第三章 典型机械系统的建模

1、3.1 基于力学理论的机械系统建模,一、空间任意力系的平衡方程,由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分别等于零，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。其数学表达式为：,二、牛顿第二定律数学表达式,牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，所获得的加速度大小与合力大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。其数学表达式为：,例 3.1 测量转动惯量实验装置 如右图一个转动物体，它的质量为m ,由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为h，绳索相距为2a。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度，然后释放。求摆动周期T，物体通过重心的垂直轴转的转动惯量J。,假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度 时，夹角 和夹角 间存在下列关系,因此,注意，每根绳索的受力F 的垂直分量等于mg/2。F 的水平分量为 mg /2。两根绳索的F 的水平分量产生扭矩mg a 使物体转动。因此，摆动的运动方程为：,或写成,由此求得摆动周期为,得到转动惯量J,例3.2 单摆系统 下图所

2、示的单摆系统 为输入力矩、 为输出摆角、m为小球质量、L为摆长。 根据力系平衡建立系统方程：,这是一个非线性方程，根据Taylor级数展开得：,当 很小时，高阶小数可以忽略， 则：,非线性系统方程可简化成线性系统方程,例3.3 设一个弹簧、质量、阻尼系统安装在一个不计质量的小车上，如下图所示。推导系统数学模型。 假设t0时小车静止不动，并且安装在小车上的系统也处于静止状态。在这个系统中，u( t )是小车的位移，并且是系统的输入量。,不计小车的质量，得到,例 3.4 有一质量-弹簧-阻尼系统如图所示，运用力学方法建立该系统的数学模型。,系统图,力分解图,根据力平衡原理，建立系统方程,例 3.5 机械式加速度计,下图给出机械式加速度计测量悬浮试验橇加速度的示意图。试验橇采取磁悬浮方式以较小的高度e悬浮于导轨上方。由于质量M相对于及速度计箱体的位移y与箱体的（即试验橇的）加速度成正比，因而加速度计能测得试验橇的加速度。,我们的目的是设计一个具有合理动态响应的加速度计，它能在可以接受的时间内测得所需要的特征量： y(t)=qa(t) (q为常数),分析质量M的受力情况，我们有：,或,或,例

3、3.6 到立摆系统,左下图为人手保持倒摆平衡的问题，相应的平衡条件为 。右下图表示的是小车上的倒摆控制问题。小车必须处于运动状态才能保持质量m始终处于小车上方。系统状态变量应当与旋转角 以及小车的位移有关。,人手到立摆的平衡 小车和倒摆,设M m ,旋转角足够小，于是可以对运动方程做线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：,其中，u( t )等于施加在小车上的外力，l 是质量到铰接点的距离。铰接点处的转矩之和为：,选定两个2 阶系统的状态变量为：,将a、b两式写成状态变量的形式，可得：,(a),(b),(c),(d),为得到1阶微分方程组，解出式（d）中的 ,代入式（c），并注意到M m，则有：,(e),再解出式（c）中的 ，并代入式（d），可得：,于是，4个1阶微分方程为：,系统状态方程则为：,3.2 能量法推导运动方程,一、功、能、功率 如果力被认为是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念没有考虑时间的因素，就要引入功率的概念。 功 机械系统中的功等于力与力作用的距离的乘积（或力矩与角位移的乘积），力与距离要在同一方向上度量。,设力 F 作用于 a

4、至 b 连接路径中运动的质点 m 上，那么 F 所作的功可一般描述为,能量 一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统中能有势能和动能两种形式。 功率是做功的速率，即： dW 表示在dt 时间间隔内所作的功。,二、 能量法推导运动方程,能量法推导运动方程的根本就是能量守恒定律。如果系统没有能量输入和输出，我们从系统总能量保持相等这一事实出发来推导运动方程。 例3.7 如右图表示一个半径为R、质量为m的均质圆柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。 圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。,系统由于弹簧变形所产生的势能为,系统总能量为,考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此， 。并且注意到 转动惯量 J 等于 ，我们得到,考虑到能量守恒定律，总能量为常数，即总能量导数为零，得到,注意到， 并不总为0，因此 必须恒等于0，即,如果将以上方程转为转动运动，只要把 代入得到,3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）,将 作为n个自由度系统的一套广义坐标，系统的运动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为

