平面向量数量积及其应用(1)夹角与垂直问题高中数学(理)黄金100题---精校解析 Word版
10页1、40题 平面向量数量积及其应用(1)-夹角与垂直问题I题源探究黄金母题【例1】设,求【解析】 由; 计算得: 所以II考场精彩真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】已知向量 , ,则( )(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意,得,所以,故选A【思维拓展】(1)平面向量与的数量积为,其中是与的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围:;(2)由向量的数量积的性质有,因此,利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题【例3】【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则( )(A)8 (B)6 (C)6 (D)8【答案】D【解析】:向量,由得,解得,【点睛】已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2):结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20【例4】【2017山东理12】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是 .【答案】【解析】试题分析:, ,解得:【名师点睛】1.平面向量与的数量积为,其中是与的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围:.2.由向量的数量积的性质有,因此,利用平面向量的数量积可以
2、解决与长度、角度、垂直等有关的问题3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换,应用平面向量的夹角公式,建立的方程.【例5】【2017北京,理6】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】:若,使,即两向量反向,夹角是,那么T,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:1.根据定义,若,那么是的充分不必要 ,同时是的必要不充分条件,若,那互为充要条件,若,那就是既不充分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若,若,那么是的充分必要条件,同时是的必要不充分条件,若,互为充要条件,若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将是条件的判断,转化为是条件的判断.【例6】【2014四川理7】平面向量,(),且与的夹角等于与的夹角,则( )A B C D【答案】 D.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第107页例6【母题评
3、析】本题向量以坐标形式给出,求解思路,完全依据向量数量积的定义进行思考。对定义的理解运用和运算能力是成功解题的关键。【思路方法】向量以坐标形式给出,达到了向量运算数量化的目的。而对向量数量积定义的准确理解和运用是解题的关键所在。【命题意图】本类题主要考查(1)向量数量积的定义及坐标形式下的运算。(2)数量积的性质运用如:夹角、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,难度中偏下【难点中心】(1)对定义的准确理解和运用是一个难点;(2)由向量数量积定义出发,综合多种条件,求夹角,判断垂直等综合问题。III理论基础解题原理知识点一 两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个非零向量a和b,作a,b,则_AOB (0180),叫做向量a与b的夹角范围:向量a与b的夹角的范围是0,180 当0时,a与b_同向.当180时,a与b_反向.(2)垂直:如果a与b的夹角是_90 ,则称a与b垂直,记作ab _知识点二 平面向量的数量积(一)设为a与b的夹角(1)定义:ab|a|b|cos.(2)投影:|a|cos叫做向量a在b方向上的投影(二)数量积的性质(1)
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