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数学建模课件4144讲第44讲

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常见问题

1、数学建模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。勒内笛卡尔,第10章数学建模中的数据处理,第44讲数据处理方法,数学建模,数学建模,1）插值与拟合（1）插值问题许多实际问题都用函数来表示变量与之间的某种内在规律，但遗憾的是函数的表达式有时不能直接得到，只能通过实验或观测得到函数在若干个点上的函数值。,基本思想：已知函数在中互异的n+1个点上的值，即给出一个函数表，现要根据这个表，寻找一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数来逼近 . 若满足：就称为插值函数，点为插值节点，求插值函数的方法就称为插值法。函数可以是代数多项式，三角多项式或有理函数等。,数学建模,插值法的类型多项式插值：通常n+1个节点可确定一个次数不高于n次的代数多项式，使其函数曲线通过这n+ 1个节点注意：当插值节点增多时，插值函数对函数的逼近效果并不一定会越来越好。分段插值：将插值区间分为若干小区间，在每个小区间上做多项式插值。注意：这种插值当插值节点增多时，逼近效果较好，但所得到的插值函数在插值节点处的光滑性较差。,数学建模,Hermite插值：

2、要求插值函数不仅在插值节点上与函数的值相同，还要求在这些节点上插值函数的导数值与函数的导数值相同，这样的多项式称为Hermite插值多项式。三次样条插值：一种在工程上应用较多的插值，将插值区间分为若干小区间，在每个小区间上是三次多项式，而在插值节点处，一阶二阶导数连续。,数学建模,Matlab中常用的插值命令,一维插值 y1=interp1(x,y,xi,method) x插值节点， y函数值， y1插值函数在向量xi上的返回向量， Method采用插值的方法,数学建模,x和y为维数相同的向量,nearest表示最邻近插值，linear表示线性插值， spline表示三次样条插值，cubic表示三次插值,interp1 q快速一维插值 interp2 二维插值 interp3 三维插值指令 interpn N维插值指令,数学建模,例： x=0:10; y=sin(x); xi=0:.15:10; yi1=interp1(x,y,xi,nearest); yi2=interp1(x,y,xi,linear); yi3=interp1(x,y,xi,spline); yi4=inte

3、rp1(x,y,xi,cubic);,数学建模,subplot(2,2,1) plot(xi,yi1,xi,yi1,r.) subplot(2,2,2) plot(xi,yi2,xi,yi2,r.) subplot(2,2,3) plot(xi,yi3,xi,yi3,r.) subplot(2,2,4) plot(xi,yi4,xi,yi4,r.),数学建模,数学建模,本例中，以正弦函数在11个节点处的值作为插值节点，分别计算了四种方法在0:.15:10共41个点处的函数值。,数学建模,（2）拟合问题有时，由于函数值是通过实验或观测得到的，本身就带有误差 , 因此要求插值函数在节点处的函数值与相等就不是十分必要。于是，寻找一个函数使得与原始数据点的偏差的平方和最小，也就是最小，这种方法就称为曲线拟合的最小二乘法。,数学建模,用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确实的形式，通过对给定的数据描图，确定的函数类型。例如：给定一组数据 t=0:0.5:5; s=1*t+0.2.*t.*t; s1=0.5 -0.18 -0.01 0.13 0.1 0.31 -0.22 -0.31 0.2 0.4 -0.14; ss=s+s1; plot(t,ss,r*),数学建模,先做出散点图，然后根据散点图描述的曲线大体的形状来判断选取拟合函数的类型。,数学建模,Matlab中常用的拟合命令：对数据做最小二乘法的多项式拟合 y1=Polyfit(x,y,n) 其中x,y为拟合数据，维数应该相同，n为拟合多项式的次数，该命令返回为一个数组y1，是按降幂排列的多项式系数。如果还想进一步计算拟合多项式在数组x上各点的值，还可以用如下命令Polyval(y1,x),数学建模,数学建模,从上图可以看出，二次和三次的拟合效果都要好于线性拟合，在具体选择时，通常选取次数较低的二次拟合函数。,数学建模,Thank you,

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