矩阵迹的性质与应用.doc

矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某指导老师：某某摘 要：根据矩阵迹的定义，首先给出了矩阵迹的性质，然后依据方阵的F —范数定义Cauchy — Schwarz 不等式，给岀了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法 矩阵的迹在解题中的应用给出了实例关键词：迹矩阵范数特征值1引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工 具本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质， 然后给出了零矩 阵，不相似矩阵，数幕矩阵，列矩阵，幕等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩 阵的应用给出实例2预备知识n定义1 设人二⑻）Cnn，则trA aH称为A的迹i£定义2 设 人=@耳）・Cn n，记与向量范数 AX 2相容的A的F —范数为：n n 2 1》aj1 )2i =1 j i(1) A^O二 A 尸 aO ⑵ |ka|f =K ||A|F,\7KEC⑶ |a + b|f WIAL +||B|F,$ABECn⑷ |ab f 乞 af |b F, -a,b Cn n(5) |AX〔2 勻 Af UI2引理：矩阵迹的性质：1 tr （A 二 B）二 trA - trB证明：设in i h i hA =(引)佃，B = (bj )代则 tr(A)=》an，tr (B)=为 0，tr (A ± B)=为 佝二0)i=1 i=± i=1i -n i -n i -n又 tr(A) 土tr(B)=迟 aH ±S bH =S 佝 +6)7 i 4 i —所以 tr(A _B) =tr(A) _tr(B)得证2 tr(kA)二k trA ( k为任意常数)证明：设人=佝人n则tr(A)八 aH.k tr(A)二 k' aii；tr(kA)=為(k aj =k' a.tr(kA) = k tr (A)由( 1)与(2) 知 tr(mA _nB) = m tr (A) _n tr (B),m, n C3 tr(AB) =tr(BA)证明：设 A = (aj )n n, B = (bj )n nk z=n则 AB =(cij)n n，其中 cij - ' aik bkj 所以有 t「(AB) = ' ' aj bjik 二k =nBA=(dj)nn其中 dj \ bk Qkj ,所以有 tr(AB)八a0 口k=1.tr(AB) =tr(BA)得证4 trA = trA证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。

n n5 tr(A2)八、aqajii二 jm证明：令(3)中B = A即可得证n n6 tr(AA)八、ai2i=1 j =1证明：令(3)中B = A'即可得证n7 trA = »利('i是A的特征值)i =1佃 0证明：由若当定理知 Anj = *工*打>n因为相似矩阵迹相等，所以 trA=v \i 4 n8 tr(A2)八 fi 4证明：设矩阵A的特征值为’1,……，'n2 -2 , 2则矩阵A的特征值为’1,……，‘ n则由(7)即可得证9 若 A~B,则 trA 二trB;特别，tr(T’AT)二trA(下面定理有证明)10 若 A=0，||A||>0，则 trA ■ 0有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用3解题中的应用例1设A,B为同阶实对称矩阵，若 A-B正定，则A和B不相似证：假设代B相似，则由性质9知，trA二trB再由性质 1 得 tr (A - B) = trA - trB =0故由性质10知A-B不是正定阵，与已知矛盾！从而，A和B不相似例2设n阶矩阵A的对角线上元素全是1,且其特征值为复数，求证 |A^1证：设i(i =1,2, ...n)为A的全部特征值，且 打―0,i=1,2，…n,则有|A F i 2 ..'.n tr,A(= ) 1 ■ 2 n...又A的主对角线上的元素全是 1，知tr (A)二n则订 2.jJi2...n n所以| AH ' 1 2... ' n - 1 °例3已知n阶方阵A,若对所有的n阶方阵X有tr(AX) = O,则A = 0。

l=kI = k证：设 A = 0 ,则有某 akm 北 0作矩阵 X = (Xj)，使Xmk = 1, (i, j) = (m,k)时，Xj = 0 则矩阵AX主对角线上的元素akm,0,nCII =为 aisXsi — *s4ntr(AX) Cii 二 akm =°与已知矛盾！故 A=0I 4例4设A - (aij) n n， A的特征多项式为丸E _ A =疋 +bn»2 + …+bA + b，则 bn』=-trA证因为1 扎一C «_ai2_ain 1_a21九_ *22…_a2 n--可1—a ■ ■ b叫2九 - ann _七22十…•%)宀r(—1)，E a 二■ ' ■ (a11ndetA所以 bn 1 = _(a11 a2^ 為)八trA例 5 设 A , B , C 都是 n n 矩阵，且 AC 二 CA , BC 二 CB , C 二 AB - BA ,则存在不大于n的自然数m,使得Cm =0证：先证trCk =0. ( k为任意自然数)Ck =Ck° (AB - BA)二 A(Ck，B) -(Ck4B)A (1)由(1)和性质 1、3 得：trCk 二tr Ack‘B Ltr〔C^B 0再证C的特证值都等于0。

