湖南省长沙市2019届高三月考（二）数学(理)试题（解析版）

1、湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考（二）数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=x|y=3x，B=0,1，2，3，4，则AB=()A. B. 0，1，2C. 0，1，2，3D. （-，34【答案】C【解析】解：因为y=3x，要使函数有意义，则需：3-x0，即x3，即A=（-，3，又B=，所以AB=，故选：C由集合A的代表元可得，集合A为函数的定义域，由3-x0，解得x3，即A=（-，3，再求交集即可本题考查了求函数的定义域及集合交集的运算，属简单题2. 已知函数f(x)=log2x,x02x1,x02x1,x0，得f(8)=log28，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3. 当n是正整数时，用数学归纳法证明14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为()A. k(3k+4)B. (k+1)(3k+l)C. (k+1)3kD. (k+1)(3k+4)【答案】D【解析】解：当n=k时，14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2，n=k

2、+1时，14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2，即有(k+1)(k+2)2k(k+1)2=(k+1)(3k+4)，可得从n=k到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为(k+1)(3k+4)，故选：D求得n=k，n=k+1时的等式，作差即可得到所求代数式本题考查数学归纳法的步骤，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题4. 直角ABC(A=90)的外接圆圆心O，半径为1，且|OA|=|AB|，则向量AB在向量BC方向的投影为()A. 32B. 12C. 12D. 32【答案】B【解析】解：依题意得|OA|=|AB|=|OB|=1，OBA=60，如图：向量AB在向量BC方向的投影为|AB|cos(18060)=1(12)=12，故选：B依题意得|OA|=|AB|=|OB|=1，OBA=60，再根据向量在向量上的投影的概念可得本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题5. 已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0,+)上递增，则()A. f(20.7)f(log25)f(3)B. f(3)f(20.7)f(log25)C. f(3)f(

3、log25)f(20.7)D. f(20.7)f(3)f(log25)【答案】A【解析】解：20.72log253，f(x)在(0,+)上递增，f(20.7)f(log25)f(3)，f(x)是定义在实数集R上的偶函数，f(20.7)f(log25)f(3)，故选：A利用20.72log253，f(x)在(0,+)上递增，可得f(20.7)f(log25)0，tanB0，1tanB+4tanB21tanB4tanB=4，tan(AB)=31tanB+4tanB34，当且仅当1tanB=4tanB，即tanB=12时，tan(AB)的最大值为34故选：B利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB=4sinBcosA，两边同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB.利用两角差的正切公式，得tan(AB)=31tanB+4tanB，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当tanB=12时，tan(AB)的最大值为34本题已知三角形边角的一个关系式，求tan(AB)的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题10. 函数f(x)=13x3+ax

4、22x+1在x(1,2)内存在极值点，则()A. 12a12B. a12C. 12a12D. a12或a12【答案】C【解析】解：由题意得：f(x)=x2+2ax2在(1,2)内存在变号零点，分离参数a=x2+1x，y=x2+1x在(1,2)内连续且单调递减，值域是(12,12)，故y=a和y=x2+1x有变号交点的范围是(12,12)，故选：C求出函数的导数，问题转化为a=x2+1x，求出函数y=x2+1x在(1,2)的值域，从而求出a的范围即可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题11. 如表中的数表为“森德拉姆筛”(森德拉姆，东印度学者)，其特点是每行每列都成等差数列.在表中，“361”出现的次数为()23456735791113471013161959131721256111621263171319253137A. 12B. 6C. 24D. 48【答案】C【解析】解：根据题意，解：第i行第j列的数记为aij.那么每一组i与j的组合就是表中一个数因为第一行数组成的数列a1j(j=1,2，)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1j=2+(j1)1

5、=j+1，所以第j列数组成的数列aij(i=1,2，)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以aij=(j+1)+(i1)j=ij+1令aij=ij+1=361，则ij=360=32235，则361出现的次数为(2+1)(3+1)(1+1)=24次所以，表中361共出现24次故选：C第1行数组成的数列aij(j=1,2，)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列aij(i=1,2，)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，12. 若函数f(x)满足f(x)=x(f(x)lnx)，且f(1e)=1e，则ef(ex)f(1e)+1的解集是()A. (,1)B. (1,+)C. (0,1e)D. (1e,+)【答案】A【解析】解：由f(x)=x(f(x)lnx)，整理得xf(x)f(x)=xlnx，即(f(x)x)=lnxx，两边积分(f(x)x)dx=lnxdx=lnxd(lnx)=12ln2x+C，整理得：f(x)=x2ln2x+Cx，f(1e)=1e，代入求得c=12，f(x)=x2ln2x+12x，f(x)=12ln2x+lnx+12，令lnx=t，tR，f(t)=12t2+t+12=12(t+1)20，f(x)单调递增，由f(x)=x(f(x)lnx)，f(1e)=1e，f(1e)=0，由ef(ex)f(1e)+1，整理得：f(ex)1e=f(1e)=f(e1)，由函数单调性递增，即exe1，由y=ex，单调递增，则x1，不等式的解集(,1)，故选：A将函数整理得(f(x)x)=lnxx，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及f(1e)，则不等式转化成f(ex)1e=f(1e)=f(e1)，利用函数的单调性即可求得不等式的解集本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a=(3,1)，b=(1,m)，a/(a2b)，则m=_【答案】13【解析】解：a2b=(1,12m)；a/(a

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