建筑力学 教学课件 ppt 作者 沈养中 第五章 压杆稳定

1、第五章 压杆稳定,内容提要 杆件的破坏不仅会由于强度不够而引起，也可能会由于稳定性的丧失而发生。因此在设计杆件（特别是受压杆件）时，除了进行强度计算外，还必须进行稳定计算以满足其稳定条件。本章仅对压杆的稳定问题作简要介绍。,5.1 压杆稳定的概念,5.2 压杆的临界力与临界应力,5.3 压杆的稳定计算,本章内容,5.4 提高压杆稳定性的措施,小结,5.1 压杆稳定的概念,1. 一个简单的实验,钢板尺长为300mm，宽为20mm，厚为1mm。,设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉压杆的强度条件，钢尺能够承受的轴向压力为,F=A=20110-6m2196106Pa=3920N,若将钢尺竖立在桌面上，用手压其上端，则不到40N的压力，钢尺就会突然变弯而失去承载能力。,粗短杆能承受3920N压力，细长杆只能承受40N压力。,细长压杆丧失工作能力并不是由于其强度不够，而是由于其突然产生显著的弯曲变形、轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所造成的。,2. 压杆稳定的概念,采用中心受压直杆的力学模型，即将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆；把杆轴线存在的初曲率、压力作用线稍微

2、偏离轴线及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯曲变形的微小的横向干扰。,以三种情况来说明,FFcr,F=Fcr,FFcr,（1）压力F不大时,给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直线形状的平衡状态。,压杆原有直线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态。,FFcr,（2）压力F增至某一极限值Fcr时,给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的平衡状态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。,F=Fcr,临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态，因为此时杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。,压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称为丧失稳定性，简称失稳。,受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡状态，压力Fcr称为压杆的临界力。,（3）压力F超过Fcr后,杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最后造成弯折破坏。,FFcr,3. 临界应力,式中：A压杆的横截面面积。,为了保证压杆能够安全地工作，应使压杆承受的压力或杆的应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此，确定压杆的临界力和

3、临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。,4. 惨痛的例子,由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发生的，所以往往造成严重的事故。,在1907年，加拿大长达548m的魁北克大桥在施工中突然倒塌，就是由于两根受压杆件的失稳引起的。,在设计受压杆件时，除了进行强度计算外，还必须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。,5.2 压杆的临界力与临界应力,5.2.1 细长压杆的临界力的欧拉公式,各种杆端约束下细长压杆的临界力可用下面的统一公式表示（推导从略）：,上式通常称为欧拉公式。,式中的称为压杆的长度因数，它与杆端约束有关，杆端约束越强，值越小；l称为压杆的相当长度，它是压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆的挠曲线形状）所对应的杆长度。,表5.1列出了四种典型的杆端约束下细长压杆的临界力，以备查用。,表5.1 四种典型细长压杆的临界力,表5.1 四种典型细长压杆的临界力(续),【例5.1】 一长l=4m，直径d=100mm的细长钢压杆，支承情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为一端铰支、一端固定。已知钢的弹性模量E=200GPa，求此压杆的临界力。,O,【

4、解】钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一形心轴的惯性矩都相同，均为,因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的应取较大的值，即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。,由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两端铰支，=1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，=0.7。故失稳将发生在xy平面内，应取=1进行计算。,临界力为,【例5.2】 有一两端铰支的细长木柱如图所示，己知柱长l=3m，横截面为80mm140mm的矩形，木材的弹性模量E=10GPa。求此木柱的临界力。,O,【解】 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端在各个方向的约束都相同（都是铰支）。因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以公式中的I应取Imin。由图知，Imin=Iy，其值为,O,故临界力为,在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳。,5.2.2 欧拉公式的适用范围,1. 临界应力的另一表达式,将临界应力的表达改写为,故,式中： 压杆横截面的惯性半径；,称为压杆的柔度或长细比。,柔度综合地反映了压杆的杆端约束、杆长、杆横截面

5、的形状和尺寸等因素对临界应力的影响。越大，临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆的稳定性越差。反之，越小，压杆的稳定性越好。,2. 欧拉公式的适用范围,在欧拉公式的推导中使用了压杆失稳时挠曲线的近似微分方程，该方程只有当材料处于线弹性范围内时才成立，这就要求在压杆的临界应力cr不大于材料的比例极限的情况下，方能应用欧拉公式。即,或,令,p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度p的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。,柔度p的压杆称为大柔度压杆或细长压杆。,3. 欧拉曲线,绘出临界应力cr与柔度的关系曲线，称为欧拉曲线。,图中欧拉曲线上B点以右部分是适用的，B点以左部分是不适用的。,木压杆，p110。,Q235钢材制成的压杆，p100。,5.2.3 抛物线公式,1. 公式,p的压杆称为中、小柔度压杆。,这类压杆的临界应力通常采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的，目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。这里仅介绍抛物线公式，其表达式为,式中：s材料的屈服极限，单位为MPa；,a与材料有关的常数，单位为MPa。,Q235钢：cr=2350.006682；,

