选择权仍一金融工具

1、選擇權 Options,區國強,選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格有權去買或去賣特定資產 有權去買稱買權 call options 有權去賣稱賣權 put options 若執行選擇權，必定利潤為正 賣選擇權者稱 writer,理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤 實務上，上述差異極小，因為投資者可以在公開市場上再賣出,K : 執行價格 exercise price C : 買權之價值 P : 賣權之價值 S : 現貨價 F : 期貨價,Long 買權之期終收入: Long 賣權之期終收入:,如現貨價 St接近執行價格 K，稱為 at-the-money 如執行選擇權，可獲利潤，則其現貨價 St稱為in-the-money 如執行選擇權，無利潤可言，則其現貨價 St稱為out-of-the-money,因選擇權在到期日必定有利潤(最少為零) ，故選擇權契約為有價資產(最少為零) ，必需先支付非負的價格，始可獲得，些稱為貼水(premium) 。故評價選擇權，必需把此貼水轉換為到期日時的未來值 (Cert 或Pert ),賣權-買權平價 Put-c

2、all parity,買特定資產的交易收益，可分解為對該資產a long call + a short put，因若資產價格上升，其收益可用long call表示；若資產價格下跌，其損失可用short put表示，此簡單關係連結了call 與 put 的價值，故稱為賣權-買權平價, Put-call parity,表列Put-call parity,若無套利行為，則無收益資產Put-call parity: 有收益成長率為 r*之Put-call parity:,例題 (1999 FRM Exam Q.35),根據Put-call parity，賣一個賣權等同: A. 買一個買權，買股票，借出錢； B. 賣一個買權，買股票，借入錢； C. 賣一個買權，買股票，借出錢； D. 賣一個買權，賣股票，借入錢；,例題 (2002 FRM Exam Q.47),兩年期的歐式買權價值$50，其執行價格為$140，現貨價$100，每年支付股利2%，年利率為5%；則執行價格為$140的兩年期的歐式賣權價值為: A. $77 B. $10 C. $90 D. $81,例題 (2002 FRM Exam

3、Q.25),年利率為6%，一無股利之股票，現價$20，執行價格為$18的六個月歐式買權的賣價為$4，同執行價格、同履約期的歐式賣權的賣價為$1.47，此三種資產(股票、買權及賣權)的訂價是否一致? A. 否，有價值$2.00的套利機會 B. 否，有價值$2.53的套利機會 C. 否，有價值$14.00的套利機會 D. 是,選擇權的組合,Short Covered call: 買入資產 + short a call Long protective put:買入資產 + long a put Long straddle(同時買賣相同履約期及執行價格的買權及賣權): long a call + long a put Short straddle: short a call + short a put Strangle: 不同的執行價格的組合 (因 strangle為out-of-money, 故較straddle便 宜),價差 spread,牛價差 bull spread: 預期價格上升: 1. 以較低的執行價格 K1 買一個買權 2. 以較高的執行價格 K2 賣一個買權 淨成本: C(S,

4、K1) - C(S,K2) 0 如果 ST K2，淨收益:,例題 (2001 FRM Exam Q.90),用選擇權契約投機，下列何者風險最大? A. 使用買權去設立一個價差 B. 買賣權 C. 賣買權 D. 賣賣權,例題 (1999 FRM Exam Q.33),下列何者構成一個牛價差 bull spread? A. 買一個執行價格=50的賣權；賣一個執行價 格=55的賣權 B. 買一個執行價格=55的賣權；賣一個執行價 格=50的賣權 C. 買一個貼水=5的買權；賣一個貼水=7的買 權 D. 買一個執行價格=50的買權；賣一個執行價 格=55的賣權,例題 (2000 FRM Exam Q.5),考慮一個bullish spread: 以$3買入一個執行價格為$30的買權；並以$1.50賣出一個執行價格為$40的買權。若在履約日，股票價格升至$42，則此bullish spread的淨利潤為: A. $8.50 B. $9.00 C. $9.50 D. $12.50,例題 (2002 FRM Exam 42),考慮一熊市發策略:以$7買入一個執行價格為$50的賣權、以每個$4賣出兩個

5、執行價格為$42的賣權、及以$2買入一個執行價格為$37的賣權，全部選擇權的到期日皆相同。若在到期日，資產以$33交易，則上述熊市發策略的淨利潤為: A. $1 B. $2 C. $3 D. $4,選擇權評價的下限,不管是買權抑或賣權，其價值必不為負，故根據Put-call parity，可分別得出其下限:,美式選擇權是否應提早執行,(假定資產無股利) 買權：可選擇提早執行或賣出契約 提早執行之利潤: St K 賣出契約之利潤下限: 因 故絕不提早執行買權契約,賣權:可選擇提早執行或賣出契約 提早執行之利潤: K St 賣出契約之利潤下限: 因提早執行之利潤大過賣出契約之利潤下限, 故可能提早執行。若利率低或資產有支付高股利，則降低提早執行的可能性。,例題 (1999 FRM Exam 34),一歐式買權剩一年到期，執行價格為80，年利率為5%，若現貨價為90，則該買權的買價下限為: A. 14.61 B. 13.90 C. 10.00 D. 5.90,風險中立(risk-neutral)定價,Binomial process: 假定利率 r = 25% S1 = 150, C1 =

