新概念思维训练-小学五年级第15讲圆与扇形-教师版.doc

内容概述掌握圆与扇形的基木概念和性质，以及它们的周长和而积计算公式，并能熟练运用公式 处理相关的儿何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形小特定部分的面积; 学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形担过的区域典型问题兴趣篇1. 己知一•个扇形的圆心角为120半径为2,这个扇形的面积和周长各是多少？(门取3.14)解析：知道了圆心角,就相当于知道了扇形占圆面积的丄,扇形的弧长也是圆周长的丄x3.14x22= 4」93-x3.14x2 x2 + 4 = 8.1932. 已知一•个扇形的面积为1&84平方厘米，圆心角为60° ,这个扇形的半径和周长各是多 少？ (Ji 取 3.14)解析：18.84*3」4♦丄= 36,半径r=6周长：-3.14X6X2,12 = 18.283. (1)根据图15・1所给的数值,求这个图形的外周长和面积.(Ji取3.14)(2)如图15.2,冇8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图 中的黑点是这些圆的圆心如果圆周率口取3.14,那么花瓣图形的周长和面积分別是多少？解析：1.圆的半径：4一4 = 1 周长：3.14x2x1 + 2x4 = 14.28面积：2x1x4 + 2x2 + 3.14x12=15」42. 如下图，添上部分辅助线，有花瓣的而积为4个边长为2的小正方形面积加上4 个的面积减去4个厂、的面积，即加上4x3—4乂丄=1个半径为1的鬪的面积.J 4 24•如图153 求各图形中阴影部分的面积.（图中长度单位为厘米，门取3.14）2 (1 ) 图 15-39 解析：1 •用平移法阴影为三角形面积，3x3-2 = -22. 用平移法阴影面积为正方形面积，1x1 = 13. （2x2 —3」4 xF） 一 2 + 3」4 xl2-2 = 2Ji取3」4)5.如图154,求各图中阴影部分的面积.（图中长度单位为厘米,4(2) 图1547(3)解析：1•考虑到重叠,3.14X22-2-2x2 = 2.282•考虑到更叠,3.14x22—4x4 一2 = 4.563•考虑到重叠,3.14x72-4 —7x7 + 2 = 13.9656.图15・5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米,且半圆的半径是10厘米.其中直角三图 15-5图 15-6解析：（3」4Xi。

一2 — 57）x2 + 20 = 10 （原米）7. 求图15・6中阴影部分的面积.（Ji取3.14）解析：我们只用将两个半径为10厘米的四分Z—圆减去空白的①、②部分面积和即可, 其中①、②面积相等.易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知，单独求① 部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下图所示，则①、②部分变为一个以 AC的点角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10・两个四分之一圆的面积和为2X i X 1（）2X jt ^50X3.14=157,而①、②部分的面积和4为丄X 10X10=50,所以阴影部分的面积为157—50= 107（平方厘米）.28. 如图15-7,在3x3的方格表中，分别以A、E为圆心,3、2为半径,画出圆心角都是90°图 15-8的两段関呱.图中阴影部分的面积是多少？（"取3.14）EF图 15-7解析：(3x3-3.14x32-4)-(2x2-3.14x22-4)=1.0759. 如图15-8,在一块而积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7个同样大小的圆铝板.问: 余下的边角料的总面积是多少平方厘米？解析：首先算出大圆和小圆的面积比，设小圆的半径为门则大圆为3「大圆面积：小圆面积=^（3r）2 :岔2 =9：1小圆的面积为36+9 = 4余下边角料的而积为：36-7x4 = 8平方厘米10. 一条宜线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I （图15-9）.让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°示到达长方形］I的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置.求A点经过的总路程的长度.（|员I周率按3计算）A B C D E图 15-9解析：三次转动，每次A点走的都是四分Z—个圆周，只是圆周的半径不一样。

第一次半径 为4厘米，第二次半径为长方形的对角线，半径为5厘米，第三次半径为长方形的宽3厘米—x2;rx4 +—x2;rx5 +—x2龙 x3 = 18 厘米4 4 4拓展篇1. （1）己知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14,这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长.（Ji取3.14）72解析：1•由弧长公式/ = —x2^r得扇形为四分之一圆3601 9 1面积为：-x^2=-x3.14x4 = 3」4平方厘米4 42. 首先算出來半径，56.52x2一3.14 = 36,半径为6厘米3. 半圆的周长为：3.14x6 + 6x2 = 30.84厘米2.如图15-10,求各图小阴影部分的而积.（图中长度单位为厘米，"取3.14）解析：1•利用平移法，阴彩的面积等于三角形面积的一半10x10*2*2 = 25平方厘米2.先用分割法，将匸方形分割为四个小正方形，在一个」［•:方形中考虑重叠，阴影的年级为一 个小圆面积的一半减去正方形的面积3.14x12*2-1x1 = 0.57 平方厘米0.57x4 = 2.28平方厘米3. 如图15-11,直角三角形ABC的而积是45,分别以B、C为圆心，3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是35.5&请问：角A是多少度？ (Ji取3.14)解析：利用三角形内角和为18()度。

