专题13 二次函数
138页1、二次函数一、选择题1. (2016湖北鄂州)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC. 则下列结论:abc0 9a+3b+c0 c1 关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)有一个根为其中正确的结论个数有( )A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【考点】二次函数图象与系数的关系,数形结合思想【分析】由抛物线开口方向得a0,由抛物线的对称轴位置可得b0,由抛物线与y轴的交点位置可得c0,则可对进行判断;当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c0,则可对进行判断;【解答】解:抛物线开口向下, a0, 抛物线的对称轴在y轴的右侧, b0, 抛物线与y轴的交点在x轴下方, c0, abc0,正确; 当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c0,9a+3b+c0错误; C(0,c),OA=OC, A(c,0), 由图知,A在1的左边 c1 ,即c1正确;把代入方程ax2+bx+c=0 (a0),得acb+1=0,把A(c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2bc+c=0, 即acb+
2、1=0,关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)有一个根为.综上,正确的答案为:C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由决定:=b24ac0时,抛物线与x轴有2个交点;=b24ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b24ac0时,抛物线与x轴没有交点1. (2016四川资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则m、n的关系为()Am=n Bm=n Cm=n2Dm=n2【考点】抛物线与x轴的交点【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=时,y=0且b24c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A
3、(,m),B(+,m);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论【解答】解:抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,当x=时,y=0且b24c=0,即b2=4c又点A(x1,m),B(x1+n,m),点A、B关于直线x=对称,A(,m),B(+,m),将A点坐标代入抛物线解析式,得m=()2+()b+c,即m=+c,b2=4c,m=n2,故选D2. (2016四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是()ABCD【考点】二次函数的性质;正比例函数的图象;反比例函数的图象【分析】根据函数图象的开口方向,对称轴,可得a、b的值,根据a、b的值,可得相应的函数图象【解答】解:由y=ax2+bx+c的图象开口向下,得a0由图象,得0由不等式的性质,得b0a0,y=图象位于二四象限,b0,y=bx图象位于一三象限,故选:C【点评】本题考查了二次函数的性质,利用函数图象的开口方向,对称轴得出a、b的值是解题关键3. (2016四川成都3分)二次函数y=2x23的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是()A抛
4、物线开口向下B抛物线经过点(2,3)C抛物线的对称轴是直线x=1D抛物线与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断;根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断;利用方程2x23=0解的情况对D进行判断【解答】解:A、a=2,则抛物线y=2x23的开口向上,所以A选项错误;B、当x=2时,y=243=5,则抛物线不经过点(2,3),所以B选项错误;C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误;D、当y=0时,2x23=0,此方程有两个不相等的实数解,所以D选项正确故选D4. (2016四川达州3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1下列结论:abc0 4a+2b+c0 4acb28a abc其中含所有正确结论的选项是()ABCD【考点】二次函数的性质【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号,从而判断;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),则得的判断;根据图象经过(1,0)可得到a、b、c之间的关系,从
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