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二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
13页1、二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1 (2014北京)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A(0,2) ,B(3,4) (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点 B 关于原点的对称点为 C,点 D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在 A,B 之间的部分为图象 G(包 含 A,B 两点) 若直线 CD 与图象 G 有公共点,结合函数图象,求点 D 纵坐标 t 的取值范围考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值菁优网版权所有 专题: 计算题 分析: (1)将 A 与 B 坐标代入抛物线解析式求出 m 与 n 的值,确定出抛物线解析式,求出对称轴即可; (2)由题意确定出 C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出 D 纵坐标的最小值,求出直线 BC 解析式, 令 x=1 求出 y 的值,即可确定出 t 的范围 解答:解:(1)抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A(0,2) ,B(3,4) ,代入得:,解得:,抛物线解析式为 y=2x24x2,对称轴为直线 x=1;(2)由题意得:C(3,4) ,二次函数 y=2x
2、24x2 的最小值为4,由函数图象得出 D 纵坐标最小值为4,设直线 BC 解析式为 y=kx+b,将 B 与 C 坐标代入得:,解得:k= ,b=0,直线 BC 解析式为 y= x,菁优网菁优网 2010-2014 菁优网当 x=1 时,y= ,则 t 的范围为4t 点评: 此题考查了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,以及函数的最值,熟练掌握待 定系数法是解本题的关键2 (2011石景山区二模)已知:抛物线与 x 轴交于 A(2,0) 、B(4,0) ,与 y 轴交于 C(0,4) (1)求抛物线顶点 D 的坐标; (2)设直线 CD 交 x 轴于点 E,过点 B 作 x 轴的垂线,交直线 CD 于点 F,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛 物线与线段 EF 总有公共点试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度,向下最多可以平移多少个单位长 度?考点: 二次函数图象与几何变换;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有 专题: 探究型 分析:(1)先设出过 A(2,0) 、B(4,0)两点的抛物线的解析式为 y=a(x+2) (x4) ,再根据抛物
3、线与 y 轴的交点坐标即可求出 a 的值,进而得出此抛物线的解析式; (2)先用待定系数法求出直线 CD 解析式,再根据抛物线平移的法则得到(1)中抛物线向下平移 m 各单 位所得抛物线的解析式,再将此解析式与直线 CD 的解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出 m 的取 值范围,进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位 解答:解:(1)设抛物线解析式为 y=a(x+2) (x4) ,C 点坐标为(0,4) ,a= , (1 分)解析式为 y= x2+x+4,顶点 D 坐标为(1, ) ;(2 分)(2)直线 CD 解析式为 y=kx+b菁优网菁优网 2010-2014 菁优网则,直线 CD 解析式为 y= x+4, (3 分)E(8,0) ,F(4,6) ,若抛物线向下移 m 个单位,其解析式 y= x2+x+4m(m0) ,由消去 y,得 x2+ xm=0,= 2m0,0m ,向下最多可平移 个单位 (5 分)若抛物线向上移 m 个单位,其解析式 y= x2+x+4+m(m0) ,方法一:当 x=8 时,y=36+m,当 x=4 时,y=
4、m,要使抛物线与 EF 有公共点,则36+m0 或 m6,0m36;(7 分)方法二:当平移后的抛物线过点 E(8,0)时,解得 m=36,当平移后的抛物线过点 F(4,6)时,m=6, 由题意知:抛物线向上最多可以平移 36 个单位长度, (7 分)综上,要使抛物线与 EF 有公共点,向上最多可平移 36 个单位,向下最多可平移 个单位点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函 数与一次函数的交点问题,有一定的难度3 (2013丰台区一模)二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示,其顶点坐标为 M(1,4) (1)求二次函数的解析式; (2)将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合 新图象回答:当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点时,求 n 的取值范围菁优网菁优网 2010-2014 菁优网考点: 待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换菁优网版权所有 分析: (1)确定二次函数的顶点式,即可得出二次函数的解析式 (2)求出两个边界点,继而可得
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