2018年秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质学案 新人教a版必修5
7页1、第2课时等比数列的性质学习目标:1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)自 主 预 习探 新 知1推广的等比数列的通项公式an是等比数列,首项为a1,公比为q,则ana1qn1,anamqnm(m,nN*)2“子数列”性质对于无穷等比数列an,若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.思考:如何推导anamqnm?提示由qnm,anamqnm.3等比数列项的运算性质在等比数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特别地,当mn2k(m,n,kN*)时,amana.对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1ana2an1akank1.4两等比数列合成数列的性质若数列an,bn均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列can,aanbn,也为等比数列.思考:等比数列an的前4项为1,2,4,8,下列判断正确的是(1)3an是等比数列;(2)3an是等比数列;
2、(3)是等比数列;(4)a2n是等比数列提示由定义可判断出(1),(3),(4)正确基础自测1思考辨析(1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时,an为递增数列()(3)当q1时,an为常数列()答案(1)(2)(3)提示:(2)当a10且q1时an为递增数列,故(2)错2等比数列an中,a13,q2,则a4_,an_.2432n1a4a1q332324,ana1qn132n1.3在等比数列an中,a54,a76,则a9_.【导学号:91432203】9因为a7a5q2,所以q2.所以a9a5q4a5(q2)249.4在等比数列an中,已知a7a125,则a8a9a10a11的值为_25因为a7a12a8a11a9a105,所以a8a9a10a1125.合 作 探 究攻 重 难灵活设项求解等比数列已知4个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为,则此4个数为_8,2,或,2,8设此4个数为a,aq,aq2,aq3.则a4q61,aq(1q),所以a2q31,当a2q31时,q0,代入式化简可得q2q10,此方程无解;当a2q31时,q0
3、,a2a42a3a5a4a625,求a3a5;(3)若an0,a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值思路探究:利用等比数列的性质,若mnpq,则amanapaq求解解(1)等比数列an中,因为a2a4,所以aa1a5a2a4,所以a1aa5.(2)由等比中项,化简条件得a2a3a5a25,即(a3a5)225,an0,a3a55.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79,log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.规律方法有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.跟踪训练2(1)已知数列an为等比数列,a33,a1127,求a7.(2)已知an为等比数列,a2a836,a3a715,求公比q.【导学号:91432205】解(1)法一:相除得q89.所以q43,所以a
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