材料力学课件：第 10 章 能量方法.ppt

第 10 章 能量方法,10-1 概述,10-2 杆件变形能的计算,10-3 变形能的普遍表达式,10-4 互等定理,10-5 卡氏定理,10-6 虚功原理,10-7 单位载荷法,10-8 计算莫尔积分的图乘法,能量原理,变形固体力学中，与功和能量等概念有关的一些定理10-1 概述,用能量原理计算构件各种变形、分析静不定结构，非常方便,能量原理的依据是，构件受载后变形，构件储存的变形能U 等于外力所做的功W，所用的基本方程是：,基本条件：,1、外力缓慢地由零增加到最终值2、在弹性范围内，变形能可逆，,* 超过弹性范围，塑性变形会耗散部分能量，此方法不适用,,返回本章首页,10-2 杆件变形能的计算,轴向拉压,,轴力P与轴向变形成正比,当轴力N沿轴向为变量时,,返回本章首页,10-2 杆件变形能的计算,圆轴扭转,,扭矩与扭转角成正比,当扭矩沿轴向为变量时,纯剪切,,返回本章首页,10-2 杆件变形能的计算,图示纯弯曲,,弯矩与转角成正比,横力弯曲时，同时有弯曲变形和剪切变形,对细长梁，可不计剪切变形能,,返回本章首页,10-2 杆件变形能的计算,写成统一形式,式中P为广义力， 为广义位移。

返回本章首页,10-3 变形能的普遍表达式,克拉贝依隆原理,线弹性体的变形能等于每一外力 与其相应位移乘积的二分之一,从以上方程可知：,变形能是广义力的二次齐次函数,,返回本章首页,10-3 变形能的普遍表达式,杆件拉伸、弯曲和 扭转的组合变形定义广义力分别为：,此时的广义位移分别为：,,返回本章首页,10-4 互等定理,,根据克拉贝依隆原理,,返回本章首页,10-4 互等定理,,,,返回本章首页,10-4 互等定理,,,,返回本章首页,功的互等定理,第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功,例：,第一组力：m,第二组力:P,第一组力引起的 位移y1、1,第二组力引起的 位移:y2、2,,返回本章首页,功的互等定理,例：,第一组力：m,第二组力:P,第一组力引起的 位移y1、1,第二组力引起的 位移:y2、2,求m作用在A截面时，B截面的挠度y1,在B截面作用力P=1,,返回本章首页,位移互等定理,,返回本章首页,,一般能量守恒原理：可以确定加力点 沿加力方向的位移,外力功 W＝U系统的应变能,能解决什么问题？,,返回本章首页,,功 的互等定理,能解决什么问题？,定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。

返回本章首页,,功 的互等定理,能解决什么问题？,定理：一个力系的力在另一个 力系引起的相应的位移上所作 之功等于另一个力系的力在这 一个力系引起的相应的位移上 所作之功返回本章首页,10-5 卡氏定理,结构因外力作用而产生的变形能为：,结构变形能的增量为：,,返回本章首页,10-5 卡氏定理,略去高阶微量：,设第一组力为：,设第二组力为：,由互等定理有：,极限情况下为：,,返回本章首页,适用于线弹性结构的卡氏定理,横力弯曲：,桁架结构,,返回本章首页,, 卡氏第二定理,对于线性问题,卡氏第二定理,,杆件或杆件系统变形能对于某个广义 力的一阶偏导数，等于这个力作用处、 与该广义力对应的广义位移返回本章首页,卡氏定理应用举例,,返回本章首页,卡氏定理应用举例,,在A截面虚加一力偶 m,,返回本章首页,, 卡氏第二定理,线弹性材料悬臂梁，受力 如图所示，若FP、EI、l等 均为已知，试用卡氏第二定 理求：1.加力点A处的挠度；2.梁中点B处的挠度卡氏第二定理的应用,1.加力点A处的挠度,对于线性问题，梁内的应变能为：,,例 题,,返回本章首页,, 卡氏第二定理,2.梁中点(非加力点)B处的挠度,在B处施加与所求挠度方向 相同的假设力F,梁内的应变能为：,,卡氏第二定理的应用,例 题,,返回本章首页,关于卡氏第二定理的讨论, 结论与讨论,,B点和C点向下位移之和,B点向上和C点向 下的位移之和,C点向下位移的两倍,,返回本章首页,关于卡氏第二定理的讨论, 结论与讨论,,B点向上与向左 的位移之和,挠曲线与x轴所围面积,,返回本章首页,,返回本章首页,10-6 虚功原理,虚位移,构件在平衡位置再增加的位移,在虚位移中，构件上的原有外力和内力不变， 且始终保持平衡,在虚位移应满足边界条件、连续条件和小变形要求。

