函数模型和其应用
6页1、函数模型及其应用典型例题(1)一次函数模型的应用例1 某市一家报刊摊点,从报社进一种报纸的价格是每份0.20元,零售价是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退给报社.在一个月(以30天计算)中,有20天每天可以售出400份报纸,其余10天每天只能售出250份 ,但每天从报社买进的份数必须相同.若摊主每天从报社买进x(250x400)份,写出这个摊主这个月所获利润y(元)关于x的函数表达式;这个摊主每天从报社进多少份该报纸,才能使每月所获利润最大?分析:由于一个月内有10天售出的份数与另外20天售出的份数不同,因而所获利润要分两段计算,而每天进多少份使利润最大则需结合函数的单调性分析解:设每天从报社买进x()份,则每月共可销售份,每份可获利润0.10元;退回报社份,每份亏损0.15元,则依题意,得,函数在上单调递增,时,(元)答:摊主每天从报社买进400份时,每月所获得的利润最大,最大利润为825元点评:解决实际问题的关键是仔细审题,弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题加以解决(2)二次函数模型的应用例2 某市现有从事第二
2、产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加(0x 0,x0,可解得设该市第二、三产业的总产值增加万万元,则,且在上单调递增,当x=50时,答:在保证第二产值不减少的情况下,分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多.点评:二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,值得注意的是一定要注意自变量的取值范围,利用二次函数配方法,通过对称轴与单调性求解是这一类函数的基本方法(3)指数函数模型的应用例3 按复利计算利息的一种储蓄,本金为元,每期利率为,设本利和为,存期为,写出本利和随存期变化的函数式如果存入本金元,每期利率为,试计算期后的本利和是多少?分析:按复利计算利息的储蓄,本质上是增长率问题可以一期一期地推求解:已知本金为元,期后的本利和为:期后的本利和为:期后的本利和为:由此推导,得期后的本利和为:将,代入上式,由计算器算得元答:复利计算下本利和随存期变化的函数式为,期后的本利和是元点评:复利计息问题的实质是指数
3、函数模型应用,单利计息问题为定义在整数集上的一次函数模型,解题时要加以区分(4)幂函数模型的应用例4 1999年10月12日为“世界60亿人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增加的紧迫任务摆在我们的面前(1) 世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?(2) 我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿?以下数据供计算时使用:数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392分析:增长率是指数函数与幂函数问题,利用已知条件,列出函数模型解:(1) 设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y,则由题意,当n=40时,y=30,即,两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,则,,的x=1.7%(2) 依题意,得 ,故人口至多有13.78亿答:每年人口平均增长率为1.7%,2008
4、年人口至多有13.78亿.点评:此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型(其中为基础数,为增长率,为时间)和幂函数模型(其中为基础数, 为增长率,为时间)的形式解题时,往往用到对数运算,要注意已知表格中给定的值对应求解(5)对数函数模型例5 测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值,显然级别越高,地震强度也越高如日本1923年地震是级,旧金山1906年地震是级,1989年地震是级,试计算一下日本1923年地震强度是级的几倍?是级的几倍?(参考数据)分析:根据题意知,地震级别的里氏与地震强度之间满足对数关系,可以根据地震级别求出地震强度,也可将地震强度的比转化为对数进行运算解:用、分别表示级、级、级地震的地震强度,则题意知,由于,由于,答:日本1923年地震强度是级的倍,是级的倍点评:地震级别每提高一点时,其强度就可能提高好多倍,其带来的灾害影响就会特别严重(6)“”型函数模型例6 已知按A设计方案,建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成,若建造一栋面积为M的房子,地面部分的造价,基础部分的造价(其中为正实数),又知按A设计方案建造一栋面积为1
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