丁玉美-数字信号处理-第8章-其它类型的数字滤波器概要
104页1、第8章 其它类型的数字滤波器,8.1 几种特殊的滤波器 8.2 格型滤波器 8.3 简单整系数数字滤波器 8.4 采样率转换滤波器,8.1 几种特殊的滤波器,8.1.1 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1, 即 |H(e j)|=1, 02 (8.1.1) 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e j)=e j() (8.1.2),全通滤波器的系统函数一般形式如下式:,(8.1.3),或者写成二阶滤波器级联形式:,(8.1.4),下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。,(8.1.5),式中,,由于系数ak是实数, 所以,图 8.1.1 全通滤波器一组=零极点示意图,观察图 8.1.1, 如果将零点zk和极点p*k组成一对, 将零点z*k与极点pk组成一对, 那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现, 即如果z-1k为全通滤波器的零点, 则z*k必然是全通滤波器的极点。 因此, 全通滤波器系统函数也可以写成如下形式:,(8.1.6),8.1.2 梳状滤波器 例如, , 0a1, 零点为 1, 极点为a, 所以H(z
2、)表示一个高通滤波器。 以zN代替H(z)的z, 得到:,(8.1.7),图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8),8.1.3 最小相位系统 最小相位系统在工程理论中较为重要, 下面给出最小相位系统的几个重要特点。 (1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成, 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) (8.1.8) 证明 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外, 令该零点为z=1/z0, | z0 |1, 则H(z)可表示为,(8.1.9),(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集 中, 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。 高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数 相乘来表示。 一阶和二阶全通系统的系统函数分别如 (8.1.10)和(8.1.11)式:, 对(8.1.10)式,,(8.1.10),(8.1.11),其中a为实数, 且|a|1;,图 8.1.3 一阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由于上式中分数部分的分子、 分母是共轭的, 因此相角相反, 所以
3、 argHap(e j)=-2 arg(e j -a) 对 0, 关于arg(e j -a)作图如图 8.1.3 所示, 图中=arg(e j -a)。; 由图 8.1.3可见,, 对(8.1.11)式,,故,画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示。 图中 1=arg(ej -a), 2=arg(ej-a*)。 由图可看出,,根据三角形外角大于内角的定理有,图 8.1.4 二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由(8.1.8)式有,由初值定理可得出,由于,对因果稳定系统, |ai|1, 所以 |h(0)|hmin(0)| (8.1.12) (8.1.12)式说明, 在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中, 最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。 如果定义h(n)的积累能量E(m)为,则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式 , 即。,由于|H(e j)|=|Hmin(e j)|, 即,由parseval定理有,(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。 给定一个 因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z), 定义其逆系统为,(8.1.14),8.2 格型滤波器,8.2.1 全零
4、点格型滤波器 一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式:,(8.2.1),其中, b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数, 并假设首项系数b0=1。 H(z)对应的格型结构如图 8.2.1 所示。,图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构,图 8.2.2 全零点格型结构=基本单元,下面推导由H(z)=B(z)的系数bi求出格型结构网络系数ki的逆推公式。图 8.2.2 所示基本格型单元的输入、 输出关系如下式: em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km (8.2.2a) rm (n)=e m-1 (n)km+rm-1 (n-1) (8.2.2b) 且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c) y(n)=em (n) (8.2.2d),设Bm(z), Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、 下输出端em(n)、 rm(n)对应的系统函数, 即,(8.2.3a),(8.2.3b),当m=M时, Bm(z)=B(z)。 对(8.2.2)式两边进行Z变换得,(8.2.4a),(8.2.4b),对(8.2.4a)和(8.2.4b)式分
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