字母的一次函数) —— (已知谁的范围就把谁作为主元)例1：设函数y f (x)在区间D上的导数为f (x)，f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间 D上, g(x)0恒成立，则称函数y f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数,x4 mx3 f (x)12 63xg(x) x mx 3(1) Q y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，贝U g(x) x2 mx 3 0在区间［0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax(x) 02(1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足|m 2的任何一个实数m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba 的最大值.4 3^2 3 2解：由函数f(x)乞咏災得f(x) Z贬3x12 6 2 3 2g(0)g(3)3 0m 29 3m 3 0解法二：分离变量法：I 当 x 0 时，g(x)2x mx3 0恒成立,当 0 x 3 时，g(x)2x mx 30恒成立等价于m 口x-的最大值(0 x 3 )恒成立,x3而h(x) x (0x是增函数，贝U hmax(X)h(3) 2⑵•••当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当2 时 g (x)mx 3 0恒成立变更主元法0在m 2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)3a2x b(0 a 1,b再等价于F(m) mx x2F( 2) 0F(2) 0(I)求函数f (x)的单调区间和极值;(U)若对任意的x [a 1,a解：(I) f (x)x2 4ax 3a2Q0 a 1f(x)2x x2 3 02 1 x 12x x 3 0R)2],不等式f (x) a恒成立，求a的取值范围.x 3a x aa 3a3a令f (x) 0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f (x) 0,得f (x)的单调递减区间为(一 ,&)和(3a, + )• •当x=a时，f (x)极小值= a' b； 当x=3a时，f(x)极大值=b.4(U)由 | f (x)|

a 2g(x) x2 4ax 3a2在［a 1,a 2］上是增函数.g(x)max g(x)ming(a 2) g(a 1)2a 1.4a 4.于是,对任意x［a1,a 2］，不等式①恒成立，等价g(ag(a2)1)4a 42a 11.4a 1-又 0 a 1,二 Tx (ta,b的值；5点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系例3：已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为 3 ,g(x)1)x 3 (t 0)［1,4］时,求f(x)的值域;(m)［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数的取值范围a解得b解:f/(x) 3x2 2ax 『⑴ t 6 2 ,b 1 a(U)由(I)知，f (x)在［1,0］上单调递增，在［0, 2］上单调递减，在［2,4］上单调递减又 f( 1) 4, f(0) 0, f (2) 4, f(4) 16••• f (x)的值域是[4,16](皿)令 h(x) f (x) g(x) -x2 (t 1)x 3 x [1,4]2思路1:要使f (x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2 2x) 2x 6分离变量思路2： 二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m , n )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a , b )”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 1 3 a 1 2例 4：已知 a R，函数 f (x) x x (4a 1)x .12 2(I)如果函数g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；(U)如果函数f (x)是(， )上的单调函数，求a的取值范围.解：f (x) -x2 (a 1)x (4a 1).41 1(I)°.° f (x)是偶函数，a 1. 此时 f (x) — x3 3x， f (x) —x? 3，12 4令 f (x) 0，解得：x 2*3.f(x)的极小值为f(2、3) 4.3.列表如下：x(—g,—2 *5)—2J3(—2^3,2 V3)2品(2 爲，+g)f (x)+0一0+f (x)递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f( 2 3) 4 3，(n)v函数f(x)是( )上的单调函数,•- f (x)1-x2 (a 1)x (4a 1) 0，在给定区间R上恒成立判别式法4则1(a 1)2 4 (4 a 1) a2 2a 0， 解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是{aO a 2}.1 1例 5、已知函数 f (x) x3 (2 a)x2 (1 a)x(a 0).3 2(I )求f(x)的单调区间；(II )若f(x)在［0，1］上单调递增，求a的取值范围。

子集思想解：(I )f (x) x(2 a)x1 a (x1)(x 1 a).1 、当a0时,f (x)(x 1)20恒成立，当且仅当x 1时取“=”号,f(x)在(,)单调递增2 、当a0时，由f (x)0,得 X11,X2 a1,且 X1 X2,单调增区间：(，1),( a 1,)单调增区间：(1,a 1)(II )当Q f(x)在［0,1］上单调递增，贝U 0,1是上述增区间的子集:1、 a 0时，f(x)在(，)单调递增 符合题意2、 0,1 a 1, ， a 1 0 a 1综上，a的取值范围是［0，1］2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关 系；第三步：解不等式(组)即可例6、已知函数f(x) 1x3 (k 1)x2 , g(x) 1 kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数. 3 2 3(1) 求实数k的取值范围；(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f (x) x2(k 1)xf (x)在区间(2,)上为增函数,••• f (x) x2 (k 1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x恒成立，又1 2，故 k1 ••• k的取值范围为k3x(2)设 h(x) f(x) g(x) y(k亠kx22h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)令 h (x)0得x k或x 1由(1)知k 1，① 当k 1时，h(x) (x 1)2 0，h(x)在R上递增，显然不合题意…② 当k 1时，h(x)， h (x)随x的变化情况如下表：x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0——0h(x)/极大值极小/k3 k2 1值6 2 3k 12由于k一 0，欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x) 0有三个不同的2实根，故需k!6k21-0,即(k 1)(k23k 12k 2) 0 " k2 2k 2 0，解得 k 1 3综上，所求k的取值范围为k 1 -.3根的个数知道，部分根可求或已知。

1例7、已知函数f (x) ax3 x2 2x c2(1)若x 1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值;1(2)若g(x) -bx2 x d，在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函2数f (x)的图像恒有含x 1的三个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由2f (x) 3ax x 2 ,f(3x21) 3a 1 2 02 (3x2)(x1) 01)f极小值(x)227解：(1)v f(x)的图像过原点，贝U f(0) 0 c 0(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含x 1的三个不同交点,1等价于f (x) g(x)有含x 1的三个根，即：f ( 1) g( 1) d 一(b 1) 2111x3 -x2 2x -bx2 x -(b 1)整理得：2 2 2即：x3 1 (b 1)x2 x 1 (b 1) 0恒有含x 1的三个不等实根2 23 1 2 1 h(x) x (b 1)x x (b 1) 0 有含 x 1 的根，2 2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，x3 x2 x2 1(b 1)x2 x 1(b 1) 02 22 1 2 1x2(x 1) -(b 1)x2 x -(b 1) 02 22 1 2x2(x 1) — (b 1)x2 2x (b 1) 02。