虚位移是构件可能发生的位移构件上的各力由于虚位移而做的功称为虚功返回本章首页,10-6 虚功原理,微段在虚位移中有刚性虚位移和虚变形，,由于作用于微段上的力系（外力和内力）是一个 平衡力系，根据质点系的虚位移原理：,平衡力系在刚性虚位移上做功总和为零 平衡力系在虚变形中做功为：,,返回本章首页,10-6 虚功原理,虚功原理,在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应 虚变形上所做虚功在虚位移中，外力所做虚功等于杆件的虚变形能返回本章首页,10-6 虚功原理,推导虚功原理，未使用应力应变关系， 所以虚功原理与材料性能无关，可用于线 弹性材料，也可用于非线弹性材料,一般表达式,,返回本章首页,10-7 单位载荷法、莫尔积分,基本方程式,,返回本章首页,10-7 单位载荷法、莫尔积分,在抗弯为主时,在拉压情况下,在扭转情况下,,返回本章首页,10-7 单位载荷法、莫尔积分,弹性条件下,莫尔积分式为：,,返回本章首页,10-7 单位载荷法、莫尔积分,例1：图示梁中部作用P力，求B截面转角？,求B截面转角，在B截面加一单位力偶,,,返回本章首页,10-8 计算莫尔积分的图乘法,例1：图示梁中部作用P力,图示梁的弯矩图,图示积分式中，至少有一方程是线性函数,,返回本章首页,10-8 计算莫尔积分的图乘法,例1：图示梁中部作用P力,,返回本章首页,10-8 计算莫尔积分的图乘法,例1：图示梁中部作用P力,,返回本章首页,10-8 计算莫尔积分的图乘法,计算莫尔积分的图乘法注意事项,,返回本章首页,图乘法应用举例,1.求图示梁自由端位移,2.求图示梁自由端转角,,返回本章首页,图乘法应用举例,,返回本章首页,互等定理应用举例 习题3-13,3-13 圆柱体受轴向拉伸，已知F、 L 、d以及弹性常数E ; 试求圆柱体的体积改变量。

设想：圆柱体受均布力q 作用时，长度改变为：,,返回本章首页,克拉贝依隆原理,互等定理,卡氏定理,莫尔积分,图乘法,有关能量原理的基本公式,,,返回本章首页,本章作业,10-01 ,10-03 , 10-04,10-7a, 10-9a , 10-17a,10-22, 10-29 , 10-32,,返回本章首页,本 章 讨 论 区,,返回本章首页,结论与讨论,关于应变能的计算,,,计算应变能时能不能应用叠加原理, 不能；  能；  有时能，有时不能；,什么时候能，什么时候不能？－请读者结合具体问题加以分析研究,,返回本章首页,结论与讨论,,计算应变能时能不能应用叠加原理,M 和 F 引起的应变能是不是等于二者 引起的应变能之和？,如果将 M 换为扭转力偶 Mx; , Mx 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应 变能之和？,,,返回本章首页,,一般能量守恒原理：可以确定加力点 沿加力方向的位移,外力功 W＝U系统的应变能,能解决什么问题？,,返回本章首页,结论与讨论,,关于互等定理,?,,返回本章首页,结论与讨论,,关于互等定理,百分表,悬臂梁受力如图示现用百分表测量梁在各处的挠度，请设计一实验方案。