5、自变量。 令 作为系统在任意瞬时的势能； 令 作为系统在同瞬时的动能； 拉格朗日函数 定义为,设广义坐标是独立的，令 是广义坐标的变分，非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成,拉格朗日方程为,例 3.8 例3.4系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。,解: 选择y1，y2为广义坐标系， 其系统动能和势能分别为,例 3.9 某行星滚动机构中有一质量为m，半径为 r 的实心圆柱在半径为R，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心O的转动惯量分别为 ，圆柱对轴心O的转动惯量为 ,建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动数学模型。 分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角和圆柱轴心偏离角 。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，故在接触点A处它们具有相同的线速度： 。 系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能,系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。 则系统的势能为,于是有拉格朗日函数,代入拉格朗日方程有,即为该行星滚动机构的运动数学模型。,例 3.10 用拉格朗日方程建立图示系统运动的微分方程，用1、2和x作为广义坐标，以矩阵的形式写出微分方程。,解

6、：系统在任意时刻的动能为,系统在同一时刻的势能为,拉格朗日函数为,利用拉格朗日方程可得,3.4 机器人静力分析与动力学,计算机技术的不断进步和发展使机器人技术的发展一次次达到一个新水平。上至太空舱、宇宙飞船，下至微机器人、深海开发，机器人技术已拓展到全球经济发展的诸多领域，成为高科技中极为重要的组成部分。人类文明的发展、科技的进步已和机器人的研究、应用产生了密不可分的关系。人类社会的发展已离不开机器人技术，而机器人技术的进步又对推动科技发展起着不可替代的作用。,18世纪瑞士 的写字偶人,哈工大爬壁机器人,爬缆索机器人,仿人机器人,北航仿生鱼,管道机器人,排雷机器人 “索杰纳”火星车 引导机器人,工业机器人,机器人，特别是其中最有代表性的关节型机器人，实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构。要研究机器人，就必须对其运动学和动力学有一个基本的了解。 稳态下研究的机器人运动学分析只限于静态位置问题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度、加速度等动态过程。实际上，机器人是一个复杂的动力学系统，机器人系统在外载荷和关节驱动力矩(驱动力)的作用下将取得静力平衡，在关节驱动力矩(驱动力)的作用

7、下将发生运动变化。机器人的动态性能不仅与运动学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关。,机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力矩)，求解机器人的运动(关节位移、速度和加速度)，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是实时控制的需要。 本节首先通过实例介绍与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人的静力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特性作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。,一、 机器人雅可比矩阵,机器人雅可比矩阵(简称雅可比)揭示了操作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的方法。,1、机器人雅可比的定义,在机器人学中，雅可比是一个把关节

8、速度向量 变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v 的变换矩阵。在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比，现通过一个例子来说明：,下图为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节1、2的关系为：,即,图3.1 二自由度平面关节型机器人简图,将其微分得,即,令,可将上式简写为,J 称为图示2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d与手部作业空间微小位移dX 的关系。 若对式 J 进行运算，则图示2R机器人的雅可比可写为,从J 中元素的组成可见，J 阵的值是关于1及2的函数。,3.2,3.1,推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示， ，当关节为转动关节时 ；当关节为移动关节时 ， 反映了关节空间的微小运动。机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。 反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。因此，式3.1可写为：,式中：J(q)是6n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可比，可表示为：,3.3,3.4,2、机器人速度分析,利用机器人速

9、度雅可比可对机器人进行速度分析。对式(3.3)左、右两边各除以dt 得,3.5,3.6,式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度 与操作空间速度v 之间关系的雅可比矩阵。,式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。,对于图3.1所示2R机器人而言，J(q)是式(3.2)所示的22矩阵。若令J1，J2分别为式(3.2)所示雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则式(3.6)可写为：,式中：J1称为机器人逆速度雅可比。,图3.1所示二自由度机器人手部的速度为：,假如已知的 及 是时间的函数，即 ， ，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度v=f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可由式(3.6)解出相应的关节速度为：,3.7,例 3.11 如图3.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0 轴正向以1.0m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时1=30，2=60，求相应瞬时的关节速度。,图3.2 二自由度机械手手爪沿X0 方向运动示意图,解 由式(3.2)知，二自由度机械手速度雅可比为,因此，逆雅可比为,由式(3.7)可知，,，且,，即vX=1m/s，vY=0，因此,二、机器人动力学方程,机器人动力学的研究有牛顿-欧拉法、拉格朗日法、高斯法、凯恩法及罗伯逊-魏登堡法等。本节介绍动力学研究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。,1、 欧

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