6、 16锰钢： cr=3430.001422。,2. 临界应力总图,实际压杆的柔度值不同，临界应力的计算公式将不同。为了直观地表达这一点，可以绘出临界应力随柔度的变化曲线，这种图线称为压杆的临界应力总图。Q235钢压杆的临界应力总图如下：,图中抛物线和欧拉曲线在C处光滑连接，C点对应的柔度c=123，临界应力为134MPa。由于经验公式更符合压杆的实际情况，故在实用中，对Q235钢制成的压杆：,当c=123时，用欧拉公式计算临界应力,当123时，用抛物线公式计算临界应力,5.3 压杆的稳定计算,5.3.1 安全因数法,1. 稳定条件,为了保证压杆能够安全地工作，要求压杆承受的压力F应满足下面的条件：,或,式中：nst稳定安全因数；,Fst稳定许用压力；,st稳定许用应力。,2. 稳定安全因数nst的取值,稳定安全因数nst的取值一般地大于强度安全因数n，并且随柔度而变化。钢压杆的稳定安全因数nst=1.83.0。,常用材料制成的压杆，在不同工作条件下的稳定安全因数nst的值，可在有关的设计手册中查到。,5.3.2 折减因数法,1. 稳定条件,式中：压杆的折减因数或稳定因数，它是随压 杆柔

7、度而改变且小于1的因数；,强度许用应力。,对于Q235钢制成的压杆的折减因数，在我国的钢结构设计规范（GB500172003）中，根据工程中常用压杆的截面形状、尺寸和加工条件等因素，把截面分为a、b、c、d四类，例如轧制圆形截面属于a类截面。本书给出了Q235钢制成的a类和b类截面压杆的折减因数的计算用表。,表5.2 Q235钢a类截面中心受压直杆的折减因数,续表5.2 Q235钢a类截面中心受压直杆的折减因数,表5.3 Q235钢b类截面中心受压直杆的折减因数,续表5.3 Q235钢b类截面中心受压直杆的折减因数,对于木压杆的折减因数，在我国的木结构设计规范（GB500052003）中，给出了如下的两组表达式：,树种强度等级为TC17、TC15及TB20：,当柔度75时,当柔度75时,树种强度等级为TC13、TC11、TB17、TB15、TB13及TB11：,当柔度91时,当柔度91时,2. 稳定计算的三类问题,利用稳定条件，可以解决压杆的稳定校核、设计截面尺寸和确定许用荷载等三类稳定计算问题。本书仅介绍稳定校核和确定许用荷载二类计算问题。,【例5.3】 图示木屋架中AB杆的截面为边

8、长a=110mm的正方形，杆长l=3.6m，承受的轴向压力F=25kN。木材的强度等级为TC13，许用应力=10MPa。试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。,【解】 正方形截面的惯性半径为,由于在桁架平面内AB杆两端为铰支，故=l。AB杆的柔度为,利用公式算得折减因数为,AB杆的工作应力为,满足稳定条件式。因此，AB杆是稳定的。,【例5.4】 钢柱由两根10号槽钢组成，长l=4m，两端固定。材料为Q235钢,许用应力=160MPa。现用两种方式组合：一种是将两根槽钢结合成为一个工字形图(a),一种是使用缀板将两根槽钢结合成图(b)所示形式,图中间距a=44mm。试计算两种情况下钢柱的许用荷载（提示：按b类截面计算）。,【解】 由型钢规格表查得10号槽钢截面的面积、形心位置和惯性矩分别为,A=12.74cm2 ，z0=1.52cm,Iz=198.3cm4 ，Iy=25.6cm4,1) 求图(a)情况中钢柱的许用荷载。,组合截面对z轴的惯性矩为,Iz=2198.3cm4=396.6cm4,由型钢规格表查得10号槽钢对其侧边的惯性矩为54.9cm4，故组合截面对y轴的惯性矩为,

9、Iy=254.9cm4=109.8cm4,因为杆端约束为两端固定，所以失稳将发生在弯曲刚度EI最小的形心主惯性平面xz内。该平面内钢柱的柔度为,由计算用表并利用直线插值法得到折减因数为,=0.581(0.5810.575) =0.579,根据稳定条件式，钢柱的许用荷载为,Fst=A =212.7410-4 m20.579160106 Pa =236047 N=236.05 kN,2) 求图(b)情况中钢柱的的许用荷载。,组合截面对z轴的惯性矩为,Iz=2198.3cm4=396.6cm4,利用惯性矩的平行移轴公式，求得组合截面对y轴的惯性矩为,Iy=2Iy1+(z0+ )2A =225.6+(1.52+ )212.74cm4=403.8cm4,可见失稳平面为xy平面，该平面内钢柱的柔度为,由计算用表查得折减因数为,=0.856(0.8560.852) =0.853,因此钢柱的许用荷载为,Fst=A =212.7410-4m20.853160106Pa =347751N=347.8kN,由本例题可知，虽然两个钢柱的长度、支承情况以及所用材料的数量均相同，但当采用不同的截面形状时，钢柱的许用荷载有很大差别。采用图(b)所示截面比采用图(a)所示截面好。,5.4 提高压杆稳定性的措施,1 . 合理地选择材料,对于大柔度压杆，临界应力cr= ，故采用E值较大的材料能够增大其临界应力，也就能提高其稳定性。,由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪费。,对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出，采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。,2减小压杆的柔度,压杆的柔度= 越小，其临界应力越大，压杆的稳定性越好。,（1）加强杆端约束,压杆的杆端约束越强，值就越小，也就越小。,若

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