模糊关系与模糊矩阵

1、1,智能控制,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,上海大学自动化系-杜鑫,4. 模糊数学与模糊控制,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示,4.1.3.4 模糊关系的运算,4.1.3.5 模糊向量,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示,4.1.3.4 模糊关系的运算,4.1.3.5 模糊向量,大小关系,父子关系,弟兄关系,朋友关系,4.1.3.1 普通关系,常见的普通关系,普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素 之间有无关联。,普通关系的定义：集合A和B的直积AB的一个 子集R，称作A到B有二元关系，简称关系,普通关系的定义,4.1.3.1 普通关系,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示,4.1.3.4 模糊关系的运算,恨之切,长的像,大的多,爱之深,常见的模糊关系,4.1.3.2 模糊关系,定义模糊集A和B的直积AB的一个模糊子集R称为A 到B

2、的二元模糊关系，其序偶(a,b)的隶属度为,模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同。,为n元模糊关系,若论域为n个集合的直积，则称,4.1.3.2 模糊关系,模糊关系的定义,例1： 设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是什么？其上的普通关系xy是什么？,4.1.3.2 模糊关系,模糊关系 & 普通关系,当x-y=1时， R(x,y)=0.0099,4.1.3.2 模糊关系,模糊关系 & 普通关系,例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？,当x-y=10时， R(x,y)=0.5,4.1.3.2 模糊关系,模糊关系 & 普通关系,例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？,当x-y=100时， R(x,y)=0.99,4.1.3.2 模糊关系,模糊关系 & 普通关系,例2：设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？,学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。,模糊关系 & 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,若

3、令18分以上为优，可写出A到B的普通关系为： （0-1矩阵形式给出）,学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。,模糊关系 & 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊关系为：,学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。,模糊关系 & 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,若我们用20分除各分数，得到的数值作为“优”的隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优”的模糊关系为（以模糊矩阵形式给出）：,学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以20分为满分，比赛结果如表所示。,模糊关系 & 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.2.2 模糊关系,4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示,4.1.2.4 模糊关系的运算,若论域XY是连续或无限的，则该论域上的关系不能用矩阵来表示，通常用隶属函数来表示,模糊关系的表示,4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示,若论域XY是有限集，（普通）模

4、糊关系可以表示为（0-1）模糊矩阵，也可用图表法来表示,模糊矩阵,4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示,模糊矩阵,【例】子女和父母“相像”的关系可以有以下的模糊矩阵表示：,父 母,模糊矩阵,4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示,例 设X=Y=1,2,3,4,5,6, XY中的XY的一般关系以及 XY的模糊关系可分别表示为：,4.1.2.3 模糊关系的(矩阵)表示,一般关系矩阵 vs 模糊关系矩阵,XY,XY,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.2.2 模糊关系,4.1.2.3 模糊关系的矩阵表示,4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊矩阵的运算(交，并，补运算),4.1.2.4 模糊关系的运算,【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算,模糊矩阵的运算(交，并，补运算),4.1.2.4 模糊关系的运算,【例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算,模糊矩阵的运算(交，并，补运算),4.1.2.4 模糊关系的运算,定义为,例：给定模糊矩阵,则：,4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊矩阵的运算(截阵),在日常生活中，两个单纯关系的组合， 可以构一种新的

5、合成关系。例如，有u,v,w 三个人，若u是v的妹妹，而 v又是w 的丈夫，则 与 就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成运算符,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之间的模糊关系及第二个集合和第三个集合之间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模糊关系的一种运算,模糊关系的合成，因使用的运算不同而有各种定义，我们这里介绍最为常有的max-min合成法,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,R1=“x与y相关” R2=“y与z相关” X=1，2，3，Y=y1,y2,y3,y4,Z=a,b R1= R2= R3（2，a）= max(min(0.4,0.9),min(0.9,0.7),X=2,Z=a,例：,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,1,2,3,y1,y2,y3,y4,a,b,0.4,0.2,0.8,0.9,0.9,0.2,0.5,0.7,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4

6、模糊关系的运算,运算规则：按矩阵运算规则,元素相乘时，隶属度“取小”；(MIN) 元素相加时，隶属度“取大”。(MAX),模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,【例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,【例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊矩阵的合成不满足交换律：,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,例:某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为 也可以用模糊矩阵R来表示,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为,用模糊矩阵S可表示为,这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,对称性、 传递性、,模糊矩阵的合成运算满足下列性质：,模糊矩阵的运算(合成),4.1.2.4 模糊关系的运算,4.1.3 模糊关系与模糊矩阵,4.1.3.1 普通关系,4.1.3.2 模糊关系,4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示,4.1.3.4 模糊关系的运算,4.1.3.5 模糊向量,若对任意的i(i=1,2,n)，都有 ，则称向量 为模糊向量。其转置称为列向量，即,4.1.3.5 模糊向量,模糊向量的定义,模糊向量的叉积（笛卡尔乘积）,4.1.3.5 模糊向量,例：已知两个模糊向量分别为：,试计算它们的笛卡尔乘积,解：,模糊向量的叉积（笛卡尔乘积）,4.1.3.5 模糊向量,模糊向量叉 积的意义,4.1.3.5 模糊向量,模糊向量的内积,4.1.3.5 模糊向量,模糊向量内积的意义,4.1.3.5 模糊向量,

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