§10-3--单自由度体系的强迫振动.pdf

第第10章 结构动力计算基础章 结构动力计算基础主要内容主要内容1§§10-1 动力计算的特点和动力自由度§动力计算的特点和动力自由度§10-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动§§10-3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动§§10-4 阻尼对振动的影响§阻尼对振动的影响§10-5 多自由度体系的自由振动§多自由度体系的自由振动§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动§多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动§10-7 振型分解法振型分解法①：简谐荷载②：瞬时冲量①：简谐荷载②：瞬时冲量/一般荷载③：典型荷载(一般荷载③：典型荷载(突加/短时/线性渐增突加/短时/线性渐增) )2 2m§§10-3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动强迫振动强迫振动(受迫振动受迫振动)：：结构在动力荷载作用下的振动结构在动力荷载作用下的振动ky(t)ymkyym P(t )mP(t )P(t )弹性力弹性力－ky、惯性力惯性力ym 和荷载和荷载P(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(atPkyym 2( )P tyym 2( )P tyym 单自由度体系强迫振动 的微分方程单自由度体系强迫振动 的微分方程一、简谐荷载一、简谐荷载mtFyy  sin2  tAy sin 特解特解：tmFtAtA   sinsinsin22tmFtAsinsin)(223 一、简谐荷载一、简谐荷载mtFyy  sin2  tAy sin 特解特解：tmFtAtA   sinsinsin22tytmFyst sin)1 (1sin)1 (22222最大静位移最大静位移yst(是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所 产生的位移）。

是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所 产生的位移）tmFtAsinsin)(22)(22mFAFmFyst24tyystsin1122特解特解可写为：可写为：通解通解可写为：可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时的时的初始位移初始位移和和初始速度初始速度均为零，则：均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段由于过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段由于阻尼的阻尼的存在）存在）按自振频率振动按自振频率振动按荷载频率振动一、简谐荷载按荷载频率振动一、简谐荷载5 动力系数动力系数=最大最大动位移动位移/最大最大静位移静位移平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移最大动位移(振幅振幅)为：为：22max11][styy22max 11][ styy动力系数动力系数β为：为：1023123 重要的特性：重要的特性：  当当θ/ω→0时时,β→1，荷载变化 得很慢，可当作静荷载处理。

荷载变化 得很慢，可当作静荷载处理  当当01，并且随，并且随 θ/ω的增大而增大的增大而增大622max 11][ styy动力系数动力系数β为：为：1023123重要的特性：重要的特性：  当当θ/ω→0时时,β→1，荷载变化得 很慢，可当作静荷载处理荷载变化得 很慢，可当作静荷载处理  当当01，并且随，并且随θ/ω 的增大而增大的增大而增大  当当θ/ω →1时时,β→∞即当荷载频 率接近于自振频率时，振幅会 无限增大即当荷载频 率接近于自振频率时，振幅会 无限增大称为“共振共振”通 常把”通 常把0.751时时,β的绝对值随的绝对值随θ/ω 的增大而减小当的增大而减小当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应很大时，荷载变化很快，结构来不及反应动力系数动力系数=最大最大动位移动位移/最大最大静位移静位移7 当当动荷载动荷载作用在作用在单自由度体系单自由度体系的质点上时，由于体系上的质点上时，由于体系上各截面的内力、 位移各截面的内力、 位移都与都与质点处的位移成正比质点处的位移成正比，故，故各截面的最大动内力和最大动位移各截面的最大动内力和最大动位移可采用 统一的动力系数，只需将可采用 统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。

按静力方法来计算即可例：已知例：已知m=300kg，，EI=90××105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的最大动位移及最大动弯矩求梁中点的最大动位移及最大动弯矩2mEIm kPsinθt2m解：解：1)求求ωkEIl 21 21 48321EIl EIl EIl 1925 19248333 1 316.13451921smlEI m2)求求β552. 1112233 3 max51.55220 105 45.75 10192 90 10ymP     3)求求ymax，， Mmaxmax111.55220 430.44.44PMlkN m 8例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，， E=2.1××104kN/cm2在跨度中点有电动机重量在跨度中点有电动机重量Q=35kN，，转速转速 n=500r/min由于具有偏心，转动时产生离心力由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，，P的竖 向分量为的竖 向分量为Psinθt。

忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最 大挠度和最大正应力忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最 大挠度和最大正应力梁长l=4m） 解：） 解：1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022）求动力系数）求动力系数β88. 5 4 .573 .5211112222EIPl EIQlystst484833maxWlPQ WPl WQl 4)( 44maxstg 175.6MPa必须特别注意，这种处理方法必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点 上受干扰力作用的只适用于单自由度体系在质点 上受干扰力作用的情况对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法必须特别注意，这种处理方法必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点 上受干扰力作用的只适用于单自由度体系在质点 上受干扰力作用的情况。

对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法9例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，， E=2.1××104kN/cm2在跨度中点有电动机重量在跨度中点有电动机重量Q=35kN，，转速转速 n=500r/min由于具有偏心，转动时产生离心力由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，，P的竖 向分量为的竖 向分量为Psinθt忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最 大挠度和最大正应力忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最 大挠度和最大正应力梁长l=4m） 解：） 解：1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022）求动力系数）求动力系数β88. 5 4 .573 .5211112222WlPQ WPl WQl 4)( 44maxstg 175.6MPaI22b I=3570cm4357039.739.71.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振， 又能获得较好的经济效益。

对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振， 又能获得较好的经济效益W=325cm3149.210 二、一般荷载二、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量瞬时冲量的动力反应来推导的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应、瞬时冲量的动力反应设体系在设体系在t=0时静止，然 后有瞬时冲量时静止，然 后有瞬时冲量S作用P(t)tP瞬时冲量瞬时冲量S引起的振动可视为 由初始条件引起的自由振动 由动量定理：引起的振动可视为 由初始条件引起的自由振动 由动量定理：mtP mSv000yΔt sincos)(0 0 tvtytytmStysin)( Δt τ tt't'tmStysin)()(sintmStPSmv0011 P(t)t τd dPdS)(τ时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t瞬时瞬时(t >τ)引起的动力反应引起的动力反应: ( )sin()dyω tτmωP τ dτ初始静止状态的单自由度 体系在任意荷载作用下的 位移公式初始静止状态的单自由度 体系在任意荷载作用下的 位移公式:dtPmtyt)(sin)(1)(0杜哈梅杜哈梅(J.M.C. Duhamel)积分积分初始位移初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零不为零在任意荷载作用下的位移公式在任意荷载作用下的位移公式:00 01( )( )sincossi()ntvyωtωy tP τω tτ dωτtmωt2、任意荷载、任意荷载P(t)的动力反应的动力反应12①突加荷载①突加荷载  0,0, 0)(0tPttP当当P(t)tPdtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyt)(sin1)( 00)cos1 ()cos1 (20tytmP styst=P0δ=P0 /mω2ysty(t)ωt0π2π3π 质点围绕静力平衡 位置作质点围绕静力平衡 位置作简谐振动简谐振动2max[ ( )]sty t y   3、几种典型荷载的动力反应、几种典型荷载的动力反应13②短时荷载②短时荷载 ututPt tP, 00,0, 0 )(0P(t)tPu 阶段Ⅰ阶段Ⅰ(0u)：无荷载，体系：无荷载，体系以以t=u时刻的位移和速度为时刻的位移和速度为初始条件作自由振动初始条件作自由振动。

)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)(sincos )(0 0tvtytycoscos()s( )(1)inn(s)iststω tωuωuy tyyuω tu )cos)((costutyst或者直接由或者直接由Duhamel积分积分得得 dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyu)(sin1)(00)cos)((cos20tutmP)2(sin2sin2utuyst??14方法二：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成方法二：短时荷载可认为。