全国卷三视图与立体几何专题(含答案)

1、三视图与立体几何部分1.（2014年全国新课标卷第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱2.（2014年全国新课标卷第19题）(本题满分12分)如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且.()证明：()若ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高3（2014年全国新课标卷第6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. B. C. D. 4.（2014年全国新课标卷第7题）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )A. B. C. D.5.（2014年全国新课标卷第18题）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.(1)证明：/平面； (2)设，三棱锥的体积，求到平面的距离.6.（2013年全国新课标第9题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1,0,1）

2、，（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为 （ ）7.（2013年全国新课标第15题）、已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为 .8.（2013年全国新课标第18题）如图，直三棱柱中，分别是的中点.(I)证明：;()设,求三棱锥的体积. 9.（2014年全国新课标第11题）、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.10.（2013年全国新课标第15题）已知H是球的直径AB上的一点，AH:HB=1:2，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为 11.（2013年全国新课标第19题）如图，三棱柱中，( I ) 证明：;()若,求三棱柱的体积. 12.（2014年全国新课标第7题） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.6 B.9 C.12 D.1813.（2012年全国新课标第8题）平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为 （ ）A. B. C. D.14.（2012年

3、全国新课标第19题）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，D是棱的中点.(I)证明：;()平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.15.（2011年全国新课标第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 16（2011年全国新课标第16题） 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .17.（2011年全国新课标第18题） 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，,（I）证明：;()设,求棱锥的高.18.（2010年全国新课标第7题）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A. B. C. D. 19.（2010年全国新课标第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱20.（2010年全国新课标第18题）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高.（）证明：;（）若,求四棱锥的体积.1.B【命题

4、立意】本题考查三视图等基础知识，意在考查考生空间想象能力，难度中度.【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.2.解：()连接，则为与的交点.因为侧面为菱形，所以.又，所以，故.由于，故 （6分）()作，垂足为，连接.作，垂足为. 由于，故平面，所以.又，所以平面.因为，所以为等边三角形，又，可得.由于 ，所以.由，且，得又为的中点，所以点到平面的距离为,故三棱柱的距离为. (12分)3.C【命题立意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的转换所体现的空间想象能力，难度中等.【解题思路】几何体的直观图为“螺栓”.切削部分的体积为，所以比值为，故选C.4.C【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等.【解题思路】取的中点，截面的面积为，所以所求的体积为，故选C.5.解：（I）证明：设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.平面，平面,所以平面. （）V.由，可得.作交于.由题设知平面，所以，故平面.又.所以A到平面PBC的距离为.6.A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的

5、作图问题，难度中等.【解题思路】如图所示，点，此四点恰为正方体的四个顶点，此四点构成了一个棱长为的正四面体，该正四面体的投影面上的正视图为正方形,故应选A.7.【命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能力的应用，难度中等.【解题思路】如图所示，由，可得，在中，由,可得,以OA为半径的球的表面积.8.解：（）证明：连接交予点F，则F为的中点.又D是AB的中点，连接DF，则.因为,所以.()因为是直三棱柱，所以.由已知.又.由,，.所以.9.A【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的实际应用，难度较大.【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个底面圆半径为2，高为4的圆柱体的一般与一个底面正方形边长为2，高为4的正四棱柱组成的组合体，其体积，故应选A.【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一个难点，也是一个易错点，解决此类问题应当从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系.10.【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大.【解题思路】如图所示，设球的直径为，则由,可得,在中11.解：（）.由于故为

6、等边三角形，所以.因为,所以.又,故(6分)()由题设知都是边长为2的等边三角形，所以,又，则,故,因为,所以,为三棱柱的高.又的面积,故三棱柱的体积. （12分）12.B【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空间想象能力将图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立意所在，难度较小.【解题思路】据三视图可知三棱锥底面是腰长为的等腰直角三角形，棱锥的高为3，故体积为,故选B.13.B【命题立意】本题考查球的性质应用及球的体积公式，难度较小.【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面，故球的半径，因此体积,故选B.14.解：(I)证明：由题设知所以.又.由题设知所以.又又. (6分)()设棱锥的体积为.又题意得。又三棱柱的体积，所以.故平面分此棱柱所得两部分的体积之比为1:1. (12分)15.D 【命题立意】本题考查三视图，考查空间想象能力.【解题思路】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D.16.【命题立意】本题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力.【解题思路】如图，设圆锥底面圆A的半径为r,O为球心，球O的半径为，则由题意可知，解得，又由勾股定理得,得，所以体积较小的高与体积较大的高的比等于.17.解：（）因为,由余弦定理得.从而. (3分)又可得.所以,故. (6分)()如图，作,垂足为E,已知,则.由（I）知.故.则. （9分）由题设知.根据即棱锥的高. （12分）18.B【命题立意】本题考查组合体知识及球的表面积求解.【解题思路】据题意可得长方体的对角线即球的直径，即，故球的表面积,故选B.19.【命题立意】本题考查三视图及空间想象能力.【解题思路】空间想象易知三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图均可能是三角形.【易错点】注意观察的角度不同，正视图的形状就会发生变化，本题不可思维定式.20.解：（）因为是四棱锥的高，所以.又,都在平面内，且,所以,故.()因为为等腰梯形，,所以,因为所以,可得，等腰梯形的面积为.所以四棱锥的体积为.

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