【100所名校】天津市静海县第一中学2017-2018学年高二4月学生学业能力调研测试数学（理）（提高卷）（解析版）

1、天津市静海县第一中学2017-2018学年高二4月学生学业能力调研测试数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设（ ）A三个内角都不大于60 B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60 D三个内角至多有两个大于603满足方程的的值为（ ）A. 1，3 B. 3，5 C. 1，3，5 D. 1，3，5，-74已知， ，则可表示不同的值的个数为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 155老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，

2、考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中_两人说对了. （ ）A. 甲 丙 B. 乙 丁 C. 丙 丁 D. 乙 丙6用数学归纳法证明 过程中：假设时，不等式成立，则需证当时， 也成立，则（ ）A. B. C. D. 7如图所示，椭圆中心在坐标原点， 为左焦点，当，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 8如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A. 120 B. 260 C. 340 D. 4209如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它的下一行左右相邻两数的和，如： ， ， ，则第10行第3个数（从左往右数）为（ ）A. B.

3、C. D. 10某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名，进行一场男女混合双打表演赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的分组方法有（ ）A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 180种11如图，已知抛物线，圆： ，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于， ， ， ，则的最小值为（ ）A. 34 B. 37 C. 42 D. 5112已知， ，若存在， ，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题13已知为虚数单位，复数满足，则_14若的二项展开式中的系数为，则_15某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_16校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有_种（用数学作答）三、解答题17已知数列满足： ，且.（1）求， ， 的值，并猜想的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想.18如图所示，直三棱柱ABC-A1

4、B1C1中，AC=BC=AA1=3，ACBC，点M在线段AB上.（1）若M是AB中点，证明：AC1/平面B1CM；（2）当BM=2时，求直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值.19已知函数在处的切线方程为.（1）求实数， 的值；（2）若函数 在区间上有最值，求实数的取值范围.20如图所示，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且， 为棱上的动点，且.（1）求证： ；（2）试确定的值，使得二面角的余弦值为.21已知椭圆： 的离心率为，依次连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于， 两点，设与面积之比为（其中为坐标原点），当时，求实数的取值范围.22已知函数， .（1）求证：对，函数与存在相同的增区间；（2）若对任意的， ，都有成立，求正整数的最大值.天津市静海县第一中学2017-2018学年高二4月学生学业能力调研测试数学（理）答 案1C【解析】复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限故选2B【解析】解：因为用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，假设就是对结论否定，因此为三个内角都大于60

5、，选B3A【解析】 或 解可得或（不合题意，舍去）解可得或（不合题意，舍去）该方程的解集是故选4D【解析】从中取数有种取法从中取数有种取法共有种取法其中， 种故选5D【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确。本题选择D选项.6C【解析】故选7B【解析】类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中， ， ， 当时， 整理可得： 解得或（舍去）故黄金双曲线的离心率为故选8D【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有故选9C【解析】设第行有个数为，根据题意可得：， ， ， ，故选10A【解析】由题意得： 种故选11C【解析】设直线： ， ， 则，可得， 则的最小值为故选点睛：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，根据抛物线的定义将问题化简，为求最值问题，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，求出点的横坐标之间的关系，利用基本不等式求出最值。12B【解析】， 由题意与互为“度零点函数”解得的零点为， 令， 当时， 单调递增当时， 单调递减的取值范围为故选点睛：本题新定义了函数零点问题，看似复杂的题目只需要读懂题

6、目意思，先求出的零点，根据定义求出的零点，这样就转化为求参数的取值范围问题，借助导数求出函数的单调性，从而求出参数范围。13【解析】即有142【解析】的二项展开式的通项公式为令，解得展开式中的系数为，故15【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示平面平面，四棱锥的高为，四边形是边长为的正方形则故面积最大的侧面的面积为点睛：本题主要考查的是由三视图求面积。由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为，四边形是边长为的正方形，分别计算侧面积，比较大小，即可得到答案。16528【解析】(1)当三辆车都不相邻时有 (种)(2)当两辆车相邻时有 (种)(3)当三辆车相邻时有 (种)则共有 (种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可。17(1) ， ， ，猜想 (2)见解析【解析】试题分析： 根据数列的递推公式求出， ， 的值，从而可以猜想的通项公式； 根据数学归纳法的证明步骤，当时，猜想显然成立；假设 时猜想成立，根据递推公式只要求出

7、，也就是当时，猜想也成立，从而最后得出结论。解析：（1）由递推公式可得， ， ，可猜想 .（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.当时，猜想显然成立；假设 时猜想成立，即，则时，由可得 ，即：当时，猜想也成立，由可知，当时， .18(1)见解析(2) 63【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.试题解析：（）证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，ME为ABC1的中位线，所以ME/AC1因为ME平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1平面B1C（II）ACBC,CC1平面ABC,故如图建立空间直角坐标系B1(0，3，3),A(3，0，0),B(0，3，0),C(0，0，0),BA=32,BM=1

8、3BABM=13BA=(1,-1,0),CM=CB+BM=(0,3,0)+(1,-1,0)=(1,2,0)令平面B1MC的法向量为n=(x,y,z)由nCB1=0nCM=0，得y+z=0x+2y=0设z=1所以n=(2,-1,1), C1A1=CA=(3,0,0)设直线C1A1与平面B1MC所成角为sin=|C1A1n|C1A1|n|=634+1+1=63故当BM=2时，直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值为63.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19(1) (2) 【解析】试题分析： 求导，根据切线方程即可求出实数， 的值将所求， 的值代入，求导，结合最值情况列出不等式组求解解析：（1），在处的切线方程为， ，即： .（2），则，令，则（舍）或，在上有最值，即的取值范围为.20(1)见解析(2) 当时，二面角的余弦值为【解析】试题分析： 取的中点，连结， ， ，证得平面因为，所以.以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，求出的值解析：（1）取的中点，连结， ， ，由题意可得， 均为正三角形，所以， ，又，所以平面，又平面，所以.因为，所以.（2）由（1）可知，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.故可得， ， 两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ，所以，由 ，可得点的坐标为，所以， ，设平面的一个

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