输入-输出反馈线性化

1、非线性控制：输入输出反馈线性化 1 课前测验 一、分析以下非线性系统的原点是否稳定、是否渐近稳定、是否 全局渐近稳定。 1、 2 1122221 ,xxxxxxx； 2、 1221 sin,5xx xx ； 3、 3 12212 sin,xx xxx ； 4、 1 1221 2 1 , 1 x xxxx x 。 第第 13 章章 反馈线性化反馈线性化 考虑这样一类非线性系统考虑这样一类非线性系统 非线性控制：输入输出反馈线性化 2 )( )()( xhy uxGxfx 是否存在一个状态反馈控制是否存在一个状态反馈控制 vxxu)()( 及变及变量代换量代换 )(xTz 把非线性系统转换为等效的线性系统把非线性系统转换为等效的线性系统。13.1 节通过几个简节通过几个简 单例子引入单例子引入全状态线性化全状态线性化（full-state linearization）和输和输 入入-输出线性化输出线性化两个概念两个概念，并给出其表示方法并给出其表示方法。 所谓全状态线性化是指把状态方程完全线性化所谓全状态线性化是指把状态方程完全线性化，输入输入 -输出线性化则是把输入输出线性化则是把输入-

2、输出映射线性化输出映射线性化，而状态方程只而状态方程只 非线性控制：输入输出反馈线性化 3 是部分线性化是部分线性化。 13.2 节将研究输入节将研究输入-输出线性化输出线性化， 介绍相对阶介绍相对阶、 零动态零动态 和最小相位系统和最小相位系统。 13.3 节将给出一类可反馈线性化的非线性系统的特节将给出一类可反馈线性化的非线性系统的特 征征。 有关可反馈有关可反馈（或可部分反馈或可部分反馈）线性化系统的状态线性化系统的状态反馈反馈 控制在控制在 13.4 节讨论节讨论，其中涉及到稳定性和跟踪问题其中涉及到稳定性和跟踪问题。 13.1 引言引言 为了引入反馈线性化的感念为了引入反馈线性化的感念，首先讨论稳定单摆方程首先讨论稳定单摆方程 非线性控制：输入输出反馈线性化 4 cubxxax xx 212 21 sin)sin( 的原点问题的原点问题。通过观察上面的系统状态方程通过观察上面的系统状态方程，可以选择可以选择 c v x c a usinsin( 1 以消去非线性项以消去非线性项sin)sin( 1 x，从而得到线性系统从而得到线性系统 vbxx xx 22 21 这样非线性系

3、统的稳定性问题就简化为一个可控线性系这样非线性系统的稳定性问题就简化为一个可控线性系 统的稳定性问题统的稳定性问题，我们可以设计一个稳定的线性状态反馈我们可以设计一个稳定的线性状态反馈 控制控制 非线性控制：输入输出反馈线性化 5 2211 xkxkv 使闭环系统使闭环系统 22112 21 )(xbkxkx xx 的特征值在左半开平面的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为则整个状态反馈控制律为 )( 1 sin)sin( 22111 xkxk c x c a u 消去非线性项的方消去非线性项的方法普遍适用吗法普遍适用吗？显然显然不能希望每个不能希望每个 非线性系统都能消去非线性项非线性系统都能消去非线性项，但但一定存在具有某种结构一定存在具有某种结构 特性的系统特性的系统，允许消去非线性项允许消去非线性项。不难看出不难看出，如果通过相如果通过相 减消去非线性项减消去非线性项)(x， 则控制器则控制器u和非线性项和非线性项)(x必须必须以以 非线性控制：输入输出反馈线性化 6 乘积形式乘积形式ux)(出现出现。如果矩阵如果矩阵)(x在所讨论的区域是非在所讨论的区域是非 奇异矩阵奇

4、异矩阵，则可以通过则可以通过vxu)(消去消去，其中其中)()( 1 xx 是矩阵是矩阵)(x的逆矩阵的逆矩阵。因此因此，如果能利用反馈消去非线性如果能利用反馈消去非线性 项项，就就可以将可以将非线性状态方程转变成一个可控非线性状态方程转变成一个可控的的线性状态线性状态 方程方程。 考虑如下结构的考虑如下结构的非线性状态方程非线性状态方程： )()(xuxBAxx (13.1) 其中其中，A为为nn矩阵矩阵，B为为pn矩阵矩阵，矩阵对矩阵对),(BA是可是可 控矩阵控矩阵，函数函数 pn RR :和和 ppn RR :定义在包含原点定义在包含原点 的定义域的定义域 n RD 上上，且矩阵且矩阵)(x对于每个对于每个Dx都是非奇都是非奇 非线性控制：输入输出反馈线性化 7 异矩阵异矩阵。 对于系统对于系统（13.1） ，） ，可以通过状态反馈可以通过状态反馈 vxxu)()( (13.2) 将其线性化将其线性化，其中其中)()( 1 xx ，得到得到线性状态方程线性状态方程： BvAxx (13.3) 为了实现稳定为了实现稳定，可设计可设计Kxv，使得使得BKA为为 Hurwitz 矩矩

