7.4平方差公式 教案1（北京课改版七年级下）

1、教学课题：7.4平方差公式（1）教学目标：1.使学生能正确运用平方差公式进行简单的计算；2.经历从多项式的乘法到乘法公式再运用公式计算的探索过程，使学生了解“特殊到一般，再到特殊”的认识规律，体验和学习研究问题的方法；3.在观察、归纳平方差公式及用文字语言概括规律中，进一步发展符号感，培养学生的思维能力； 4.使学生认识平方差公式的几何背景，并从中培养学生数形结合的思想方法教学重点：经历公式的发现和推导过程，会运用公式进行简单的计算。教学难点：理解公式中字母的广泛含义；理解公式几何证明中割补方法的运用。教学方法：引导发现法教学用具：多媒体教学过程：一、创设问题，引导发现：师：上节课，我们学习了多项式的乘法，下面我们来做一个活动：学生活动1 请你举出1个多项式相乘的例子，并进行计算。 （让学生2人一组举例，互相交换计算，并交换检验结果。同时，请其中一组在黑板上板演完成，并请他们适当讲解计算思路。）在活动1中学生复习了多项式相乘的知识，接下来安排第二个活动。学生活动2 （板书）比一比谁算的快！ （1） （2） （3） （4） （5） 说明：在计算时要求学生写全计算过程，并请计算快的学生将过

2、程写在黑板上，师生共同纠正。在学生正确计算的基础上提出如下问题：思考 1、通过计算你发现了什么规律？你能用字母表示这个规律吗？ 2、你认为具有什么特征的整式乘法才有这样的规律？你能用语言叙述这些特征吗？组织学生认真观察上述5个算式的计算过程，进行讨论，交流（教师可在学生思维受阻处进行引导）后，第一，总结出规律： 第二，发现特征：左边是两个数的和与这两个数的差的积。 右边是这两个数的平方差。引导学生由特征出发，尝试用文字语言把规律概括出来，从而得到：（板书） 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差在学生得出规律的基础上提出问题：思考 在你总结规律时选用了字母，那么它们可以表示什么呢？通过对前面竞赛中的5个小题的观察，引导学生深入明确：规律中的可以表示数或代数式。如：100，等。二、讨论交流，证明公式：师：我们通过一些具体的有特征的整式乘法例子总结了规律，那么这个规律是否正确呢？怎样证明这个规律的一般性呢？让学生分组讨论证明的思路，引导学生得出代数证法（这对于学生来说应该是不难的），并为可确定正确性的规律命名为“平方差公式”。（板书） 证明： 平方差公式师：我们从多项式乘法的角度

3、说明了规律的正确性，那么还有没有其他方法能证明平方差公式的正确性呢？（引起学生的兴趣）下面，我们来看这样一个问题：如图，从一个边长为的正方形中截去一个边长为的小正方形，你能表示剩下图形的面积吗？组织学生进行讨论，交流，并尝试画图说明思路，师生归纳明确：思路一：剩下图形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积 剩下图形的面积可表示为：思路二：剩下图形的面积=长方形的面积+长方形的面积 剩下图形的面积可表示为：说明：上述2种思路中，思路一学生容易想到，思路二得出的式子形式比较复杂，但只需引导学生利用整体的思想，逆用乘法分配律就可变形为：。学生不难得出：，公式即得证。提问：你能否将思路二中的图形拼成一个长方形呢？师生讨论并动手画图或尝试用纸拼接分析，从而引出下面的思路。思路三：剩下的图形可通过割补手段变成一个长方形，剩下图形的面积可表示为：也可得证公式：师：从我们上面的学习中，我们不但证明了平方差公式的正确性，而且我们还通过几何图形的方法证明了代数问题，这就是数形结合的思想。三、运用新知，巩固深化：师：现在，我们已经知道了具有“两个数的和与这两个数的差的积”的形式的整式乘法结果是“这两个数的平

4、方差”，那么就让我们运用这个公式尝试一些实际计算吧！例1：下列算式中：（1） （2） （3）（4） （5） （6）问题：1、判断这些算式哪些可用平方差公式。2、能用平方差公式进行计算的，指出谁是公式中，并将题目改写成的形式进行计算。（学生板演改写及计算过程，要求他们写出“平方差”这一步）3、不能用公式计算的说出计算的方法。组织学生分组讨论上述问题，并在交流的过程中明确以下内容：（1） 判断结果：（3）与（5）不能用平方差公式计算，其他都可以。用平方差公式计算的判断依据是：算式是两项和与这两项差的积即：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数。（2）让学生边说边在黑板上改写。题目公式中的公式中的按公式形式改写不变（3）第3题中的两项均互为相反数，第5题中的两项的系数正好反了，所以它们都不能用平方差公式计算，只能应用多项式乘法来解决。练习一：（口答）运用平方差公式进行计算。（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7）（8）说明：先让学生独立解答，然后以提问的形式让学生先确认公式中，再说出计算结果。例2：用平方差公式计算：（1） （2） （3）教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公

5、式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么并引导学生分析出解答中的注意点：（请学生板演）1） 第（2）题只需将中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算2） 第（1）（2）题中的项比较复杂，平方时不要漏项。解： （1） 注意加括号（2）原式 （3）解法1： 解法2： 说明：在第3题的解答中，让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况后让采用不同解法的两个学生进行板演；并让学生对比两种方法：1） 解法1：把4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出后得出结果解法2：先用了提出负号的办法，使两个乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果2） 采用解法1的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案练习二：运用平方差公式进行计算。（1） （2）（3） （4）教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法例3：（机动）街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米，问改造

6、后的长方形草坪的面积是多少？ 分析：组织学生画图分析明确，计算长方形的面积，就要知道它的长和宽是多少？改变后草坪的长为米，宽为米。 （板书）解：= 2 =答：改造后的长方形草坪的面积是米2。 四、课堂小结：学生以自由发言的形式回顾本节课的学习过程，师生共同归纳出如下两方面的内容：1 知识总结：整式乘法的一个特例：两数和乘以它们的差。平方差公式： 注意：（1）公式中的字母取值具有广泛性。可以代表数，单项式，多项式等等。（2）公式应用的条件：中一项相同，另一项互为相反数。 有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形2方法归纳：通过观察具体算式，发现、总结有特征的整式乘法的规律，得出平方差公式，再到应用公式简捷的进行计算，我们遵循了“从特殊到一般再到特殊”的认识规律，这也是数学中常见的研究问题的方法，在以后的学习中我们会经常用到。五、作业： 必做题：书93页 习题74 A组 1，2（1）（4）合作题：以小组为单位，每人编5个题目，请组内的一名学生做答后评判打分。选做题：举一个生活中应用平方差公式的例子。板书设计：7.4平方差公式（1）1、平方差公式： 例1： 例2 赛一赛 文字： 2、应用条件： 3、代数证明：

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