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四川省成都市新都一中必修二同步练习：第一章空间几何体第5课时三视图

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1、第5课时三视图、表面积、体积的综合应用基础达标(水平一)1.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正(主)视图中的x的值是().A.2B.92C.32D.3【解析】由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且S底=12(1+2)2=3.V=13xS底=3,解得x=3.故选D.【答案】D2.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,底面是一个两直角边分别为1和2的直角三角形,若三棱柱的外接球的表面积为9,则三棱柱的体积为().A.1B.32C.2D.3【解析】设三棱柱的外接球的半径为R,则4R2=9,解得R=32.因为底面是直角三角形,所以底面斜边所在的侧面的对角线恰好是外接球的直径.所以侧棱的长h=4R2-12-22=2,所以三棱柱的体积为V=12122=2.【答案】C3.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为().A.120 cm3B.80 cm3C.100 cm3D.60 cm3【解析】由三视图知该几何体是长方体截去了一个角所得,V=654-16654=100 cm3,故选C.【答案】C4.已知一个正四面体纸盒的棱长为26,若

2、在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为().A.1B.233C.32D.22【解析】要使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体的外接球可以在纸盒内,当球与正四面体内切时,正方体的棱长最大.设球的半径为r,正方体的棱长为a,正四面体底面上的高为(26)2-(22)2=4,S为正四面体一个面的面积,则134S=413rS,则r=1.所以3a2=4,则a=233.【答案】B5.如图,某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及其对角线,若该三棱锥的体积是13,则它的表面积是.【解析】由题设及几何体的三视图知,该几何体是一个正三棱锥B-A1C1D(如图).设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则该几何体的体积是V=a3-41312a2a=13a3=13,a=1,三棱锥的棱长为2,因此该三棱锥的表面积为S=434(2)2=23.【答案】236.球O内有一个内接正方体,正方体的表面积为24,则球O的体积是.【解析】由于正方体的顶点都在球面上,则正方体的对角线即为球的直径.正方体的表面积为24,则设正方体的边长为a,即有6a2=24,解得a=2,设球的

3、半径为R,则2R=23,解得R=3,则有球的体积为V=43R3=4333=43.【答案】437.在底面半径为R,高为h的圆锥内有一内接圆柱,求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,并求此时侧面积的值.【解析】如图,设圆柱的高为x,底面半径为r,则rR=h-xh,即r=R(h-x)h.圆柱的侧面积S侧=2rx=2Rhx(h-x)=-2Rh(x2-hx)=-2Rhx-h22-h24=-2Rhx-h22+hR2.当x=h2时,S侧最大值=hR2.即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为h2,此时侧面积的值为12Rh.拓展提升(水平二)8.一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是().A.53+4cm3B.23+8cm3C.83 cm3D.23+4cm3【解析】由三视图可知,该几何体为一个半球、一个四棱柱和半个圆柱构成的组合体.V半球=1243r3=23 cm3,V半圆柱=12r2h= cm3,V四棱柱=Sh=4 cm3.该几何体的体积V=53+4cm3.【答案】A9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.13+B.23+C.13+2D.23+2【解析】由三视图可知该几

4、何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积V1=1312211=13,半圆柱的体积V2=12122=,V=13+.【答案】A10.把圆柱沿轴截面剖开,取其中一块为底座,并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具,直观图和正(主)视图如图所示,则该小玩具的体积为.【解析】由三视图数据可知半圆柱的半径为2,母线长为8,四棱锥的底面是边长为4和8的矩形,高为4,所以体积V=12228+13484=16+1283.【答案】16+128311.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m (底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积.(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积.(3)哪个方案更经济些?【解析】(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积V1=13Sh=1316224=2563 m3.如果按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积V2=13Sh=1312228=96 m3.(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.圆锥的母线长l=82+42=45,则仓库的表面积S1=845=325 m2.如果按方案二,仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l=82+62=10 m,则仓库的表面积S2=610=60 m2.(3)因为V2V1 ,S2S1,所以方案二比方案一更经济.

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