实验最小光照点的确定.ppt

实验4 最小光照点的确定• 内容提要 • 本实验将数学软件计算有关函数最小值的应用问 题,以此说明函数极值、最大（小）值的确定方法 ，有关函数的极值、最大（小）值的理论知识请 参见第二章第九节 • 问题的提出 • 现有两个等强度的光源A、B相距10m（图18）已 知单光源对某点的光照强度与光源的强度成正比 ，与光源到该点的距离的平方成反比设线段CD 与AB平行并相距d ｍ，其中ＡＣ和ＢＤ均与ＡＢ 垂直现要段ＣＤ上求光照强度最小的一点P 最小光照点的确定• 实验的步骤 • 首先设Ｐ点与Ｃ点相距为ｘ ｍ，再不妨设两个光 源强度为一个单位比例系数为１，从而建立Ｐ点 光照强度为函数ｆ（ｘ）• 再m mathematica环境下，键入:最小光照点的确定• 并运行，现在的问题即为求f(x)的最小值由最小值 的计算方法可知先要求出所有的极值点由于f(x) 可导，故极值点必为驻点，因此，只需要求出f(x) 的零点，为此键入:• 并运行，即得得零点为:最小光照点的确定• 从（４）式易知ｘ4，ｘ5为复数，再从（３）可 知当－25－ｄ＋1０ ≥０即ｄ≤ 为实数 ，当－25－ｄ＋１０＜０即ｄ＞ 为复数。

• 为了利用极值得第二充分条件，我们判断f＂（x ）在这些驻点的符号，将ｘ1，ｘ2，ｘ3的表达式 （2）和（3）代入后，得到以３个以d作为自变量 的函数，我们把这３个函数记为 g1(d),g(2d),g3(d)，易知它们的定义域分别为［ ０，＋∞］，（０，５］，（０，５］，最小光照点的确定• 由此键入:• 运行后我们再分别在［０，１０］及［０，５］ 内作出ｇ1（ｄ）及ｇ2（ｄ）、ｇ3（ｄ）的图形 （如图１９）,键入 :最小光照点的确定• 运行后出现红色的警告信息，这些信息表示ｇ ２（ｄ）和ｇ３（ｄ）在ｄ＝０处无意义事 实上易知当ｄ＝０时，ｘ２＝０，ｘ３＝１０ ，而从ｆ（ｘ）的表达式（１）可知，ｆ（ｘ ）此时无意义，从而二阶导数ｇ１（ｄ）、ｇ ２（ｄ）和ｇ３（ｄ）在ｄ＝０处也无意义最小光照点的确定为确定g1（d），g2（d）和g3（d）的符号，我们求 出它的零点，即键入：运行后知三个函数均有相同的唯一零点５，再借助 它们的图形可知，只有ｇ１（ｄ），即ｆ“（ｘ１）， 当ｄ＜５时大于零，从而可知ｘ１＝５为唯一的极值点 ，故最小值为ｍｉｎ｛ｆ（５），ｆ（０），ｆ（１０ ）｝，而ｆ（５）＝通过计算可得：最小光照点的确定• 由此推得，当０≤ｄ＜５时ｆ（５）＜ｆ（０）＝ ｆ（１０）；当ｄ＝５时ｆ（５）＝ｆ（０）＝ ｆ（１０）；当ｄ＞５时ｆ（５）＞ｆ（０）＝ （１０）。

• 因此得到结论：当０≤ｄ≤５时，得ｆ（ｘ）最小 值点为ｘ＝５；当ｄ＝５时，得ｆ（ｘ）最小值 点为ｘ＝０、ｘ＝５及ｘ＝１０；当ｄ＞５时； 得最小值为ｘ＝０和ｘ＝１０最小光照点的确定• 为了清楚得观察函数图形得变化情况，我们用命令 作出时函数得图形立即键入：• 从图形上可进一步清楚地看到其极值点的变化情况 （如图２０） • 本题如果不使用计算机帮助计算和显示图形，解题 过程将非常复杂，而且也难以对付函数的变化情况 有如此清晰的了解；但是反过来，如果仅利用计算 机而忽视理论的推导，我们也无法得到满意的结果 只有两者的结合才能达到有效、便捷的效果。