6、50 S0 =100 S2 = 50, C2 = 0,假定發生第一種情形的機率為 p，則一風險中立的投資者要求: 同理，選擇權的定價為,Black-Scholes 定價,假定: 1.價格連續變動 2. 利率固定並已知 3. 資產的變異數固定 4.完美市場 (無稅、無運輸成本、放空無 限制、市場連續運作),資產價格的统計程序為 geometric Brownian motion (GBM): 在一極短的時間區間 (dt) ，對數報酬率為平均數=dt、變異數=2dt 的常態分配，總報酬率依循 第一項的平均變動，第二項為隨機變動 ，dz為平均數=0、變異數=dt的常態分配,期終價格: 為N(0,1)的標準常態分配,買權定價: N(d)為常態分配的累加分配,根據 put-call parity，歐式賣權之定價: 例: 現貨價 S=100，年利率為5%，執行價格K=100，=20%，則半年期的買權及賣權分別為何?,Call的價值可視為等同於購買 N(d1) = 59.77%現貨，並借入 c = $59.77 - $52.88 =$6.89現金，故為現貨的槓干部位 買權亦可用風險中立的折現方式表示

7、,右邊第一項積分為不執行的折現值，第二項積分為執行的折現值，故其為K的折現值乘上執行該選擇權(S K)的機率，因此風險中立之執行選擇權的機率為,B-S模型的延伸,Merton(1973)把証劵支付連續紅利 (q)加入B-S 模型中 ，則買權之價值為 ： 有趣的是，如果選擇權趨向更 in-the-money (即S大過K許多)，導致K-S 買權方程式中的d1與d2很大，使 N(d1)及N(d2)趨向一， 令K-S 買權價值為 ：,此變成遠期契約的訂價公式，因為極度 in-the-money的選擇權買權，幾可決定必會被執行，故等於直接買遠期契約 Back(1976)把上述支付紅利的情形從現貨選擇權延伸至期貨選擇權，惟現貨的紅利為現金，期貨的 隱含紅利則為無風險利率,簡單以期貨價格 F 替代現貨價格 S，買權之價值為: B-S訂價模型的全部係數，除了波動(volatility)外，皆可直接觀察，如果我們以市場價格替代模型價格，則volatility可以用標準差代替，稱為隱含標準差 (implied standard deviation, ISD),如果B-S模型是對的，則不論執行價格 K之高

8、低，ISD皆固定，但實際上，在較高及較低的執行價格，ISD皆增加，此稱為波動微笑 (volatility smile) ，此現象在許多市場皆出現，並隨時間的改變而變動。在1987/10股市大崩盤前，此微笑現象的影响並大；大崩盤後，其影响就愈來愈嚴重且複雜,例題 (2001 FRM Exam Q.91),現價 = 100；執行價格 = 110；無風險利率 = 10%，期限 = 0.5年，N(d1) = 0.457185；N(d2) = 0.374163，請計算B-S模型的買權價值: A. $10.90 B. $9.51 C. $6.57 D. $7.92,例題 (1998 FRM Exam Q.2),在B-S買權訂價模型中，何者表示選擇權會否執行的機率: A. d1 B. d2 C. N(d1) D. N(d2),其他選擇權,二項選擇權 (binary options，或稱數位選擇權，digital options)：如果資產價格超過執行價格，則支付一固定金額 Q，故其價值 I(x) 稱為指標變數 (indicator variable),因 in-the-money時執行的機率為N(d

9、2) ，故此選擇權的期初買權價值為： 因為價值在執行價格附近不連續(ST低過K，價值為零； ST高過K，價值為Q) ，故很難避險,關卡選擇權(barrier options) ：H為一事先指定的價格水準，S在整個契約期內: 擊倒 (knock-out):若 SH，則契約生效,Down-and-out call: 如 S H，則買權失效 Up-and-in call: 如 S H，則買權生效 賣權之情況雷同,Down-and-out call加上down-and-in call等於一般的歐式買權: C = CDO + CDI 因為買權的價值必定非負，故CDO 與 CDI的貼水絕不會大過一般的歐式買權 C 因為較便宜，也意味執行的機率較低 在H附近不連續，故很難避險,亞式選擇權 (Asian options):在期終結算時，不以期終現貨價 ST，而以整個契約期內的平均現貨價為計算標準，其期終價值為: 因以平均現貨價計算，volatility較小(約為/3) ，故較便宜，也較容易避險,例題 (1997 FRM Exam Q.10),Knock-out選擇權時常被用以取代一般的選擇權，因為: A. Knock-out options的波動較小 B. Knock-out options的貼水較低 C. Knock-out options的契約期平均較短 D. Knock-out options的gamma較小,例題 (2002 FRM Exam Q.19),現貨價 =100，關卡還未達到，則若現貨價將上升，下列何者不會受益? A. down-and-out 買權:關卡=90,執行價格=110 B. down-and-in 買權:關卡=90,執行價格=110 C. up-and-in賣權: 關卡=110,執行價格=100 D. up-and-in買權: 關卡=110,執行價格=100,選擇權之非線性風險,我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式: 衍生性金融商品定價就是尋找 f 的值，惟除非多許多簡單化的假定，否則表達不出函

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