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数学分析6-5

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常见问题

1、6.5 函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,可疑极值点：驻点、不可导点,可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值

2、点，,例5,设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值,证,分两种情况讨论,所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值,设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且,又f ( x )在 x = a 处连续，且,f 2( a )是 f 2( x )的极大值,同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况,例6,证,由Taylor公式，得,因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内,下面来考察两种情形,n为奇数，当x 渐增地经过x0时,变号,不变号,变号,不是极值,n为偶数，当x 渐增地经过x0时,不变号,不变号,不变号,是极值,是极小值,是极大值,例4,解,例5,解,函数最大值和最小值的一般求法：,(一) y=f(x) xa,b,(1)求出f(x)的导数f(x)；,令f(x)=0，求出驻点；,(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最小值.,三.函数的最值,例题与练习,解：,(1).f(x)的定义域为(-，1 ，-8，1 (-，+

3、1,(2).,(3).令f(x)=0，解之得驻点为,(5).比较大小得，在-8，1上的最大值为，最小值为-5.,(4).,练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间-3，10上的最大值和最小值,例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.,(1).f(x)的定义域为(-，+).,解：,(2).f(x)=2x-2=2(x-1),(3).令f(x)=0，解之得驻点为x=1.,当x(-，1)时，f(x)0,单调递减.,当x(1，+)时，f(x)0,单调递增.,(二)若函数在一个开区间或无穷区间 (-，+)内可导，且有唯一的极值点 .,例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？,解：,(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：,(1).根据题意建立函数关系式.,(2).确定函数的定义域,(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.,练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.,例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元) 问生产多少个单位时获得的利润最大？,解：,(1)函数关系式为

4、P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0).,(2)P(x)=1-0.00002x,(3)令P(x)=0得驻点x=5104,x=5104是唯一驻点，又利润最大值存在.,练习：,当生产5104个单位时获得的利润最大.,1）求出函数的定义域；,2）求出函数f(x)的导数f(x)；,3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。,4）列表考察f(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。,求函数极值的步骤：,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),小结与作业,最值问题的两种类型：,(1)求出给定解析式的导数f(x)；,令f(x)=0，求出驻点；,(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.,1.已知函数解析式及闭区间求最值.,2.实际问题求最值.,(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；,(2)根据实际问题确定函数的定义域；,(3)求出函数y=f(x)的导数，令f(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.,作业：,P146 : 1,2,3,4,5.,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,

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