以A点为原点，半径3厘米的扇形血积为：3.14x32 一2-(45-35.58) = 4.71平方厘米A图 15-11471-(3.14x32)x360 = 60 度4. 图15・12是一个肓径是3厘米的半圆，AB是直径.如图15・13所示，让A点不动，把幣 个半圆逆时针转60此时B点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方炬米？图15・13(Ji取3」4)S 15-14解析：经过转化，阴影部分的面积就是扇形ABC的面积-x3.14x32=4.7 1 平方厘米65. 图15-14 •!'的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如 果每个圆的半径祁是1丿亜米，那么阴影部分的总而积是多少平方厘米？图 15-15解析：我们可以将图中空口部分分成8个形状相同、面积相筹的小图形 其在圆内的位置如下图，有弓形=部分面积为丄圆与等腥直角三角形ABO的面积差,4即为-Xl2x 31 --X 1 X 1 1 X3.14-0.5=0.285.4 2 4原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个€^＞的面积,即8个 的面积，而阴影部分血积乂是整个图形血积减去4个的面积，即8个 的血积.那么，原题图中阴影部分面积为4个圆面积减去16个的面积.所以，原题图中阴影部分总面积为4X 12X 31-16X0.285^4X3.14-4.56=8（平方厘 米）.6. 图15・15中有一个等腰宜角三角形ABC, —个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半 径的扇形.已知AB二BO10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（Ji取3.⑷ 解析：我们通过对图形的分析可以看出用宜旳三角形的面积减去扇形的面积，就为半圆内的 空白部分，再用半圆的面积减去空白就可以了。

3.14x（10*2）2*2 —（丄 xlOxlO— 丄 x3.14xl（）2） = 28.5 平方厘米2 8图15・16中阴影部分的面积是多少？（门取3.14）7. 图15-16是山一个圆与一个点角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4.图解析：就是用扇形的血积减去里血正方形的血积—x3.14x42 - 4x4*2 = 4.5648. ⑴如图15-17,已知外面大圆的半径是4,求正方形以及里面小圆的面积.（答案用Ji表 示）（2）已知图15・18中正方形的边长为2,分别以其四个顶点为圆心的点角扇形恰好交于正方形中心,求图中阴影部分的面积.（答案用“表示） 解析：1.里面正方形的面积为4x2x2x4-2 = 32图 15-17图 15-18图 15-19鬪的面积为：龙乂32一4 = 8龙2.扇形的半径为正方形对角线的-半用正方形的面积减去一个扇形的面积，就可以得到一 个空口的面积2x2-（-x2x2一一^x2）x4 = 2^-42 49. 图15-19中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.请问：两个阴影部分的面 积之差是多少？（"取3.14） 解析:用长方形的面积减去四分之一圆的面积就可得到人阴影加上小四分之一圆减去上而阴 影的面积-x3.14 x52-5x2--x3.14x22 =6.4854 410. （1）根据图15・20中给出的数值,求这个图形的外周长和而积.（Ji取3.14）（2）如图15-21,冇七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？ （Ji取3.14）图 15-20解析：1•周长为一个圆的周长加上一个长方形的周长2x3.14x1 + （4 + 2）x2 = 18.28面积为 3.14x12+4x4 + 1x2x2 = 23.14 2.3.14x5 + 5x6 = 45.7 厘米11. 如图15-22, 一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置.小狗的活动范I韦I是多少平方米?（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计,解析：如图，小狗的活动范围是b、c、d、£五个部分，都是扇形，其中b和e—样,c 和 d —样。

所以活动范围的总面积为252 72 72S + Sh + S. + Sd + Se = x^xlO2 +——x^x62x2 +——x^x22x2° b c <1 e 360 360 36072 q70龙+—龙+—龙=86龙=25反5 5b12. （1）图15-23中正方形的边氏是4厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周 又冋到原来位置时，扫过的面积有多人？（门取3.14）动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大?（2）图15・24中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚解析：1.远走过的面积就是四个长方形，加上一个半一® U-23_走过的而积4x4x2 + 3」4 x2? =44.56平方厘米 2.雨中你走过的面积就是三个长方形加上一个半径为2的圆走过的面积 3x3x2 + 3.14x22 =30.56平方厘米超越篇1.如图15-25,边长为4的正方形中依次挖去了四个半圆.阴影部分的而积是多少？（答案 用口表示）8图 15-262.如图15-26,直角三角形的三条边长度为6、8、10,它的内。