高考专题等差数列-高中数学(理)黄金100题---精校解析Word版
18页1、第 45题 等差数列I题源探究黄金母题【例1】已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗?如果是,它是首项与公差分别是什么?【答案】这个数列是等差数列,首项为,公差为【解析】当时,当时,也满足上式,数列的通项公式是,由此可知,数列是首项为,公差为的等差数列精彩解读【试题来源】人教A版必修5P44例3【母题评析】本题考查等差数列的判断(证明),考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本运算能力【思路方法】利用定义判断(证明)等差数列II考场精彩真题回放【例2】【2017高考新课标1理4】记为等差数列的前项和若,则的公差为 ( )A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】解法一:设公差为,联立,解得,故选C解法二:,即,则,即,解得,故选C【例3】【2017高考新课标3理9】等差数列的首项为1,公差不为0若成等比数列,则前6项的和为 ( )A B C3 D8【答案】A【解析】等差数列的首项为1,公差不为成等比数列,且,解得前6项的和为,故选A【例4】【2017高考浙江6】已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既
2、不充分也不必要条件【答案】C【解析】由,可知当,则,即,反之,所以为充要条件,选C【例5】【2017高考新课标II理15】等差数列的前项和为,则 【答案】【解析】设等差数列的首项为,公差为,所以,解得,所以,【例6】【2017高考北京理20】设和是两个等差数列,记,其中表示这个数中最大的数()若,求的值,并证明是等差数列;()证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列【答案】()详见解析;()详见解析【解析】试题分析:()分别代入求,观察规律,再证明当时,所以关于单调递减所以,即证明;()首先求的通项公式,分三种情况讨论证明试题解析:()解:,当时,所以关于单调递减所以所以对任意,于是,所以是等差数列()证明:设数列和的公差分别为,则所以 当时,取正整数,则当时,因此此时,是等差数列当时,对任意,此时,是等差数列当时,当时,有所以 对任意正数,取正整数,故当时,【例7】【2017高考江苏19改编】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”(1)证明:等差数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列【答案】
3、(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)证明:为等差数列,设其公差为,则,从而,当时,因此等差数列是“数列”(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此当时,当时,由知,将代入,得,其中是等差数列,设其公差为在中,取,则;在中,取,则,数列是等差数列【命题意图】这类题主要考查等差数列的定义、通项公式、前项和及等差数列的性质,等差数列的证明也是考查的热点【考试方向】这类试题在考查题型上,可以是选择题、填空题,也可以是解答题解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查,难度中等【难点中心】1等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题此外要注意当时,为常数列,是特殊的等差数列,即需要分讨论求解问题2熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率,即“巧用性质、整体考虑、减少运算量”III理论基础解题原理一、等差数列的有关概念及公式1定义:等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示用递推公式表示为或2等差数列的通项公式
4、:;说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列3等差中项的概念:定义:如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项,其中,成等差数列4等差数列的前和的求和公式:5要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列6注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二、等差数列的相关性质1等差数列的性质:(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列,如:,;,;(3)在等差数列中,对任意,;(4)在等差数列中,若,且,则,特殊地,时,则,是的等差中项(5)等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即成等差数列(6)两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列(7)若数列是等差数列,则仍为等差数列2设数列是等差数列,且公差为,()若项数为偶数,设共有项,则; ;()若项数为奇数,设共有项,则(中间项);3,则,4如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是两个原
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