2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用1.2 第1课时

1、1.2 导数的计算导数的计算 第第 1 课时课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 学习目标 1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y ，y的导数.2.能利用给出的基 1 xx 本初等函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 几个常用函数的导数 原函数导函数 f(x)c f(x)0 f(x)x f(x)1 f(x)x2 f(x)2x f(x) 1 x f(x) 1 x2 f(x) x f(x) 1 2 x 知识点二 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x(Q*) f(x)x1 f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)ax f(x)axln a(a0) f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)(a0 且 a1) 1 xln a f(x)ln x f(x) 1 x 1若 y，则 y 21.( ) 2 1 2 2若 f(x)sin x，则 f(x)cos x( ) 3f(x)，则 f(x).( ) 1 x3 3 x4 类型一

2、利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)ysin ；(2)y x；(3)ylg x；(4)y ；(5)y2cos21. 6 ( 1 2) x2 x x 2 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 (1)y0. (2)y xln xln 2. ( 1 2) 1 2 ( 1 2) (3)y. 1 xln 10 (4)y， x2 x 3 2 x y(). 3 2 x 3 2 1 2 x 3 2 x (5)y2cos21cos x， x 2 y(cos x)sin x. 反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化 简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导 如 y可以写成 yx4，y可以写成 y等，这样就可以直接使用幂函数的求导公 1 x4 5 x3 3 5 x 式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误 跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)，则 f(3)等于( ) 1 x3 A81 B243 C243 D 1

3、 27 (2)已知 f(x)ln x 且 f(x0)，则 x0 . 1 x2 0 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 (1)D (2)1 解析 (1)因为 f(x)x3， 所以 f(x)3x4， 3 x4 所以 f(3). 3 34 1 27 (2)因为 f(x)ln x(x0)， 所以 f(x) ， 1 x 所以 f(x0)，所以 x01. 1 x0 1 x2 0 类型二 利用导数公式研究切线问题 命题角度1 求切线方程或切线斜率 例 2 已知曲线 yf(x)，yg(x) ，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与 x 1 x x 轴所围成的三角形面积 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 由Error!Error!得Error!Error!得两曲线的交点坐标为(1,1) 两条曲线切线的斜率分别为 f(1) ，g(1)1. 1 2 易得两切线方程分别为 y1 (x1)， 1 2 y1(x1)， 即 y x 与 yx2. 1 2 1 2 其与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(2,0)， 所以两切线与

4、x 轴所围成的三角形面积为 1|2(1)| . 1 2 3 2 反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切 点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决 跟踪训练 2 已知 ykx 是曲线 yln x 的一条切线，则 k . 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1 e 解析 设切点坐标为(x0，y0)， 由题意得k， 0 = |x xy 1 x0 又 y0kx0， 而且 y0ln x0， 由可得 x0e，y01，则 k . 1 e 命题角度2 求切点坐标问题 例 3 求抛物线 yx2上的点到直线 xy20 的最短距离 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 设切点坐标为(x0，x )，依题意知与直线 xy20 平行的抛物线 yx2的切线的切点 2 0 到直线 xy20 的距离最短 y(x2)2x，2x01，x0 ， 1 2 切点坐标为， ( 1 2， 1 4) 所求的最短距离 d. | 1 2 1 42| 2 7 2 8 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0，y0)处的切线方程

5、， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练 3 已知直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点，O 是坐标原点，试 求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点 P，使ABP 的面积最大 A AOB 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 由于直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点， |AB|为定值，要使ABP 的面积最大，只要点 P 到 AB 的距离最大， 设 P(x0，y0)为切点，过点P 与 AB 平行的直线斜率ky2x0，k2x02，x01，y0 1. 故可得 P(1,1)，切线方程为 2xy10. 故 P(1,1)点即为所求弧上的点，使ABP 的面积最大. A AOB 1下列函数求导运算正确的个数为( ) (3x)3xlog3e；(log2x)；x；若 y，则. 1 xln 2 1 ln x 1 x2 =3 |xy 2 27 A1 B2 C3 D4 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点

6、 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 C 解析 中(3x)3xln 3，均正确 2函数 f(x)x3的斜率等于 1 的切线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D不确定 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B 解析 设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)3x 1， 2 0 x0.故斜率等于 1 的切线有 2 条 3 3 3已知 f(x)x2，g(x)ln x，若 f(x)g(x)1，则 x . 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 1 解析 f(x)2x，g(x) ， 1 x f(x)g(x)1，即 2x 1， 1 x 解得 x1 或 .因为 x0，所以 x1. 1 2 4过原点作曲线 yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 (1，e) e 解析 设切点坐标为(x0，y0)， 切线的斜率为， 0 = |x xy 0 ex 则， 0 ex y00 x00 又 y0， 0 ex 由可得 x01， 切点坐标为(1，e)，切线的斜率

7、为 e. 5求过曲线 ysin x 上一点 P且与在该点处的切线垂直的直线方程 ( 6， 1 2) 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 曲线 ysin x 在点 P处切线的斜率 ( 6， 1 2) kcos ， =6 | x y 6 3 2 则与切线垂直的直线的斜率为， 2 3 3 所求直线方程为 y ， 1 2 2 3 3 (x 6) 即 12x18y290. 33 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数 公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求 y12sin2的导数因为 y12sin2cos x，所以 y(cos x)sin x. x 2 x 2 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化. 一、选择题 1下列各式中正确的个数是( ) (x7)7x6；(x1)x2； x ；() x ；(cos x)sin ( 1 x) 1 2 3 2 5 x2 2 5 3 5 x；(cos 2)sin 2. A3 B4 C5 D6 考点 常数、幂函数、

8、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 B 解析 (x1)x2； (cos 2)0. 不正确，故选 B. 2已知函数 f(x)xa，若 f(1)4，则 a 的值等于( ) A4 B4 C5 D5 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 A 解析 f(x)axa1，f(1)a(1)a14， a4. 3质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s，则质点在 t4 时的速度为( ) 5 t A. B. 1 2523 1 10523 C. D. 2 5 5 23 1 10 5 23 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B 解析 s t .当 t4 时， 1 5 4 5 s . 1 5 1 5 44 1 10523 4正弦曲线 ysin x 上切线的斜率等于 的点为( ) 1 2 A.( 3， 3 2) B.或 ( 3， 3 2) ( 3， 3 2) C.(kZ) (2k 3， 3 2) D.或(kZ) (2k 3， 3 2) (2k 3， 3 2) 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D 解析 设斜率等于 的切线与曲线的切点为 P(x0，y0)，cos x0 ，x02k 1 2 0 = |x xy 1 2 或 2k ， 3 3 y0或. 3 2 3 2 5直线 y xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为( ) 1 2 A2 Bln 21 Cln 21 Dln 2 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 C 解析 yln x 的导数 y ， 1 x 令 ，得 x2，切点坐标为(2，ln 2) 1 x 1 2 代入直线 y xb，得 bln 21. 1 2 6下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) Af(x)ex Bf(x)x3 Cf(x)ln x Df(x)sin x 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D 解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1. 因为 A 项中，(ex)ex0，B 项中，(x3)3x20，C 项中

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