移动百分表； 固定百分表？,,返回本章首页,结论与讨论,,关于互等定理,实心圆柱体承受 轴向拉伸，请分析 有几种方法可以确 定其体积改变量？,,返回本章首页,应用举例,3-13 圆柱体受轴向拉伸，已知F、 L 、d以及弹性常数E ; 试求圆柱体的体积改变量设想：圆柱体受均布力q 作用时，长度改变为：,,返回本章首页,,功 的互等定理,能解决什么问题？,定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功返回本章首页,,功 的互等定理,能解决什么问题？,定理：一个力系的力在另一个 力系引起的相应的位移上所作 之功等于另一个力系的力在这 一个力系引起的相应的位移上 所作之功返回本章首页,单位载荷法、莫尔积分,例1：图示梁中部作用P力，求B截面转角？,求B截面转角，在B截面加一单位力偶,,,返回本章首页,,莫尔法（莫尔积分）,例 题 1,图示结构中，杆的弯曲刚度 均为EI，FP、 EI均已知求：A、B两点的相对位移,(不考虑轴向力和剪力的影响),应用举例,,返回本章首页,,莫尔法（莫尔积分）,例 题 1,1.确立单位载荷系统：,加什么单位力？ 加在哪里？ 加在什么方向？,2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：,要不要分段？怎样分段？ 建立坐标系？ 充分利用对称性？,应用举例,,返回本章首页,,莫尔法（莫尔积分),例 题 1,1.确立单位载荷系统：,2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：,应用举例,,返回本章首页,,莫尔法（莫尔积分）,例 题 1,1.确立单位载荷系统：,2.建立载荷与单位力引起的内力表达式：,应用举例,,返回本章首页,,莫尔法（莫尔积分）,例 题 2,平面结构，空间受力， 已知：F、R、d、E、G， 求：加力点沿加力方向的 位移。

加什么单位力？ 加在哪里？ 加在什么方向？ 怎样建立坐标系？,？,,返回本章首页,, 图 乘 法,例 题 1,刚架受力如图示，已知： 横杆弯曲刚度为2EI，竖杆 弯曲刚度为EI、拉伸刚度为 EA、载荷集度q、长度l求：B点的水平位移,采用图乘法：怎样加单位力？ 哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？ 怎样相乘？,应用举例,,返回本章首页,, 图 乘 法,例 题 1,求：B点的水平位移,载荷系统,单位力系统,应用举例,1,,返回本章首页,, 图 乘 法,例 题 1,载荷系统内力图,应用举例,,返回本章首页,,例 题 1,单位力系统内力图, 图 乘 法,应用举例,1,,返回本章首页,,例 题 1,图形互乘,,,,,,,,,,, 图 乘 法,应用举例,,,返回本章首页,,例 题 1,载荷系统内力图与单位力系统 相同的内力图互乘,图形互乘,,,,,,, 图 乘 法,应用举例,,返回本章首页,,例 题 1,结果与比较,轴力与弯矩引起的位移比较,对于矩形截面：, 图 乘 法,应用举例,轴力影响较小,,返回本章首页,D,图形互乘法中弯 矩图的一种画法, 结论与讨论,采用图形互乘法求D点处的铅垂位移, 分几段？, 各段面积的形心 怎样确定？,,,返回本章首页,D,图形互乘法中弯矩图的一种画法, 结论与讨论,,采用图形互乘法求D点处的铅垂位移,弯矩图容易画；,各段面积和形心容易确定；,3,,返回本章首页,,例 题 2,平面结构空间受力， AB和BC两杆具有相同 的刚度，且EI、GIP、 l、F等均为已知。

求：1. A端的铅垂位移；2. A端绕BC 轴线的转角采用图乘法：怎样加单位力？ 哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？ 怎样相乘？, 图 乘 法,应用举例,,返回本章首页,,例 题 2,求：1. A端的铅垂位移；2. A端绕BC 轴线的转角求A端铅垂位移,求A端绕BC 轴线的转角,单位力系统, 图 乘 法,应用举例,,返回本章首页,,例 题 2,载荷系统内力图, 图 乘 法,应用举例,单位力系统内力图,单位力偶系统内力图,,返回本章首页,图形互乘,,例 题 2,载荷系统内力图与单位力 系统相同的内力图互乘,弯矩图互乘,求A端的铅垂位移, 图 乘 法,应用举例,,返回本章首页,,图形互乘,,例 题 2,扭矩图互乘,求A端的铅垂位移, 图 乘 法,应用举例,,返回本章首页,。