2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.3.2 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算,1.平面向量坐标的相关概念,互相垂直,(x，y),2.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,则有:,(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),【点拨】(1)关于平面向量的坐标表示 向量的坐标只与向量的起点、终点有关,而与向量的具体位置无关; 向量的表示方法:()几何法;()代数法.,(2)点的坐标与向量的坐标 区别: ()表达形式:向量a=(x,y),点A(x,y); ()意义不同:点A(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置;向量a=(x,y)表示向量的大小、方向. 联系:当平面向量的起点在原点时,向量的坐标与终点的坐标相同.,(3)关于平面向量的坐标运算 平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量,坐标运算的结果仍然是坐标; 进行向量的坐标运算时,要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则先化简向量,再进行坐标运算.,【自我检测】 1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D

2、.(4,3) 【解析】选B.由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).,2.已知向量 =(3,-2), =(-5,-1),则向量 的 坐标是 ( ) A. B. C.(-8,1) D.(8,1) 【解析】选A. = (-5,-1)-(3,-2)= (-8,1)= .,3.A(3,1),B(2,-1),则 的坐标是 ( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 【解析】选C. =(3,1)-(2,-1)=(1,2).,4.若向量 =(2,3), =(4,7),则 =_. 【解析】 =(2,3)-(4,7) =(-2,-4). 答案:(-2,-4),5.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则3a-2b+2c= _. 【解析】a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),3a-2b+2c= (-6,6)-(6,-8)+(2,10)=(-10,24). 答案:(-10,24),类型一 向量的坐标表示 【典例】1.若A(1,-3),a=(3,4), =2a,则点B的坐标 为_. 2.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p

3、=(9,4),若p=ma+nb,求m+n=_.,3.已知点A,B,C的坐标分别为A(2,-4),B(0,6),C(-8, 10),求向量 的坐标.,【审题路线图】1.设出点的坐标,表示出相应的向量向量相等构造关系求坐标. 2.表示出相应的向量向量相等列方程(组)求解. 3.点的坐标向量的坐标向量坐标运算.,【解析】1.A(1,-3),a=(3,4), =2a, 设B(m,n),则(m-1,n+3)=(6,8), 所以m=7,n=5,即B点的坐标为(7,5). 答案:(7,5),2.由于p=ma+nb,即(9,4)=(2m,-3m)+(n,2n)=(2m+n, -3m+2n),所以2m+n=9且-3m+2n=4, 解得m=2,n=5,所以m+n=7. 答案:7,3. =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14). 所以 =(-2,10)+2(-8,4)- (-10,14) =(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-13,11).,【延伸探究】 1.本例3中,若 试求点P的坐标. 【解析】设点P(x,y),因为 则(2-x,-4-y)= (-2,10)=(-1,5),

4、 解得x=3,y=-9,故P(3,-9).,2.本例3中,若点A,B,P(4,m)三点共线,试求m的值. 【解析】若点A,B,P(4,m)三点共线,则 则 解得m=-14.,【方法技巧】求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求由原点指向该点的向量坐标. (2)求一个向量时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.,【补偿训练】已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2, 3), 以 为一组基底来表示,【解析】因为 所以 =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) =(-12,8). 根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得 所以(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), 所以 所以,类型二 向量的坐标运算 【典例】1.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 2.已知向量 =(2,4), =(0,2),则 = ( ) A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D

5、.(-1,-1),3.已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=_,b=_.,【审题路线图】1.由a,2a+bb=(2a+b)-2a. 2.由 表示出 求坐标. 3.由a+b,a-b通过运算求a,b.,【解析】1.选A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 2.选D. = (-2,-2)=(-1,-1). 3.由a+b=(1,3),a-b=(5,7), 所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5), 2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2). 答案:(3,5) (-2,-2),【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,【变式训练】已知a=(-1,2),b=(2,1),求下列向量的坐标: (1)2a+3b.(2)a-3b.(3) a- b.,【解析】(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,

6、4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).,【补偿训练】已知a= ,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1), 且a=3b-2c,求A的坐标.,【解析】因为b=(-3,4),c=(-1,1), 所以a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10), 即 =(-7,10).又因为B(1,0),设A(x,y), 则 =(1-x,-y)=(-7,10), 所以 即A(8,-10).,类型三 向量坐标运算的应用 【典例】1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若 则 等于 ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4),2.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足 (R). (1)为何值时,点P在正比例函数y=x的图象上? (2)设点P在第三象限,求的取值范围.,【审题路线图】1.平行四边形及 表示出 代入坐标运算. 2.已知的点、向量式表示出点P的坐标利用点P在 y=x的图象上求;第三象限内点的坐标特点求的 范围.,【解析】1.选B.因为

7、 所以 =(-1,-1),所以 =(-3,-5). 2.设P点坐标为(x1,y1),则 =(x1-2,y1-3). =(5-2,4-3)+(7-2,10-3), 即 =(3+5,1+7),由,可得(x1-2,y1-3)=(3+5,1+7), 则 所以P点的坐标是(5+5,4+7). (1)令5+5=4+7,得= , 所以当= 时,P点在函数y=x的图象上.,(2)因为点P在第三象限,所以 解得-1,所以的取值范围是|-1.,【方法技巧】坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.,【变式训练】已知点A(-1,2),B(2,8)及 求 的坐标.,【解析】设C(x1,y1),D(x2,y2).由题意可得 =(x1+1, y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6). 因为 所以(x1+1,y1-2)= (3,6)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6)=(1,2).,则有 所以C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), 因此 =

8、(-2,-4).,【补偿训练】已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1, 8),求 【解析】因为A(4,6),B(7,5),C(1,8), 所以 =(7,5)-(4,6)=(3,-1). =(1,8)-(4,6)=(-3,2), =2(3,-1)+ (-3,2)=(6,-2)+,【核心素养培优区】 【易错案例】向量坐标运算的应用 【典例】已知平面上三个点坐标为A(3,7),B(4,6), C(1,-2),若点D使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点,则点D的坐标为 ( ) A.(0,-1) B.(0,-1)或(2,-3) C.(2,-3)或(6,15) D.(0,-1),(2,-3)或(6,15).,A,【失误案例】当平行四边形为ABCD时, 设点D的坐标为(x,y), 所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), 所以 所以D(0,-1).,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:出错的根本原因是想当然认为构成的平行四边形为ABCD,漏掉了其他平行四边形的情况.,【自我纠正】选D.(1)当平行四边形为ABCD时, 设点D的坐标为(x,y). 所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), 所以 所以D(0,-1);,(2)当平行四边形为ABDC时,仿(1)可得D(2,-3); (3)当平行四边形为ADBC时,仿(1)可得D(6,15). 综上可知点D可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15).,

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