设C的特征值为’「鼻…，’..则存在可逆矩阵T，使C=T」 匕 T■0 打一所以丁丄| * T,（k =0,1,2,…）0 带从而 0 =trCk = M+鸥+■■' + 瞪 （k=1,2,…） （2）不失一般性，设C的互异的非零特征值为 「，，2…，’s，且重数分别为A,r2…，rs则⑵式变为:0 =「| *+r2鸥 +…+rsH (k=1,2,…)s.2取前S个等式，因为范德蒙行列式丄0，因此「1二「2二=rs = 0即非零特征值都是0重,故C的特征全为0Ji =再证Cm由于C的每个若当块都形如i =1,2/ ,t.因此J1Jk令：m = maxh, n2,n 则 Cm =t 4T =0例6满足P2二PJtm的矩阵P叫做幕等阵，试证：幕等矩阵的迹与秩相等证:设n阶阵P为幕阵，且P的秩R P =r ,则P的特征值是0或1 ,且P具有 n个线性无关的特证向量，因而，P与对角阵相似■1故必有满秩阵T存在，使p = TT -10上式右端的对角阵的秩等于 p的秩r ,即该矩阵中的对角元素（p特征值）有r个为1 ,n - r个为0故由性质7知trP =1川…：卜1 0…0 = r例7设有n阶实对称矩阵 A ,若A_0，则有trA_O。

证：因为A_0 ,所以A 半正定,故存在n阶矩阵u其中a =（q1，…,qin）是第i个行向量（i =12…,n）,使得A = 2于是 trA^tr |Q F -0又因为-n维列向量X =（xn ,xnr Rn,有2XAX kXQ QX 二 QX QX 二 QX|2昭为 + …+ qmXnl 「(a1,X)[QX = = …6人 + …+ qnnXn 一 [_&公)_由Cauchy - Schwarz 不等式知， q,X - ai 2 X 22所以|QX|2 =迟|(ai,X辽 送ai2 X^QF X2 2 2 2即 |QX||2 勻Q||f||x|2 =(trA 凶2 =(trA )XX从而 X AX E trA X X 二 X trA EX故有trA E 一 A例7设A为一个n阶矩阵，A的主对角线上所有元素的和称为 A的迹，记作trA .证明:如果对任意的n阶方阵X，都有tr（AX ） = 0，贝U A = 0证：设A ，取X ^A ,则n n n n2tr(A A)二'、aik aik 八 ' |aik 1 0i」k4 y k4所以 ak =0,i，k =1,2,川,n.即A=0例8证明：不可能有n阶方阵A, B满足AB - BA = E证：设勺11川丸'仏川bm 'A =+ b 4+ r 1，B =+ b 4+ r 1fn 1 HI ann /lbn 1 川 bnn J为任二n阶方阵，则 AB主对角线上的元素为n n n—aiibi,._ a2ib2,HI,._ anibini吕 i i吕它们的和为n n——a ji biji 4 j =1同样，BA的主对角线上元素的和为n n nb2jaj2』丨 '' bnjajnj 1 j 1 j 1n n n n=为》hj引=£》砂mi j i £ j 仝•但亦即AB与BA的主对角线上元素的和相等，从而 AB - BA的主对角线上元素的和为零是，单位方阵E的主对角线上元素的和为 n = 0,因此AB - BA = E4下面介绍一些有关矩阵迹的定理定理 1 Cauchy-Schwarz 公式：设A,B都是n阶矩阵，则有证明：设a二⑹代,……,an]T, b二[bd……,bn]T则由向量的内积定义式 Ia,b】=a|| b cos日，其中日为a与b的夹角#n 即ab t ai2]1/2L b2]1/2。

i 4推广到矩阵的迹的形式，即为 tr(f B)乞[tr(AT A)]1/2[tr(BTB)]"2定理2 schur不等式设设A是n阶矩阵，则有tr(A2)空tr(ATA)_2证明：因为 (A_AT)】=(A_ AT)(A_ AT) =A2 _ATA_AAT (AT)2又因为A - AT是反对称矩阵，故有T 2tr(A-A ) <0.tr(A2)岂 tr(ATA)定理3设A, B为n阶对称矩阵，则有tr(AB)冷tr(A2 • B2)证明：由Cauchy-Schwarz公式可知tr(AB)乞[tr(A2)]1/2[tr(B2)]1/2又[tr(A2)]1/2[tr(B2)]1/2 #[tr(A2+B2)]即得1 2 2tr(AB) tr(A2 B2)2定理4设代B,C都是n阶实对称矩阵，则有tr(ABC)二tr(ACB)二tr(BAC) =tr(BCA) =tr(CAB) =tr(CBA)证明：Ta, B,C都是n阶实对称矩阵，又由引理2可得tr(ABC)二tr(ABC)T =tr(CTBTAT)二tr(CBA)又由引理3可得tr(ABC) =tr(BAC) =tr(CAB)冋时有tr(CBA)二tr(BAC) =tr(ACB)即可得结论。

定理5设n阶矩阵A的所有特征值都是实数，且 trA2 0，若A恰有k个特征值，则(trA)2trA2证明：设A的n个特征值为•仆匕,111, 'n因为trA2 .0 ,由引理1知k 0A的特征值为^2, ■ 2? , | H , 'n2不为零，。