5、阵阵。整个非线性稳定状态反馈控制为整个非线性稳定状态反馈控制为 Kxxxu)()( (13.4) 假设非线性状态方程不具有形如式假设非线性状态方程不具有形如式(13.1)的结构的结构， 是否是否 意味着就不能通过反馈对系统线性化呢意味着就不能通过反馈对系统线性化呢？回答是否定的回答是否定的。 非线性控制：输入输出反馈线性化 8 回顾前面的内容回顾前面的内容，系统的状态模型并不是惟一的系统的状态模型并不是惟一的，它取决它取决 于状态变量的选择于状态变量的选择，即使所选择的一种状态变量不能使系即使所选择的一种状态变量不能使系 统状态方程具有形如式统状态方程具有形如式(13.1)的结构的结构，还可以选择其他状还可以选择其他状 态变量态变量。例如例如，对于系统对于系统 uxx xax 2 12 21 sin 不能简单选取不能简单选取u消去非线性项消去非线性项 2 sin xa。但是但是，如果先通过如果先通过 变换变换 122 11 sinxxaz xz 改变状态变量改变状态变量，则则 1 z和和 2 z满足满足 非线性控制：输入输出反馈线性化 9 )(cos 2 122 21 uxxaz zz

6、 非线性项可以通过控制非线性项可以通过控制 v xa xu 2 2 1 cos 1 消去消去，当当2/2/ 2 x时时，上式有明确定义上式有明确定义。要求出新要求出新 坐标系坐标系),( 21 zz中的状态方程中的状态方程，可通过逆变换可通过逆变换，即用即用),( 21 zz 表示表示),( 21 xx a z x zx 2 1 2 11 sin 非线性控制：输入输出反馈线性化 10 上式当上式当aza 2 时有定义时有定义。变换后的状态方程为变换后的状态方程为 )(sincos 2 1 2 1 2 21 uz a z az zz 当用变量代换当用变量代换)(xTz 将状态方程从将状态方程从x坐标系变换到坐标系变换到 z坐标系时坐标系时，映射映射T必须是可逆的必须是可逆的，即必须存在逆映射即必须存在逆映射 )( 1 T， 使得对于所有使得对于所有)(DTz， 有有)( 1 zTx ， 这里这里D是是T 的定义域的定义域。此外此外，由于由于z和和x的导数应该是连续的的导数应该是连续的，因此因此 要求要求)(T和和)( 1 T必须连续可微必须连续可微。 具有连续可微逆映射的连续可微映射称为

7、微分同胚具有连续可微逆映射的连续可微映射称为微分同胚。 如果雅可比矩阵如果雅可比矩阵/xT 在点在点Dx 0 是非奇异矩阵是非奇异矩阵，则根则根 非线性控制：输入输出反馈线性化 11 据反函数定理据反函数定理 ， ，存在一个存在一个 0 x 的邻域的邻域N，使得限定在使得限定在N内内 的的T是是N上的微分同胚上的微分同胚。如如果映射果映射T是是 n R上的微分同胚上的微分同胚， 且且 nn RRT)(，则称则称T为全局微分同胚映射为全局微分同胚映射 。 。 至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义。 定义定义 13.1 一个非线性系统一个非线性系统 uxGxfx)()( (13.5) 其中其中 n RDf:和和 pn RDG :在定义域在定义域 n RD 上足够光上足够光 参见文献10的定理 7.5。 当且仅当对所有 n Rx，/xT 是非奇异矩阵，且T是正则的，即 当 )(limxT x 时，T是全局微分同胚映射（证明参见文献165 或文献212） 。 非线性控制：输入输出反馈线性化 12 滑滑 。 。如果存在一个微分同胚映射如果存在一个微分同胚映

8、射 n RDT:，使得使得 )(DTDx包含原点包含原点， 且可以通过变量代换且可以通过变量代换)(xTz 将系统将系统 (13.5)转化为转化为下形式下形式： )()(xuxBAzz (13.6) 其中其中，),(BA是可控的是可控的，且对于所有且对于所有Dx，) x为非奇异为非奇异 矩阵矩阵，则称系统则称系统(13.5)是可反馈线性化的是可反馈线性化的（或可输入或可输入/状态状态 线性化线性化） 。） 。 当我们要关注某些输出变量时当我们要关注某些输出变量时，例如在跟踪控制问题例如在跟踪控制问题 所谓“足够光滑”是指后面出现的所有偏导数都有定义且是连续的。 非线性控制：输入输出反馈线性化 13 中中，则可用状态方程和输出方程描述状态模型则可用状态方程和输出方程描述状态模型。对状态方对状态方 程线性化程线性化，没有必要对输出方程也线性化没有必要对输出方程也线性化。例如例如，如果系如果系 统统 uxx xax 2 12 21 sin 的输出为的输出为 2 xy ，则变量代换和状态反馈控制为则变量代换和状态反馈控制为 11 xz ， 22 sin xaz ，v xa xu 2 2 1 cos 1 可得可得 非线性控制：输入输出反馈线性化 14 a z y vz zz 2 1 2 21 sin 虽然状态方程是线性的虽然状态方程是线性的，但由于输出方程是非线性的但由于输出方程是非线性的，因因 此求解关于此求解关于y的跟踪控制问题仍然很复杂的跟踪控制问题仍然很复杂。观察观察x坐标系坐标系 中的状态方程和输出方程可以发现中的状态方程和输出方程可以发现，如果状态反馈控制采如果状态反馈控制采 用用vxu 2 1 ，就能够将就能够将u到到y的输入的输入-输出映射线性化输出映射线性化，此此 时线性模型为时线性模型为 2 2 xy vx 非线性控制：输入输出反馈线性化 15 现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题 了了。 上述讨论表明上述讨论表明， 有时对输入有时对输入-输出映射进行线性化更有输出映射进行线性化更有 意义意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。这种这种 情况称系统为可输入情况称系统

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