甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

1、高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 B，然后利用交集概念及运算求出结果. 【详解】， 故选：C 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2.已知复数 满足（ 为虚数单位） ，则复数 的模为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【详解】因为，所以 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的代数形式的加减运算，复数的模的公式， 属于简单题目. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 联立两个等式得方程组，解得 sina 的值，再根据二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为 ，所以，从而故选 A. 【点睛】本题考查了

2、根据二倍角的余弦公式求值，二倍角的余弦公式： 4.如图 1 为某省 2018 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统计图，下列 对统计图理解错误的是（ ） A. 2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B. 2018 年 14 月的业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月底最高 C. 从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项 A： 2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低， 差值为，接近 2000 万件，所以 A 是正确的； 对于选项 B： 2018 年 14 月的业务量同比增长率分别为，均超过，在 3 月最高，所 以 B 是正确的； 对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是正确的； 对于选项 D，1，2，3，

3、4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5.在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用面积公式得到 ，结合余弦定理可得，进而利用正弦定理得到结果. 【详解】， absin 由余弦定理可得： b2+a2 2bacos 由正弦定理可得： 故选：B 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属 于中档题 6.已知单位向量的夹角为 ，且，若向量，则（ ） A. 9 B. 10 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案. 【详解】向量夹角，由可得， 向量为单位向量即,可得， 则， 故选：C. 【点睛】本题考查向量的模的计算方法，属于基础题. 7.为了得到y2cos 2x的图象，只需把函数的图象( ) A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平

4、移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为 ，要得到函数，只需将 的图象向右平移 个单位长度即可故选 D. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换 问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数. 8.已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上的最大值为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，设，根据的单调性与对称性判断的单调性与对称性. 【详解】，定义域为，令，则 ,二次函数 的对称轴为直线，所以在上单调递增，在上单调递减，A 错，C 也错，D 显然 是错误的；当时， 有最大值，所以，B 正确 【点睛】该题考查的是有关复合函数图像的单调性，涉及到的知识点有对数的运算法则，对数函数的定义 域，二次函数的图象与性质，复合函数单调性法则，熟练掌握基础知识是解题的关键. 9.如图， 是上一点，分别以为直径作半圆，从 作，与半圆相交于 ， ，在整个

5、图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解. 【详解】连接， 可知是直角三角形，又，所以，设 ，则有，得，所以，由此可得图中阴影部分的面积等于 ，故概率故选 C 【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面 积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图还原几何体，采用补形法补成长方体，可知最长的棱与最短的棱，再求异面直线所成角的正切值. 【详解】如图， AB=,BD=1，,将四面体补成长方体，则 BC=, 可知最长的棱为长方体的体对角线，最短的棱为，BD 平行与 CE， 异面直线与所成 的角为，因为， 因为且根据面面垂直和线面垂直的性质，可知 ,所以 . 故选 C. 【点睛】本题综合考查了由三视图

6、还原几何体，考查了求异面直线夹角，考查了面面垂直和线面垂直的性 质，涉及了长方体的结构特征；把不规则的几何体补成规则几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体， 便于计算求解. 11.已知双曲线的离心率为 2，分别是双曲线的左、右焦点，点， 点 为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据离心率公式和双曲线方程的 a，b，c 的关系，可知，根据题意表示出点 p和 m 的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于 m 的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二 次函数的最大值与最小值，进而问题得解. 【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点 在线段上， 可设，其中，由于，即，得 ，所以 由于，可知当时，取得最小值，此时， 当时，取得最大值，此时，则故选 A. 【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二 次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐 标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、

7、最值等问题. 12.已知函数，若恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，恒成立，等价于直线始终落在函数图象的下方，即直线夹在过点 的切线与直线之间，从而将问题转化为求切线斜率. 【详解】由题意可以作出函数与的图象，如图所示 若不等式恒成立，必有，其中 是过点的切线斜率设切点为， 因为，所以 ，解得，所以，故 【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查创新意识和推理论证能力. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知抛物线的焦点为 ，点在 上，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据抛物线的焦半径公式，将转化为关于 p 的式子，结合其数值，求得 p 的值，得到结果. 【详解】由焦半径公式，解得 【点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的性质，注意抛物线的定义， 从而将抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，从而求得结果. 14.若满足约束条件，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析

8、】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解 的坐标，代入目标函数得答案 【详解】由约束条件得到可行域如图：z2x 3y 变形为 y x- ，当此直线经过图中 A（1，1）时，在 y 轴的截距最大，z 最小，所以 z 的最小值为 21311； 故答案为：1 【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意 义，线性规划中的最值问题主要涉及三个类型：1.分式形式：与斜率有关的最值问题：表示定 点 P与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式 z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号. 15.已知分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且，当时， （ 为常数） ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，先求的 b 值，再代入 x=1，求得，进而求解的值. 【详解】由为定义在 上的奇函数可知，已知 ， 所以，得， 所以， 于是 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间. 16.已知正六棱柱的高为 8，侧面积为 144，则

9、它的外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由侧面积得到底面边长，进而求出正六棱柱的外接球的半径，即可得到结果. 【详解】设正六棱柱的底面边长是 a， 则 6a8=144，解得 a=3 正六棱柱的外接球的半径 R= 4R2100； 它的外接球的表面积为 100 故答案为：100 【点睛】本题考查了多面体的外接球的表面积计算公式，解题的关键是求出球的直径，属于基础题 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知等差数列的公差，是数列的前 项和，是 和 的等比中项，且是 和 的等比 中项. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）将已知条件用等差数列的首项和公差表示出来，解方程组得到首项和公差，从而得到通项公式；（2） 利用（1）的结果求出前 n 项和数列的通项，然后利用分组求和的方法即可得到答案. 【详解】 （1）根据题意得：，故， 整理得： 因为，所以， 从而， 故. （2）因为 所以 故 【点睛】本题考查等比中项的概念和等差数列的通项公式及前 n 项和公式，考查分组求和和裂项相消求和 法，属于常考题型. 18.2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情 况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：10, 20)，20, 30)，30, 40)，40, 50)，50, 60)，60, 70)，70, 80后得到如图所示的频率分布直方图 （1）试求这 40 人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i）若从样本中年龄在50, 70)的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁的概

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